平均

統計学において、中心傾向（または中心傾向の尺度）とは、確率分布の中心値または典型的な値のことである。^{[ 18 ]}非公式には、中心傾向の尺度はしばしば「平均」と呼ばれる。中心傾向という用語は1920年代後半に遡る。^{[ 19 ]}

中心傾向の最も一般的な尺度は、算術平均、中央値、および最頻値です。中心傾向は、有限個の値の集合、または正規分布などの理論的な分布のいずれに対しても計算できます。著者によっては、中心傾向を「量的データが何らかの中心値の周りに集まる傾向」という意味で使用することがあります。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}

分布の中心傾向は、一般的にそのばらつきや変動性と対比されます。ばらつきと中心傾向は、分布の特徴を表す際によく用いられる特性です。データのばらつきに基づいて、データの中心傾向が強いか弱いかを分析によって判断することができます。

記述統計学では、平均値は中央値、最頻値、中間値と混同されることがあります。これらはいずれも口語的に「平均」（より正式には中心傾向の尺度）と呼ばれることがあるためです。一連の観測値の平均は、値の算術平均です。しかし、歪んだ分布の場合、平均値は必ずしも中央値（中央値）や最も可能性の高い値（最頻値）と同じではありません。たとえば、平均所得は通常、非常に高い所得を持つ少数の人々によって上方に歪められ、大多数の人々の所得は平均よりも低くなります。対照的に、中央値所得は、人口の半分がそれより低く、半分がそれより高いレベルです。最頻値所得は最も可能性の高い所得であり、所得の低い多数の人々に適しています。中央値と最頻値は、このような歪んだデータに対してより直感的な尺度であることが多いですが、指数分布やポアソン分布など、多くの歪んだ分布は実際には平均値によって最もよく説明されます。

単峰分布の場合、以下の境界が知られており、厳密である。^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}$

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

ここで、 μは平均値、νは中央値、θは最頻値、σは標準偏差である。

すべての分布について、^{[ 25 ] [ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1.}$

In mathematics, the three classical Pythagorean means are the arithmetic mean (AM), the geometric mean (GM), and the harmonic mean (HM). These means were studied with proportions by Pythagoreans and later generations of Greek mathematicians^[29] because of their importance in geometry and music.

Relationship between AM, GM, and HM

AM, GM, and HM of nonnegativereal numbers satisfy these inequalities:^[30]

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

Equality holds if all the elements of the given sample are equal.

The generalized mean, also known as the power mean or Hölder mean, abstracts several other means. It is defined for positive numbers ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ by^[1]

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

This, as a function of ${\displaystyle p}$, is well defined on ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, but can be extended continuously to ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$.^[31] By choosing different values for ${\displaystyle p}$, other well known means are retrieved.

A similar approach to the power mean is the ${\displaystyle f}$-mean, also known as the quasi-arithmetic mean. For an injective function ${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$ on an interval ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ and real numbers ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$ we define their ${\displaystyle f}$-mean as

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}$

By choosing different functions ${\displaystyle f}$, other well known means are retrieved.

The weighted arithmetic mean (or weighted average) is used if one wants to combine average values from different sized samples of the same population, and is define by^[1]

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

where ${\displaystyle x_{i}}$ and ${\displaystyle w_{i}}$ are the mean and size of sample ${\displaystyle i}$ respectively. In other applications, they represent a measure for the reliability of the influence upon the mean by the respective values.

数値の集合には、外れ値が含まれる場合があります。外れ値は、多くの場合、アーティファクトによって生じた誤ったデータです。このような場合、切り捨て平均を用いることができます。これは、データの上端または下端の特定の部分（通常は両端で同量）を破棄し、残りのデータの算術平均を求める方法です。切り捨て平均の具体的な例として、四分位平均が挙げられます。

場合によっては、数学者は無限（あるいは非可算）個の値の集合の平均を計算することがあります。これは、平均値を計算する際に起こり得ます。${\displaystyle y_{\text{avg}}}$関数の${\displaystyle f(x)}$直感的に言えば、関数の平均とは、曲線の区間の下の面積を計算し、それをその区間の長さで割ることだと考えることができます。これは、方眼紙のマス目を数えることで大まかに行うこともできますし、より正確には積分によって行うこともできます。積分公式は次のように表されます。

