ウェッジ合計

位相幾何学において、くさび和は位相空間の族の「一点和」である。具体的には、XとY が尖った空間（すなわち、区別された基点とを持つ位相空間）である場合、 XとYのくさび和は、次の同一視によるXとYの非交差和の商空間である。${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}:}$ $${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$$

ここで、 は関係の同値閉包です 。より一般的には、 は基点 を持つ尖った空間のインデックス付き族であるとします。族のウェッジ和は次のように与えられます。 ここで、は関係の同値閉包です。言い換えれば、ウェッジ和は、1 つの点で複数の空間を結合したものです。この定義は、空間が同次でない限り、 基点の選択に左右されます。 ${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}}.}$${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}.}$$${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.}$${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I},}$${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

ウェッジ和は再び尖った空間であり、二項演算は結合的かつ可換的である（同相を除いて）。

ウェッジ和はウェッジ積と呼ばれることもありますが、これは外積（ウェッジ積と呼ばれることも多い） と同じ概念ではありません。

2 つの円のくさび和は8 の字空間に同相です。円のくさび和は円の花束と呼ばれることが多く、任意の球のくさび積は球の花束と呼ばれることが多いです。 ${\displaystyle n}$

ホモトピーにおける一般的な構成は、球面の赤道上のすべての点を特定することです。これにより、赤道であった点で結合された球面の 2 つのコピーが作成されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$$${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.}$$

を、赤道を 1 点まで特定する写像とします。すると、空間の- 次元ホモトピー群の2 つの要素を特定の点に加えることは、 とを合成したものとして理解できます。 ${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},}$${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi_{n}(X,x_{0})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Psi}$$${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi .}$$

ここで、は、特定の点を点 に写像するものです。上記では 2 つの関数のくさび和を使用していることに注意してください。これは、基礎となる空間のくさび和に共通の点でそれらが一致するため、まさに可能です。 ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$${\displaystyle x_{0}\in X.}$${\displaystyle s_{0},}$

ウェッジ和は、尖端空間のカテゴリにおける余積として理解することができます。あるいは、ウェッジ和は、位相空間のカテゴリ（ここでは任意の一点空間） における図の押し出しとして見ることができます。${\displaystyle X\leftarrow \{\bullet \}\to Y}$${\displaystyle \{\bullet \}}$

ファン・カンペンの定理は、 2つの空間のくさび和の基本群との基本群が、およびの基本群の自由積となる特定の条件（ CW複体などの行儀の良い空間では通常満たされる）を与える。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

• スマッシュ製品
• ハワイアンイヤリング、可算な数の円のくさび和に似ているが同じではない位相空間

• ロットマン、ジョセフ。代数的位相幾何学入門、Springer、2004年、p. 153。ISBN 0-387-96678-1