格子（順序）

格子は、順序理論と抽象代数学のサブ分野で研究される抽象構造です。格子は、すべての要素のペアが一意の上限（最小上限または結合とも呼ばれる）と一意の下限（最大下限または会合とも呼ばれる）を持つ、部分的に順序付けられた集合で構成されます。例として、包含によって部分的に順序付けられた集合のべき集合が挙げられます。この場合、上限は和集合で、下限は積集合です。別の例として、割り切れるかどうかによって部分的に順序付けられた自然数が挙げられます。この場合、上限は最小公倍数で、下限は最大公約数です。

格子は、特定の公理的恒等式を満たす代数構造としても特徴付けられる。2 つの定義は同等であるため、格子理論は順序理論と普遍代数の両方を利用する。半格子には格子が含まれ、格子にはヘイティング代数とブール代数が含まれる。これらの格子のような構造はすべて、順序理論的記述と代数的記述の両方 を許容する。

格子を研究する抽象代数学のサブ分野は、格子理論と呼ばれます。

格子は、部分的に順序付けられた集合として順序理論的に定義することも、代数構造として定義することもできます。

半順序集合（poset）は、それが結合半格子 かつ 会合半格子である場合、つまり、各2要素部分集合が結合（すなわち、最小上限、 で表される）を持ち、双対的に会合（すなわち、最大下限、 で表される）を持つ場合、格子と呼ばれます。この定義により、および二項演算が行われます。両方の演算は、指定された順序に関して単調です。およびは、およびを意味します。${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle \{a,b\}\subseteq L}$${\displaystyle a\vee b}$${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle \,\wedge \,}$${\displaystyle \,\vee \,}$ ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}}$${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}}$${\displaystyle a_{1}\vee b_{1}\leq a_{2}\vee b_{2}}$${\displaystyle a_{1}\wedge b_{1}\leq a_{2}\wedge b_{2}.}$

帰納的議論により、格子の空でない有限部分集合はすべて最小上限と最大下限を持つことがわかります。追加の仮定により、さらなる結論が可能になる場合があります。この主題の詳細については、 「完全性 (順序理論)」を参照してください。その記事では、関連する半順序集合間の適切なガロア接続の存在という観点から上記の定義を言い換える方法についても説明しています。これは、格子に対するカテゴリ理論的アプローチや形式概念分析にとって特に興味深いアプローチです。

格子のサブセットが与えられた場合、meetとjoinは部分関数に制限されます。つまり、その値がサブセットに含まれていない場合は未定義です。結果として得られる構造は、${\displaystyle H\subseteq L,}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$部分格子。他の代数構造（格子）のサブセットとしてのこの外在的定義に加えて、部分格子は、特定の公理を満たす2つの部分二項演算を持つ集合として本質的に定義することもできます。^[1]

格子は代数構造 であり、集合と2つの二項、可換、結合演算で構成され、すべての要素に対して次の公理的な恒等式（吸収法則と呼ばれることもある）を満たす。 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle L}$${\displaystyle a,b\in L}$$${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a}$$ $${\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}$$

次の2つの恒等式も、2つの吸収法則を合わせた結果として得られるにもかかわらず、通常は公理とみなされます。^{[2]これらは}べき等法則と呼ばれます。 $${\displaystyle a\vee a=a}$$ $${\displaystyle a\wedge a=a}$$

これらの公理は、と は両方とも半格子であると主張します。吸収法則は、上記の公理の中で、 と が交わり、結合する唯一の公理であり、格子を任意の半格子構造のペアと区別し、2 つの半格子が適切に相互作用することを保証します。特に、各半格子は他の半格子の双対です。吸収法則は、 と が交わる半格子が同じ半順序を定義するという要件と見なすことができます。 ${\displaystyle (L,\vee )}$${\displaystyle (L,\wedge )}$

順序論的格子は 2 つの二項演算を生じます。これらの演算に対しては、交換法則、結合法則、吸収法則が簡単に検証できるため、代数的な意味で格子になります。 ${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge .}$${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$