${\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

この場合、積分が収束するように注意する必要がある。しかし、関数自体がいくつかの点で無限大に近づく場合でも、平均値は有限になる可能性がある。

角度、時刻、その他の周期的な量については、数値を加算したり組み合わせたりするためにモジュラー演算が必要です。これらの量は、円形平均を使用して平均化できます。これらのすべての状況において、平均が存在しない可能性があります。たとえば、平均化されるすべての点が等距離にある場合などです。カラーホイールを考えてみてください。すべての色の集合には平均がありません。さらに、値の集合に対して一意の平均が存在しない場合もあります。たとえば、時計の点を平均化する場合、11:00と13:00の位置の平均は12:00ですが、この位置は00:00の位置と同じです。

フレシェ平均は、曲面上、あるいはより一般的にはリーマン多様体上の質量分布の「中心」を決定する方法を提供する。他の多くの平均とは異なり、フレシェ平均は、要素が必ずしも加算またはスカラー倍できるとは限らない空間上で定義される。

幾何学では、三角形の中心には何千もの異なる定義があり、それらはすべて平面上の三角形の点の集合の平均として解釈できます。^{[ 32 ]}

これは、中程度に歪んだ分布の平均値の近似値です。^{[ 33 ]}これは炭化水素探査で使用され、次のように定義されます。

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

どこ${\textstyle P_{10}}$、${\textstyle P_{50}}$そして${\textstyle P_{90}}$これらはそれぞれ、分布の10パーセンタイル、50パーセンタイル、90パーセンタイルです。

平均値（L2^中心）と中間値（L∞中心）は（存在する場合）一意に定まりますが、中央値（L1中心）と最頻値（L0中心）^{は一般に一意ではありません。これは、}関連する関数（強制関数）の凸性という観点から理解できます。

2ノルムと∞ノルムは厳密に凸関数であるため、（凸最適化により）最小値は一意であり（存在する場合）、有界分布に対して存在します。したがって、平均値に関する標準偏差は他のどの点に関する標準偏差よりも小さく、中央値に関する最大偏差は他のどの点に関する最大偏差よりも小さくなります。

1ノルムは厳密には凸関数ではないが、最小値の一意性を保証するには厳密な凸性が必要である。したがって、（この意味での最小化における）中央値は一般に一意ではなく、実際には離散分布の2つの中心点の間の任意の点が平均絶対偏差を最小化する。

0ノルムは凸関数ではない（したがってノルムではない）。それに伴い、最頻値は一意ではない。例えば、一様分布ではどの点も最頻値になり得る。

単一の中心点の代わりに、複数の点を指定して、それらの点からのばらつきを最小化することができます。これはクラスタリング分析につながり、データセット内の各点が最も近い「中心」にクラスタリングされます。最も一般的には、2ノルムを使用すると平均値がk平均クラスタリングに一般化され、1ノルムを使用すると（幾何）中央値がk中央値クラスタリングに一般化されます。0ノルムを使用すると、最頻値（最も頻繁に出現する値）が、最も頻繁に出現するk個の値を中心として使用するように一般化されます。

単一施設の統計とは異なり、この多施設クラスタリングは一般に閉形式の式で計算することはできず、代わりに反復法によって計算または近似する必要があります。一般的なアプローチの1つは期待値最大化アルゴリズムです。

変動を最小化する「中心」という概念は、情報幾何学において、データセットからの乖離（一般化された距離）を最小化する分布として一般化できる。最も一般的なケースは最尤推定であり、最尤推定値（MLE）は尤度を最大化する（期待される驚きを最小化する）が、エントロピーを用いて変動を測定することで幾何学的に解釈できる。MLEは交差エントロピー（同等に、相対エントロピー、カルバック・ライブラー情報量）を最小化する。

この簡単な例として、名義尺度データの中心が挙げられます。最頻値（唯一の単一値の「中心」）を使用する代わりに、経験的尺度（頻度分布をサンプルサイズで割った値）を「中心」として使用することがよくあります。たとえば、表か裏かの二値データの場合、データセットが表2つと裏1つで構成されていれば、最頻値は「表」ですが、経験的尺度は表2/3、裏1/3となり、データセットからの交差エントロピー（総驚き度）を最小化します。この考え方は回帰分析でも使用されており、最小二乗法は距離を最小化する解を見つけ、同様にロジスティック回帰では、最尤推定法が驚き度（情報距離）を最小化します。

