内部構造（トポロジー）

数学、特に位相幾何学において、位相空間Xの部分集合Sの内部は、S の X において開集合であるすべての部分集合の和集合である。S の内部にある点は、Sの内部点である。Sの内部は、 Sの補集合の閉包の補集合である。この意味で、内部と閉包は双対概念である。

集合Sの外部は、 Sの閉包の補集合であり、集合にも境界にも含まれない点から構成されます。部分集合の内部、境界、外部は、空間全体を3つのブロック（または、これらのうち1つ以上が空集合の場合はそれより少ないブロック）に分割します。

• いかなる空間においても、空集合の内部は空集合である。
• どんな空間でも${\displaystyle X,}$もし${\displaystyle S\subseteq X,}$それから${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• もし${\displaystyle X}$本当のラインは${\displaystyle \mathbb {R} }$（標準トポロジーの場合）${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$セットの内部は${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の空集合:${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• もし${\displaystyle X}$複素平面${\displaystyle \mathbb {C} ,}$それから${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C}$ :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C}  :|z|<1\}.}
• 任意のユークリッド空間において、任意の有限集合の内部は空集合である。

実数の集合には、標準的な位相以外にも様々な位相が存在する。

• もし${\displaystyle X}$実際の数字は${\displaystyle \mathbb {R} }$下限トポロジーの場合、${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• 考慮すると${\displaystyle \mathbb {R} }$すべての集合が開集合である位相、${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• 考慮すると${\displaystyle \mathbb {R} }$唯一の開集合が空集合と${\displaystyle \mathbb {R} }$それ自体、そして${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$は空集合です。

これらの例は、集合の内部が基となる空間の位相に依存することを示している。最後の2つの例は、以下の例の特殊なケースである。

• 任意の離散空間において、すべての集合は開集合であるため、すべての集合はその内部集合と等しい。
• あらゆる不連続な空間において${\displaystyle X,}$唯一のオープンセットは空集合と${\displaystyle X}$自体、${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$そしてすべての真部分集合に対して${\displaystyle S}$の${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$は空集合です。

させて${\displaystyle X}$を位相空間とし、${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$のサブセットである${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$オープンしています${\displaystyle X.}$
• もし${\displaystyle T}$オープンしています${\displaystyle X}$それから${\displaystyle T\subseteq S}$かつその場合に限り${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$は、の開部分集合である。${\displaystyle S}$いつ${\displaystyle S}$部分空間トポロジーが与えられます。
• ${\displaystyle S}$は、の開部分集合である。${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• 集中的な：${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• 冪等性：${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• バイナリ交差に関して保存/分配します:${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • しかし、内部演算子はユニオンに対して分配しない。なぜなら、${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$は一般的に保証されており、等号が成り立たない場合もある。^{[注1 ]}例えば、${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$そして${\displaystyle T=(0,\infty )}$それから${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$は、の真部分集合である。${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• 単調／減少しない${\displaystyle \subseteq }$： もし${\displaystyle S\subseteq T}$それから${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

その他の物件には以下が含まれます。

• もし${\displaystyle S}$閉鎖中${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$それから${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

閉鎖との関係

上記の記述は、記号/単語のすべてのインスタンスが真である場合に真であり続けます。

「内部」、「int」、「open」、「subset」、「largest」

それぞれに置き換えられる

「クロージャ」、「cl」、「closed」、「superset」、「smallest」

そして、以下の記号が入れ替わります。

1. 「${\displaystyle \subseteq }$「交換された」${\displaystyle \supseteq }$「
2. 「${\displaystyle \cup }$「交換された」${\displaystyle \cap }$「

この件に関する詳細については、下記の内部演算子、または「クラトフスキー閉包公理」の記事を参照してください。

内部オペレーター${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$は、閉包演算子の双対であり、 で表される。${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$または上線^（—）によって、 $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$ そしてまた $${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$ どこ${\displaystyle X}$位相空間には${\displaystyle S,}$そしてバックスラッシュ${\displaystyle \,\setminus \,}$は集合論的な差を表します。したがって、閉包演算子の抽象理論とクラトフスキー閉包公理は、集合をその補集合に置き換えることで、内部演算子の言語に容易に翻訳できます。${\displaystyle X.}$

一般に、内部演算子は和集合と可換ではありません。しかし、完備距離空間においては、以下の結果が成り立ちます。

上記の結果は、すべての完備距離空間がベール空間であることを示唆している。

部分集合の外側${\displaystyle S}$位相空間の${\displaystyle X,}$で示される${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$または単に${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$は、​${\displaystyle S,}$すなわち、それはすべての開集合の和集合である。${\displaystyle X}$互いに排他的である${\displaystyle S.}$ 外側は補集合の内側であり、これは閉包の補集合と同じです。^{[ 2 ]}式では、 $${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

同様に、内部は補集合の外部である。 $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

セットの内部、境界、および外部${\displaystyle S}$全体を3つのブロックに分割する（これらのうち1つ以上が空いている場合は、それより少ないブロックになる ）。$${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$ どこ${\displaystyle \partial S}$境界を表す${\displaystyle S.}$^{[ 3 ]} 内部と外部は常に開放され、境界は閉じて。

外部オペレーターの特性の一部は、内部オペレーターの特性とは異なります。

• 外部演算子は、包含物を反転させます。${\displaystyle S\subseteq T,}$それから${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• 外部演算子は冪等ではありません。ただし、次のような性質を持っています。${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

2つの形状${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$内部が交わる部分が空集合である場合、それらは内部的に分離していると呼ばれます。内部的に分離している図形は、境界で交わる場合もあれば、交わらない場合もあります。

• 代数的内部– 位相的内部の一般化 
• DE-9IM – トポロジーモデル 
• 内代数– 代数構造 
• ジョルダン曲線定理– 位相幾何学における定理 
• 準相対的内部構造– 代数的内部構造の一般化 
• 相対的内部– 位相的内部の一般化 

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• ケリー、ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 （第2 版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153。​ 
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• PlanetMathの内部。