逆もまた真です。代数的に定義された格子が与えられた場合、 すべての要素に対して を設定することにより、 上の半順序を定義できます。吸収の法則により、両方の定義が同等であることが保証されます。 また、逆方向に対しても となります。 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ),}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle L}$$${\displaystyle a\leq b{\text{ if }}a=a\wedge b,{\text{ or }}}$$ $${\displaystyle a\leq b{\text{ if }}b=a\vee b,}$$${\displaystyle a,b\in L.}$$${\displaystyle a=a\wedge b{\text{ implies }}b=b\vee (b\wedge a)=(a\wedge b)\vee b=a\vee b}$$

このようにして導入された関係は、元の操作を通じてバイナリの会合と結合が与えられる部分的な順序を定義していることを確認できます。${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge .}$

格子の 2 つの定義は同等であるため、目的に応じて、いずれかの定義の側面を自由に呼び出すことができます。

有界格子とは、最大要素（最大またはトップ要素とも呼ばれ、 または で表されます）と最小要素（最小 またはボトム とも呼ばれ、またはで表されます）がさらに存在し 、${\displaystyle 1,}$${\displaystyle \top }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \bot }$$${\displaystyle 0\leq x\leq 1\;{\text{ for every }}x\in L.}$$

有界格子は、格子であり、（格子の底部）は結合操作の単位元であり、（格子の上部）は会合操作の単位元であるような形式の代数構造として定義されることもできる。${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,0,1)}$${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \vee ,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \wedge .}$ $${\displaystyle a\vee 0=a}$$ $${\displaystyle a\wedge 1=a}$$

部分的に順序付けられた集合が有界束であるためには、すべての有限集合（空集合を含む）に結合と会合がある必要がある。^[要出典] poset のすべての要素について、および が空虚に真であり、 したがって poset のすべての要素は空集合の上限と下限の両方である。これは、空集合の結合が最小の要素であり、空集合の会合が最大の要素であることを意味する。これは、会合と結合の結合法則および可換法則と一致している。有限集合の和集合の結合は、集合の結合の結合に等しく、また、有限集合の和集合の会合は、集合の会合の会合に等しい。つまり、有限部分集合に対して、poset および が 成り立つ。を空集合とすると、 これ は次の事実と一致している。${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{ for all }}a\in \varnothing ,x\leq a}$${\displaystyle {\text{ for all }}a\in \varnothing ,a\leq x,}$${\textstyle \bigvee \varnothing =0,}$${\textstyle \bigwedge \varnothing =1.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L,}$ $${\displaystyle \bigvee (A\cup B)=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee B\right)}$$$${\displaystyle \bigwedge (A\cup B)=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge B\right)}$$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \bigvee (A\cup \varnothing )=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee \varnothing \right)=\left(\bigvee A\right)\vee 0=\bigvee A}$$$${\displaystyle \bigwedge (A\cup \varnothing )=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge \varnothing \right)=\left(\bigwedge A\right)\wedge 1=\bigwedge A,}$$${\displaystyle A\cup \varnothing =A.}$

すべての格子は、最大元と最小元を追加することで、有界格子に埋め込むことができます。さらに、すべての要素の結合 (それぞれ 、 ) を取ることで、すべての空でない有限格子は有界になり、(それぞれ) で表されます。ここで、 はすべての要素の集合です。 ${\textstyle 1=\bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}}$${\textstyle 0=\bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n}}$${\displaystyle L=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$

格子は、群のような代数構造の族と何らかのつながりを持っています。 出会うと結合は可換かつ連合なので、格子は同じ定義域を持つ 2 つの可換半群で構成されていると見なすことができます。有界格子の場合、これらの半群は実際には可換モノイドです。吸収法則は、格子理論に特有の唯一の定義的恒等式です。 有界格子は、分配公理のない 可換リグと考えることもできます。

可換性、結合性、および冪等性により、結合と会合は、要素のペアではなく、空でない有限集合に対する操作として考えることができます。境界付き格子では、空集合の結合と会合も定義できます (それぞれ および として) 。これにより、境界付き格子は一般格子よりも多少自然になり、多くの著者はすべての格子が境界付きであることを要求します。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1,}$

格子の代数的解釈は普遍代数学において重要な役割を果たしている。^[要出典]

• 
  図 1:集合包含の下の部分集合。「格子」という名前は、それを表すハッセ図の形に由来しています。${\displaystyle \{x,y,z\},}$
• 
  図 2: 60 の約数の格子。「約数」順に並べられています。
• 
  図 3:「refines 」順に並べられたパーティションの格子。${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$
• 
  図4:正の整数の格子、${\displaystyle \,\leq ,}$
• 
  図 5:成分ごとに順序付けられた非負整数ペアの格子。