算術平均が推定のために 2 から n のケースに拡張された最初の記録は16 世紀です。16 世紀後半以降、さまざまな分野で測定誤差を減らすために徐々に一般的な方法になりました。^{[ 36 ] [ 37 ]}当時、天文学者は、惑星の位置や月の直径など、ノイズの多い測定値から真の値を知りたいと思っていました。複数の測定値の平均を使用することで、科学者は、すべての測定値の合計と比較すると、誤差の合計が比較的小さい数になると仮定しました。観測誤差を減らすために平均を取る方法は、主に天文学で開発されました。^{[ 36 ] [ 38 ]}算術平均の可能性のある前身は、中間値(2 つの極値の平均) であり、たとえば 9 世紀から 11 世紀のアラビア天文学で使用されていましたが、冶金や航海でも使用されていました。^{[ 37 ]}

しかし、算術平均の使用に関するさまざまな古い曖昧な言及があります（それほど明確ではありませんが、平均の現代の定義と合理的に関連している可能性があります）。4 世紀のテキストには次のように書かれています（角括弧内のテキストは、意味を明確にする可能性のある欠落したテキストです）：^{[ 39 ]}

まず、1から9までの数字の列を1列に並べます。1、2、3、4、5、6、7、8、9。次に、これらの数字をすべて足し合わせます。列には9つの項があるので、合計の9分の1が列の数字の中に自然に含まれているかどうかを確認します。すると、合計の9分の1であるという性質は、算術平均そのものにのみ属することがわかります。

さらに古い可能性のある参照も存在します。紀元前700年頃から、商人や船主が貨物や船の損害（海による損害の場合の「負担分」）を平等に分担することに合意したという記録があります。^{[ 38 ]}これは平均値を使用して計算された可能性がありますが、計算の直接的な記録はないようです。

アラビア語では、その語根はعوار ʿawār（欠陥、または部分的に傷んだ商品を含む欠陥や損傷のあるもの）と、عواري ʿawārī (また عوارة ʿawāra ) = 「ʿawārの、またはそれに関連する、部分的な損傷の状態」として見られます。^{[ g ]}西洋の言語では、この単語の歴史は地中海の中世の海上貿易に始まります。12 世紀と 13 世紀のジェノヴァのラテン語avariaは「商船の航海に関連して発生する損害、損失、および通常とは異なる費用」を意味し、同じ意味のavariaは 1210 年のマルセイユ、1258 年のバルセロナ、13 世紀後半のフィレンツェでも見られます。^{[ h ]} 15 世紀のフランス語avarieも同じ意味で、英語の「averay」（1491 年）と英語の「average」（1502 年）も同じ意味で生まれました。今日でも、イタリア語のavaria、カタルーニャ語のavaria、フランス語のavarie は依然として「損害」という主要な意味を持っています。英語での意味の変化は、中世後期から近世初期の西洋の商船法契約で始まりました。この契約では、船が激しい嵐に遭遇し、船を軽くして安全にするために一部の商品を海に投げ捨てる必要があった場合、船に積まれていた商品のすべての商人が比例して損害を被ることになっていました（投げ捨てられた商品の所有者だけが損害を被るわけではありません）。また、より一般的には、あらゆるavariaは比例的に分配されることになっていました。そこから、この言葉は英国の保険会社、債権者、商人が、損失が資産ポートフォリオ全体に分散され、平均的な割合を持っていることを話すために採用されました。^{[ h ] [ 40 ]}

海上損害は、損害を受けた財産の所有者のみが負担する個別損害と、海上事業に関与したすべての当事者から比例配分を請求できる共同損害の2種類に分けられます。共同損害の計算方法から、「平均」という言葉が「算術平均」を意味するようになりました。

1674年には既に記録されており、「averish」と綴られることもある英語での2つ目の用法は、畑作物の残渣や二次成長物を指し、これらは荷役動物（「avers」）の食用に適していると考えられていた。^{[ 41 ]}

この言葉には、それ以前（少なくとも11世紀）の、関連性のない用例がある。これは、小作人が保安官に対して負う日当労働義務を表す古い法律用語であり、おそらくイングランドのドゥームズデイ・ブック（1085年）に記載されている「avera」が英語化されたものと思われる。

しかし、オックスフォード英語辞典によれば、ドイツ語のhafen（港）やアラビア語のʿawâr（損失、損害）からの派生は「完全に排除された」とされ、この単語はロマンス語起源であるとされている。^{[ 42 ]}