シングルトン（数学）

数学において、シングルトン（単位集合^[1]または一点集合とも呼ばれる）は、ちょうど1つの要素を持つ集合である。たとえば、集合は、単一の要素が であるシングルトンである。 ${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle 0}$

ツェルメロ-フランケル集合論の枠組みでは、正則性公理は、集合がそれ自体の要素ではないことを保証する。これは、シングルトンは必ずそれに含まれる要素と異なることを意味し、^[1]したがって 1 と は同じものではなく、空集合は空集合のみを含む集合と異なる。 のような集合は、単一の要素（それ自体は集合だがシングルトンではない）を含むため、シングルトンである。 ${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

集合がシングルトンである場合、その集合の濃度は1である。フォン・ノイマンの自然数の集合論的構成では、数1はシングルトンとして定義されている。${\displaystyle \{0\}.}$

公理的集合論では、シングルトンの存在はペアリング公理の結果です。つまり、任意の集合Aについて、 AとAに適用された公理は、シングルトンと同じものが存在することを主張します（要素としてA を含み、他の集合は含まれていないため）。 ${\displaystyle \{A,A\},}$${\displaystyle \{A\}}$

A が任意の集合でS が任意のシングルトンである場合、 AからSへの関数は1 つだけ存在し、その関数はAのすべての要素をSの単一の要素に送ります。したがって、すべてのシングルトンは集合のカテゴリの終端オブジェクトです。

シングルトンは、そこから任意の集合へのすべての関数が単射であるという性質を持ちます。この性質を持つ唯一の非シングルトン集合は空集合です。

全ての単集合は超プレフィルタである。 が集合であり、における の上向き集合（集合 ）は 上の主超フィルタである。さらに、 上の全ての主超フィルタは必ずこの形式である。^[2]超フィルタ補題は、全ての無限集合上に非主超フィルタが存在することを意味する（これらは自由超フィルタと呼ばれる）。の単集合部分集合に値を持つ全てのネットは上の超ネットである。${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ベル数整数列は集合の分割数を数えます( OEIS : A000110 )。シングルトンを除外すると、その数は小さくなります ( OEIS : A000296 )。

シングルトン上に構築された構造は、多くの場合、さまざまなカテゴリの終端オブジェクトまたはゼロオブジェクトとして機能します。

• 上記の記述は、シングルトン集合がまさに集合のカテゴリの終端オブジェクトであることを示しています。他の集合は終端ではありません。
• 任意のシングルトンは、一意の位相空間構造を許容します (両方のサブセットが開いています)。これらのシングルトン位相空間は、位相空間と連続関数のカテゴリの終端オブジェクトです。他の空間は、そのカテゴリで終端ではありません。
• 任意のシングルトンは、一意のグループ構造（単位元として機能する一意の元）を許容します。これらのシングルトングループは、グループとグループ準同型のカテゴリのゼロオブジェクトです。他のグループは、そのカテゴリで終端ではありません。

Sを指示関数によって定義されたクラスとする 。Sがシングルトンと呼ばれるのは、すべての $${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

以下の定義はホワイトヘッドとラッセルによって導入された^[3]

${\displaystyle \iota}$' Df.${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

記号'はシングルトンを表し、 はakaと同一のオブジェクトのクラスを表します。これは序論の定義として現れ、ところどころで本文の議論を単純化しており、命題 51.01 (p. 357 ibid.) として現れます。この命題はその後、基数1 を次のように 定義するために使用されます。${\displaystyle \iota}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$' Df.${\displaystyle x)}$

つまり、1 はシングルトンのクラスです。これは定義 52.01 です (p. 363 ibid.)。

• クラス（集合論）  – 数学において、そのメンバーの特性に基づいて定義できる集合の集合
• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• 一意性定量化 – 条件を満たす唯一のオブジェクトであるという論理的性質
• 集合論 における概念