• 任意の集合について、のすべての部分集合のコレクション(の冪集合と呼ばれる)は、部分集合の包含によって順序付けされ、それ自身と空集合によって境界が定められた格子を得ることができます。この格子では、最大値は集合の和集合によって提供され、最小値は集合の積集合によって提供されます(図 1 を参照)。${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• 任意の集合について、包含によって順序付けられたのすべての有限部分集合のコレクションも格子であり、が有限である場合に限り有界になります。${\displaystyle A,}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$
• 任意の集合に対して、を細分化で順序付けしたすべてのパーティションの集合は格子になります (図 3 を参照)。${\displaystyle A,}$${\displaystyle A,}$
• 通常の順序の正の整数は、「最小」と「最大」の演算の下で、無限の格子を形成します。1 は底辺であり、頂点はありません (図 4 を参照)。
• 自然数の直交座標の平方。ペアが下側の要素である場合、上側は存在しないように並べられています (図 5 を参照)。${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$${\displaystyle a\leq c{\text{ and }}b\leq d.}$${\displaystyle (0,0)}$
• 自然数も、最大公約数と最小公倍数を取る操作によって格子を形成します。この場合、割り切れるかどうかは順序関係です。が割り切れる場合はが下、が上になります。図 2 は有限部分格子を示しています。${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$
• すべての完全格子（下記も参照）は（かなり特殊な）有界格子です。このクラスは、幅広い実用的な例を生み出します。
• 算術完全格子のコンパクト元の集合は最小元を持つ格子であり、格子演算は算術格子のそれぞれの演算を制限することによって与えられる。これは算術格子を代数格子と区別する特有の性質であり、代数格子の場合、コンパクトは結合半格子のみを形成する。これら両方の完全格子のクラスは領域理論で研究される。

以下で説明する追加のプロパティごとに、格子のさらなる例を示します。

次のようなものを含め、ほとんどの半順序集合は格子ではありません。

• 離散 poset とは、最大で 1 つの要素を持つ場合にのみ格子となる poset を意味します。特に、2 つの要素を持つ離散 poset は格子ではありません。${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x=y,}$
• 割り切れるかどうかで部分的に順序付けられた集合は格子であるが、そのように順序付けられた集合は格子ではない。なぜなら、2, 3のペアには結合が欠けているからである。同様に、2, 3のペアには交わりが欠けている。${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{2,3,6\}.}$
• 割り切れる度合いによって部分的に順序付けられた集合は、格子ではありません。すべての要素のペアには上限と下限がありますが、2 と 3 のペアには 3 つの上限、つまり 12、18、36 があり、いずれも割り切れる度合いにおいて 3 つのうちの最小値ではありません (12 と 18 は互いに割り切れません)。同様に、12 と 18 のペアには 3 つの下限、つまり 1、2、3 があり、いずれも割り切れる度合いにおいて 3 つのうちの最大値ではありません (2 と 3 は互いに割り切れません)。${\displaystyle \{1,2,3,12,18,36\}}$

2つの格子間の射の適切な概念は、上記の代数的定義から容易に導き出される。2つの格子とLからMへの格子準同型が与えられたとき、すべての${\displaystyle \left(L,\vee _{L},\wedge _{L}\right)}$${\displaystyle \left(M,\vee _{M},\wedge _{M}\right),}$${\displaystyle f:L\to M}$${\displaystyle a,b\in L:}$ $${\displaystyle f\left(a\vee _{L}b\right)=f(a)\vee _{M}f(b),{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle f\left(a\wedge _{L}b\right)=f(a)\wedge _{M}f(b).}$$

したがって、 は2 つの基礎となる半格子の準同型です。 より多くの構造を持つ格子を考慮する場合、射は追加の構造も「尊重」する必要があります。 特に、2 つの境界付き格子と の間の境界付き格子準同型(通常は単に「格子準同型」と呼ばれます)には、次の特性も必要です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle f\left(0_{L}\right)=0_{M},{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle f\left(1_{L}\right)=1_{M}.}$$

順序論的定式化では、これらの条件は、格子の準同型がバイナリの交わりと結合を保存する関数であることを単に述べています。境界付き格子の場合、最小元と最大元の保存は、空集合の結合と交わりを保存することと同じです。

