リー代数

数学において、リー代数（リーだいすう、発音：/ l iː / LEE）は、リー括弧と呼ばれる演算を伴うベクトル空間 であり、交代双線型写像であり、ヤコビ恒等式を満たします。言い換えれば、リー代数は、乗算演算（リー括弧と呼ばれる）が交代であり、ヤコビ恒等式を満たす、体上の代数です。2つのベクトル および のリー括弧は と表記されます。リー代数は、通常、非結合代数です。ただし、すべての結合代数は、交換子リー括弧を伴う同じベクトル空間 で構成されるリー代数を生じます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

リー代数は、滑らかな多様体でもあるリー群と密接に関連しています。すべてのリー群は、単位元における接空間であるリー代数を生じます。(この場合、リー括弧は、リー群の可換性の破れを測定します。) 逆に、実数または複素数上の任意の有限次元リー代数には、被覆空間まで一意に対応する連結リー群が存在します(リーの第3定理)。この対応により、線型代数のより単純な対象であるリー代数の観点からリー群の構造と分類を研究することができます。

より詳しく言うと、任意のリー群について、単位元 1 の近くの乗算演算は 1 次まで可換です。言い換えると、すべてのリー群Gは (1 次まで) ほぼ実ベクトル空間、つまり単位元でのGの接空間です。2 次まで、群演算は非可換である可能性があり、単位元付近のGの非可換性を記述する 2 次項はリー代数の構造を与えます。これらの 2 次項 (リー代数) が単位元付近のGの群構造を完全に決定することは注目すべき事実です。それらは、被覆空間に至るまで、 G をグローバルに決定します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

物理学では、リー群は物理システムの対称群として現れ、そのリー代数（単位元に近い接線ベクトル）は無限小対称運動として考えることができます。したがって、リー代数とその表現は物理学、特に量子力学と素粒子物理学で広く使用されています。

基本的な例（結合代数から直接得られるものではない）は、外積によって定義されるリー括弧付きの3次元空間です。これは なので歪対称であり、結合性の代わりにヤコビ恒等式を満たします。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

${\displaystyle x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

これは、空間の回転のリー群のリー代数であり、各ベクトルは、角速度が の大きさに等しい軸の周りの無限小回転として表すことができます。リー括弧は、2 つの回転間の非可換性の尺度です。回転はそれ自体と可換であるため、交代特性 が存在します。 ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$

リー代数は1870年代にソフス・リーによって無限小変換の概念を研究するために導入され、 ^{[1] 1880年代に}ヴィルヘルム・キリングによって独立に発見されました^{[2] 。}リー代数という名前は1930年代にヘルマン・ワイルによって付けられました。古いテキストでは、無限小群という用語が使用されていました。

リー代数は、体上のベクトル空間とリー括弧と呼ばれる二項演算で構成され、次の公理を満たします。^[a]${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

• 双線形性、

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

内のすべてのスカラーと内のすべての要素に対して。${\displaystyle a,b}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• 交替特性、

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

全員で。${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ヤコビ恒等式、

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\ }$

全員で。${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー群が与えられた場合、そのリー代数のヤコビ恒等式は群演算の結合性から導かれます。

双線型性を用いてリー括弧を展開し、交代性を利用すると、のすべての に対してとなることが示される。したがって、双線型性と交代性を合わせると、次のことが分かる。 ${\displaystyle [x+y,x+y]}$${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• 反可換性、

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

のすべての場合において。もし体が標数2を持たない場合、反可換性は交代性を意味する。^[3]${\displaystyle x,y}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [x,x]=-[x,x].}$

リー代数は、 のような小文字のフラクトゥール文字で表記するのが通例です。リー代数がリー群に関連付けられている場合、その代数は群の名前のフラクトゥールバージョンで表記されます。たとえば、 SU( n )のリー代数は です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

体上のリー代数の次元は、ベクトル空間としての次元を意味します。物理学では、リー群Gのリー代数のベクトル空間基底は、 Gの生成元の集合と呼ばれることがあります。(これらは、いわば、Gの「無限小生成元」です。)数学では、リー代数の生成元の集合S は、 S を含む任意のリー部分代数 (以下に定義) が のすべてでなければならないようなのサブセットを意味します。同様に、は (ベクトル空間として) Sの要素のすべての反復括弧によって張られます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

