除数

数学において、整数の約数${\displaystyle n,}$の要因とも呼ばれる${\displaystyle n,}$整数です${\displaystyle m}$それは、ある整数を掛けて生成することができます${\displaystyle n.}$^{[ 1 ]}この場合、次のように言うこともできます。${\displaystyle n}$の倍数です${\displaystyle m.}$整数${\displaystyle n}$別の整数で割り切れる、または均等に割り切れる${\displaystyle m}$もし${\displaystyle m}$はの約数です${\displaystyle n}$;これは分割を意味する${\displaystyle n}$による${\displaystyle m}$残りは一切ない。

約数の概念は、同じ定義で任意の環の要素にも拡張されます。可除性（環論）を参照してください。

整数​${\displaystyle n}$ゼロ以外の整数で割り切れる${\displaystyle m}$整数が存在する場合${\displaystyle k}$そのため${\displaystyle n=km.}$これは次のように書かれています

${\displaystyle m\mid n.}$

これは次のように解釈できます。${\displaystyle m}$分ける${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$はの約数です${\displaystyle n,}$${\displaystyle m}$は${\displaystyle n,}$または${\displaystyle n}$の倍数です${\displaystyle m.}$もし${\displaystyle m}$割り切れない${\displaystyle n,}$すると表記は次のようになります${\displaystyle m\not \mid n.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

2 つの慣習があり、${\displaystyle m}$ゼロでも構いません。

• 追加の制約のない慣習により${\displaystyle m,}$${\displaystyle m\mid 0}$すべての整数に対して${\displaystyle m.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}
• 慣習により${\displaystyle m}$ゼロ以外であること、${\displaystyle m\mid 0}$すべてのゼロでない整数に対して${\displaystyle m.}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

約数は正の数だけでなく負の数も含まれるが、多くの場合、正の約数に限定して用いられる。例えば、4の約数は1、2、4、-1、-2、-4の6つであるが、通常は正の数（1、2、4）のみが言及される。

1と-1はすべての整数を割り切ります（約数です）。すべての整数（およびその負の数）は、それ自身を約数とします。2で割り切れる整数は偶数と呼ばれ、2で割り切れない整数は奇数と呼ばれます。

1、-1、${\displaystyle n}$そして${\displaystyle -n}$は、​${\displaystyle n.}$の約数${\displaystyle n}$自明な約数ではないものは、非自明な約数（または厳密な約数^{[ 6 ]}）として知られています。少なくとも1つの非自明な約数を持つゼロでない整数は合成数として知られており、1の位の-1と1、および素数は非自明な約数を持っていません。

数の桁から特定の約数を判別できるような割り算の規則が存在する。

• 7は42の約数です。${\displaystyle 7\times 6=42,}$だから私たちはこう言える${\displaystyle 7\mid 42.}$42は7で割り切れる、42は7の倍数である、7は42を割り切る、または7は42の約数である、とも言える。
• 6の非自明な約数は、2、-2、3、-3です。
• 42の正の約数は、1、2、3、6、7、14、21、42です。
• 60 のすべての正の約数の集合、${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$可除性によって部分的に順序付けられ、ハッセ図式を持つ。

基本的なルールがいくつかあります。

• もし${\displaystyle a\mid b}$そして${\displaystyle b\mid c,}$それから${\displaystyle a\mid c;}$つまり、可除性は推移的な関係である。
• もし${\displaystyle a\mid b}$そして${\displaystyle b\mid a,}$それから${\displaystyle a=b}$または${\displaystyle a=-b.}$（つまり、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$（関係者です。）
• もし${\displaystyle a\mid b}$そして${\displaystyle a\mid c,}$それから${\displaystyle a\mid (b+c)}$保持する、同様に${\displaystyle a\mid (bc).}$^{[ a ]}ただし、${\displaystyle a\mid b}$そして${\displaystyle c\mid b,}$それから${\displaystyle (a+c)\mid b}$常に成り立つとは限らない（例えば、${\displaystyle 2\mid 6}$そして${\displaystyle 3\mid 6}$しかし、5は6を割り切れない。
• ${\displaystyle a\mid b\iff ac\mid bc}$ゼロ以外の場合${\displaystyle c}$これは、書くことからすぐに導き出される。${\displaystyle ka=b\iff kac=bc}$。

もし${\displaystyle a\mid bc,}$そして${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$それから${\displaystyle a\mid c.}$^{[ b ]}これはユークリッドの補題。

もし${\displaystyle p}$は素数であり、${\displaystyle p\mid ab}$それから${\displaystyle p\mid a}$または${\displaystyle p\mid b.}$

の正の約数${\displaystyle n}$それは${\displaystyle n}$と呼ばれる真の約数またはアリコートの${\displaystyle n}$（例えば、6の真の約数は1、2、3です。）割り切れない数${\displaystyle n}$しかし、残りは時々、アリカント部分${\displaystyle n.}$

整数${\displaystyle n>1}$唯一の約数が1である数を素数と呼ぶ。言い換えれば、素数とは、1とそれ自身という2つの正の約数を持つ正の整数である。

の任意の正の約数${\displaystyle n}$は素因数の積である${\displaystyle n}$それぞれが何らかのべき乗になっている。これは算術の基本定理の結果である。

番号${\displaystyle n}$は、その真の約数の和に等しい場合完全数と呼ばれ、その真の約数の和が 1 未満の場合不足数と呼ばれる。${\displaystyle n,}$そしてこの合計が超える場合は豊富である${\displaystyle n.}$

の正の約数の総数${\displaystyle n}$乗法関数です${\displaystyle d(n),}$つまり、2つの数字が${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$互いに素である場合、${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$例えば、${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$42の約数は8つあり、1、2、3、6、7、14、21、42です。ただし、正の約数の数は完全な乗法関数ではありません。2つの数が${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$共通の約数を持つ場合、次のことは真実ではないかもしれない。${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$の正の約数の合計${\displaystyle n}$は別の乗法関数です${\displaystyle \sigma (n)}$（例えば、${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$これらの関数はどちらも除数関数の例です。

素因数分解​${\displaystyle n}$は

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

すると、正の約数の数${\displaystyle n}$は

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

そして各約数は次の形式をとる。

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

どこ$\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$各${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

すべての自然のために${\displaystyle n,}$${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

また、^{[ 7 ]}

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

どこ${\displaystyle \gamma }$オイラー・マスケローニ定数は です。この結果の解釈の一つとして、ランダムに選ばれた正の整数n は平均して約 個の約数を持つということが挙げられます。${\displaystyle \ln n.}$しかし、これは「異常に多くの」約数を持つ数の寄与による結果である。

除数が 0 になる定義では、整除性の関係によって集合が${\displaystyle \mathbb {N} }$非負整数の集合を、完全分配束である半順序集合に分割する。この束の最大要素は 0、最小要素は 1 である。結合演算∧は最大公約数で、結合演算∨は最小公倍数で与えられる。この束は、無限巡回群Zの部分群の束の双対と同型である。

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