束の準同型は、関連する順序関係に関して必然的に単調です。極限保存関数を参照してください。逆は真ではありません。単調性は決して、会合と結合の必要な保存を意味するものではありません (図 9 を参照)。ただし、順序保存の 全単射は、その逆も順序保存である場合は準同型です。

同型写像の標準的な定義を可逆写像とすると、格子同型写像は単射格子準同型写像に過ぎません。同様に、格子自己同型写像​​は格子からそれ自身への格子準同型写像であり、格子自己同型写像​​は単射格子自己準同型写像です。格子とその準同型写像はカテゴリを形成します。

と を0と1 を持つ 2 つの格子とします。 からへの準同型写像は0、1 -分離と呼ばれ、 ( が0 を分離)かつ(が 1 を分離 )の場合に限ります。 ${\displaystyle \mathbb {L} }$${\displaystyle \mathbb {L} '}$${\displaystyle \mathbb {L} }$${\displaystyle \mathbb {L} '}$ ${\displaystyle f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}}$${\displaystyle f}$

格子の部分格子は、格子と同じ会合および結合操作を持つ格子の部分集合である。 つまり、が格子であり、がの部分集合であり、とが属するすべての要素のペアに対して、が^[3]の部分格子である。${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a,b\in M}$${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle a\vee b}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L.}$

格子の部分格子は、の凸部分格子であり、すべての要素に対して がに属することを意味する。${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle x\leq z\leq y}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle x,y,z\in L.}$

ここでは、興味深い特殊な格子クラスにつながる重要な特性をいくつか紹介します。その 1 つである有界性については、すでに説明しました。

poset は、そのすべての部分集合に結合と会合の両方がある場合、完全格子と呼ばれます。特に、すべての完全格子は有界格子です。一般に、有界格子準同型は有限の結合と会合のみを保存しますが、完全格子準同型は任意の結合と会合を保存する必要があります。

完全半格子であるすべての poset は、完全格子でもあります。この結果に関連して、このクラスの poset には、完全格子、完全結合半格子、完全会合半格子、または結合完全格子または会合完全格子として見られるかどうかに応じて、準同型性のさまざまな競合する概念が存在するという興味深い現象があります。

「部分格子」は「完全格子」の反対語ではありません。むしろ、「部分格子」、「格子」、および「完全格子」はますます制限的な定義になります。

条件付き完全格子とは、上限を持つすべての空でない部分集合に結合（つまり、最小の上限）がある格子である。このような格子は、実数の完全性公理の最も直接的な一般化を提供する。条件付き完全格子は、完全格子、または最大元と最小元がない完全格子、またはその両方である。^{[4] [5]}${\displaystyle 1,}$${\displaystyle 0,}$

格子には 2 つの二項演算が伴うため、そのうちの 1 つが他の 1 つに対して分配されるかどうか、つまり、次の双対法則のいずれかが3 つの要素ごとに成り立つかどうかを尋ねるのは自然なことです。 ${\displaystyle a,b,c\in L,}$

分配率${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$

$${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c).}$$

分配率${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$

$${\displaystyle a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c).}$$

最初の公理、あるいは（結局のところ）2 番目の公理を満たす格子は、分配格子と呼ばれます。6 個未満の要素を持つ非分配格子は、M ₃および N ₅と呼ばれます。^{[6]これらはそれぞれ図 10 および 11 に示されています。格子が分配的であるためには、M} ₃または N ₅に同型な部分格子が存在しない必要があります。^[7]各分配格子は、集合の格子と同型です（和集合と積集合はそれぞれ join と meet です）。^[8]

完全格子に適しており、フレームや完全分配格子などのより特殊な格子のクラスを定義するために使用される、分配性のより強い概念の概要については、 「順序理論における分配性」を参照してください。

いくつかのアプリケーションでは分配性条件は強すぎるので、次のより弱い特性が役に立つことが多い。すべての元に対して次の恒等式が成り立つ とき、格子はモジュラーである: (モジュラー恒等式) この条件は次の公理と同等である: は次を 意味する(モジュラー法則)格子がモジュラーであるのは、 N _{5に同型な}部分格子 を持たないときのみである(図 11 参照)。^{[7]分配格子の他に、モジュラー格子の例には、}モジュール のサブモジュールの格子(したがってモジュラー)、環の両側イデアルの格子、群の正規部分群の格子がある。順序付けが「 より特定的」である一次項の集合は、自動推論で使用される非モジュラー格子である。 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$${\displaystyle a,b,c\in L,}$${\displaystyle (a\wedge c)\vee (b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c.}$
${\displaystyle a\leq c}$${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c.}$