同一にゼロのリー括弧を備えた任意のベクトル空間はリー代数になります。このようなリー代数はアーベルと呼ばれます。リー括弧の交代特性により、すべての 1 次元リー代数はアーベルです。 ${\displaystyle V}$

• 乗法が と表記される体上の結合性代数上で、交換子 によってリー括弧が定義されることがあります。この括弧により、はリー代数です。(ヤコビ恒等式は 上の乗法の結合性から従います。) ^[4]${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• 上記のリー括弧を持つ-ベクトル空間の自己準同型環は と表記されます。${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$
• 体Fと正の整数nに対して、 F上のn × n 行列の空間(または) は、行列の交換子によって括弧が与えられるリー代数です。[ ^5]これは前の例の特殊なケースであり、リー代数の重要な例です。これは一般線型リー代数と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Fが実数のとき、 は一般線型群のリー代数です。一般線型群はn x nの可逆な 実行行列（または、非ゼロの行列式を持つ行列）の群で、群演算は行列の乗算です。同様に、は複素リー群 のリー代数です。 上のリー括弧は、行列の乗算の可換性の破綻、またはそれと同等の線型写像の合成の可換性の破綻を表します。任意の体Fに対して、はF上の代数群のリー代数と見なすことができます。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$

リー括弧は結合的である必要はない。つまり、 はに等しい必要はない。しかし、結合的環や代数（および群）の用語の多くは、リー代数に類似している。リー部分代数は、リー括弧の下で閉じている 線型部分空間である。イデアルは、より強い条件を満たす線型部分空間である。^[6]${\displaystyle [[x,y],z]}$${\displaystyle [x,[y,z]]}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

リー群とリー代数との対応において、部分群はリー部分代数に対応し、正規部分群はイデアルに対応する。

リー代数準同型は、それぞれのリー括弧と互換性のある線型写像です。

${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

リー代数の同型は全単射準同型です。

群の通常の部分群と同様に、リー代数のイデアルは準同型の核そのものです。リー代数とその中のイデアルが与えられると、商リー代数が定義され、リー代数の射影準同型が存在します。リー代数に対しては、第 1 同型定理が成り立ちます。リー代数の任意の準同型に対して、 の像はと同型であるのリー部分代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\text{ker}}(\phi )}$

リー群のリー代数の場合、リー括弧は一種の無限小交換子です。結果として、任意のリー代数について、2 つの要素の括弧が消える場合、それらの要素は交換可能と言われます。 ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [x,y]=0}$

部分集合の中心化部分代数は と可換な要素の集合、つまり である。自身の中心化は中心である。同様に、部分空間Sに対して、の正規化部分代数はである。^[7]がリー部分代数である場合、 はが のイデアルとなるような最大の部分代数である。 ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$

における対角行列の部分空間は、アーベルリー部分代数です。 （これは、コンパクトリー群の理論における最大トーラスに類似した、のカルタン部分代数です。）ここでは、に対してのイデアルは存在しません。たとえば、 のとき、次の計算から次のようになります。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

(必ずしも であるとは限りません)。 ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{2}}$

リー代数のあらゆる 1 次元線形部分空間はアーベル リー部分代数ですが、必ずしもイデアルである必要はありません。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

2つのリー代数とに対して、積リー代数は、リー括弧^[8]を持つすべての順序付きペアからなるベクトル空間です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

これはリー代数のカテゴリの積です。とのコピーは互いに可換であることに注意してください。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

をリー代数、のイデアルとします。正準写像が分割する場合（つまり、 をリー代数の準同型として許容する場合）、 はおよびの半直積であるといわれます。リー代数の半直和も参照してください。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$

体F上の代数 Aに対して、AのF上の微分はライプニッツ則を満たす線型写像である。${\displaystyle D\colon A\to A}$

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

すべての に対して成り立つ。（定義はおそらく非結合的な代数に対して意味をなす。）2つの微分 と が与えられた場合、それらの交換子は再び微分となる。この操作により、 AのF上のすべての微分空間はリー代数になる。^[9]${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

非公式に言えば、 Aの微分空間はAの自己同型群のリー代数です。（これは自己同型群がリー群である場合、つまりFが実数でA がベクトル空間として有限次元である場合に文字通り当てはまります。）このため、微分空間はリー代数を構成する自然な方法です。つまり、微分空間はAの「無限小自己同型」です。実際、