有限格子がモジュラーであるためには、それが上半モジュラーかつ下半モジュラーである必要がある。次数付き格子の場合、（上半）モジュラー性は階数関数の次の条件と同等である。${\displaystyle r\colon }$

${\displaystyle r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).}$

もう一つの同等の条件（段階的格子の場合）はバーコフの条件です。

それぞれについて、およびが両方をカバーする場合、およびの両方をカバーする${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\wedge y,}$${\displaystyle x\vee y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

格子の双対が半モジュラーである場合、その格子は下半モジュラーと呼ばれる。有限格子の場合、これは前述の条件が と で保持され、"被覆" が "で被覆される" で置き換えられ、不等式が逆になることを意味する。^[9]${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$

領域理論では、半順序の要素を「はるかに単純な」要素で近似しようとするのは自然なことです。これにより、連続 posetのクラスが生まれます。これは、すべての要素が、その要素よりはるかに下にある要素の有向集合の上限として得られる poset で構成されます。さらに、これらの有向集合を得るために poset のコンパクト要素に制限できる場合、poset は代数的でもあります。両方の概念は、次のように格子に適用できます。

• 連続格子は、半集合として連続する完全な格子です。
• 代数格子は、半順序集合として代数的である完全な格子です。

これらのクラスは両方とも興味深い特性を持っています。たとえば、連続格子は、特定の恒等式を満たす代数構造 (無限演算を含む) として特徴付けることができます。代数格子ではこのような特徴付けは知られていませんが、スコット情報システムを介して「構文的に」記述できます。

を最大元が 1、最小元が 0 である有界格子とします。 の 2 つの元とが互いに補元となるのは、次の場合のみ です。${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle x\vee y=1\quad {\text{ and }}\quad x\wedge y=0.}$$

一般に、有界格子のいくつかの要素は補集合を持たないことがあり、他の要素は複数の補集合を持つことがあります。たとえば、通常の順序を持​​つ集合は有界格子であり、補集合を持ちません。有界格子 N ₅では、要素にはとの 2 つの補集合があります(図 11 を参照)。すべての要素に補集合がある有界格子は、補集合格子と呼ばれます。 ${\displaystyle \{0,1/2,1\}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

分配的でもある補格子はブール代数です。分配格子の場合、 の補格子が存在するときは、その補格子は一意です。 ${\displaystyle x,}$

補集合が一意である場合、と書きます。これは同等で、上の対応する単項演算は補集合と呼ばれ、論理否定の類似物を格子理論に導入します。 ${\textstyle \lnot x=y}$${\textstyle \lnot y=x.}$${\displaystyle L,}$

ヘイティング代数は、一部の要素に補集合がない可能性がある分配格子の一例です。一方、ヘイティング代数のどの要素にも擬似補集合があり、 とも表記されます。擬似補集合は、となる最大の要素です。ヘイティング代数のすべての要素の擬似補集合が実際に補集合である場合、ヘイティング代数は実際にはブール代数です。 ${\displaystyle z}$${\textstyle \lnot x.}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\wedge y=0.}$

からへの連鎖は、この連鎖の長さが n 、つまりその要素数より1少ない集合である。連鎖が最大となるのは、すべての を網羅する場合である。${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\right\},}$${\displaystyle x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}.}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i-1}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$

任意のペアに対して、 から までのすべての極大連鎖が同じ長さである場合、格子はジョルダン・デデキント連鎖条件を満たすと言われます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle x<y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

格子が から へのランク関数を備えることができ、順序付けと互換性があり（つまり の場合は常に）、 が を常にカバーする場合、その格子は次数付き（ランク付き poset の場合もあります）と呼ばれます。格子要素のランク関数 の値は、そのランクと呼ばれます。 ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle r:L\to \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle r(x)<r(y)}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$${\displaystyle r(y)=r(x)+1.}$

格子要素が他の要素を覆うとは、しかし、そのような要素が存在しないことを意味する。 ここで、は、およびを意味する。${\displaystyle y}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle y>x,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y>z>x.}$${\displaystyle y>x}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\neq y.}$

任意の集合を使用して自由半格子を生成することができる。自由半格子は、通常の集合の和集合によって与えられる半格子演算を伴うの有限部分集合のすべてから構成されると定義される。自由半格子は普遍的性質を持つ。集合上の自由格子に対して、ホイットマンはの要素上の多項式に基づく構成を与えた。^{[10] [11]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX.}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

ここで、格子理論にとって重要ないくつかの順序論的概念を定義します。以下では、ある格子の元を次のように呼びます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle x}$

• 結合既約性が、すべてに対してを意味する場合 に底部元がある場合、一部の著者は を要求する。^[12]最初の条件が任意の結合に一般化されると、は完全に結合既約性（または-既約性）と呼ばれる。双対的な概念は、会既約性（-既約性）である。たとえば、図2では、要素2、3、4、および5は結合既約性であり、12、15、20、および30は会既約性である。定義に応じて、底部元1と上部元60は、それぞれ結合既約性および会既約性と見なされる場合とそうでない場合がある。通常の順序を持​​つ実数の格子では、各要素は結合既約性であるが、完全に結合既約性である要素はない。${\displaystyle x=a\vee b}$${\displaystyle x=a{\text{ or }}x=b.}$${\displaystyle a,b\in L.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle \bigvee _{i\in I}a_{i},}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$
• 結合素数の場合、が成り立ちます。 再び、 を要求する著者もいますが、これは珍しいことです。^[13]これも一般化して、結合素数 という概念を完全に得ることができます。この双対概念は、を満たす素数です。すべての結合素数要素は結合既約でもあり、すべての を満たす素数要素は満たし既約でもあります。 が分配的である場合、その逆が成り立ちます。${\displaystyle x\leq a\vee b}$${\displaystyle x\leq a{\text{ or }}x\leq b.}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle L}$

に底元 0 があるとします。の要素がアトムである場合、 となり、 となる要素は存在しません。その場合、は次のように呼ばれます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0<x}$${\displaystyle y\in L}$${\displaystyle 0<y<x.}$${\displaystyle L}$

• の非ゼロ元に対して、次の条件を満たす原子が存在するとき、原子となる。 ^[14]${\displaystyle x}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a\leq x;}$
• のすべての要素が原子の上限である場合、原子論的である。^[15]${\displaystyle L}$

しかし、多くの情報源や数学コミュニティでは、「アトミック」という用語を、上で定義された「原子論的」という意味で使用しています。^[要出典]

イデアルの概念とフィルタの双対概念は、半順序集合の特定の種類の部分集合を指すため、格子理論にとって重要です。詳細については、それぞれの項目を参照してください。

• 参加して会う – 秩序理論の概念
• 格子の地図 – 数学の概念
• 直交補完格子
• 全順序 – すべての要素が比較可能な順序
• 理想 – 空でない、上限のある、下向きに閉じた部分集合とフィルター（双対概念）
• 歪んだ格子 - 代数構造Pages displaying wikidata descriptions as a fallback（非可換な結合と会合への一般化）
• オイラー格子
• ポストの格子 – 2要素集合{0, 1}上のすべてのクローン（合成に関して閉じており、すべての射影を含む論理接続子の集合）の格子。包含順に並べられている。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• タマリ格子 – 式を括弧で囲む順序によって形成される数学的オブジェクトPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• ヤング・フィボナッチ格子
• 0,1-単純格子

多くのアプリケーションでは、セットは部分的な格子にすぎないことに注意してください。つまり、すべての要素のペアに交わりや結合があるわけではありません。

• 無意味なトポロジー
• 部分群の格子
• スペクトル空間
• 不変部分空間
• クロージャ演算子
• 抽象的解釈
• 包摂格子
• ファジィ集合論
• 一階論理の代数化
• プログラミング言語のセマンティクス
• ドメイン理論
• オントロジー（コンピュータサイエンス）
• 多重継承
• 形式概念分析とLattice Miner (理論とツール)
• ブルームフィルタ
• 情報の流れ
• 順序最適化
• 量子論理
• 中央値グラフ
• 知識空間
• 定期的な言語学習
• 類推モデリング