${\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}}$

(ここで 1 はA上の恒等写像を表す) は、 D が導出である という定義を正確に与えます。

例: ベクトル場のリー代数。A を滑らかな多様体X上の滑らかな関数の環とします。すると、 Aの上の微分はX上のベクトル場と同値になります。(ベクトル場v は、関数をvの方向に微分することで滑らかな関数の空間の微分を与えます。) これにより、ベクトル場の空間はリー代数になります (ベクトル場のリー括弧を参照)。^[10]非公式に言うと、はXの微分同相群のリー代数です。したがって、ベクトル場のリー括弧は微分同相群の非可換性を記述します。リー群Gの多様体Xへの作用は、リー代数の準同型を決定します。(例を以下に示します。) ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$

リー代数は非結合代数とみなすことができ、体F上の各リー代数はその微分リー代数を決定する。つまり、 の微分は次のような 線型写像である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$。

任意の に関連付けられた内部微分は、によって定義される随伴写像です。(これはヤコビ恒等式の結果としての微分です。) これは、リー代数の準同型 を与えます。像はのイデアルであり、外部微分からなるリー代数は商リー代数 として定義されます。 (これは、群の外部自己同型群とまったく同じです。)特性 0 の体上の半単純リー代数(以下で定義) の場合、すべての微分は内部です。 ^[11]これは、半単純リー群の外部自己同型群が有限であるという定理に関連しています。^[12]${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$

対照的に、アーベルリー代数には多くの外部微分があります。つまり、リー括弧がゼロであるベクトル空間の場合、リー代数はと同一視できます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

行列群は可逆行列 からなるリー群であり、Gの群演算は行列の乗算です。対応するリー代数は、線形空間 内のGに接するベクトルである行列の空間です。これは、単位行列におけるGの滑らかな曲線の導関数で構成されます。 ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

のリー括弧は行列の交換子 によって与えられる。リー代数 が与えられれば、リー群 をの元の行列指数によって生成される部分群として復元することができる。^[13]（正確には、これはGが連結でない場合、Gの恒等成分を与える。）ここで指数写像 はによって定義され、これはすべての行列 に対して収束する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$${\displaystyle X}$

同じコメントが、 の複素リー部分群と複素指数行列(同じ式で定義) にも当てはまります。 ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$

ここにいくつかの行列リー群とそのリー代数を示す。^[14]

• 正の整数nに対して、特殊線型群は 行列式 1 を持つすべての実n  ×  n行列から構成されます。これは、体積と方向を保存する、 から 自体への線型写像の群です。より抽象的に、は一般線型群の交換子部分群です。そのリー代数は、トレース0 を持つすべての実n  ×  n行列から構成されます。同様に、類似の複素リー群とそのリー代数を定義できます。${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• 直交群は幾何学において基本的な役割を果たします。直交群とは、ベクトルの長さを保存する から 自身への線型写像の群です。 たとえば、回転と鏡映は に属します。同様に、これはn x n直交行列の群であり、 、ここで は行列の転置を表します。直交群には 2 つの連結成分があります。恒等成分は特殊直交群と呼ばれ、行列式 1 を持つ直交行列で構成されます。どちらの群も同じリー代数、つまり( )内の歪対称行列の部分空間を持ちます。歪対称行列による無限小回転も参照してください。${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$

複素直交群、その単位元成分、およびリー代数は、n x n複素行列に適用される同じ公式によって与えられます。同様に、 は上の標準対称双線型形式を保存するの部分群です。${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• ユニタリ群は、（標準的な エルミート内積に関して）におけるベクトルの長さを保存するの部分群です。同様に、これはn  ×  nユニタリ行列の群です（ を満たし、 は行列の共役転置を表します）。そのリー代数は、 （ ）内の歪エルミート行列で構成されます。これは 上のリー代数であり、 上のリー代数ではありません。（実際、歪エルミート行列のi倍は歪エルミートではなくエルミートです。）同様に、ユニタリ群は複素リー群 の実リー部分群です。たとえば、は円群であり、そのリー代数は（この観点から） です。${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle X^{*}=-X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$
• 特殊ユニタリ群は 、行列式が 1 である行列の部分群です。そのリー代数は、トレースが 0 である歪エルミート行列で構成されます。${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {su} (n)}$
• シンプレクティック群は 、上の標準交代双線型形式を保存するの部分群です。そのリー代数はシンプレクティックリー代数です。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$
• 古典的なリー代数は、上記に挙げたものと、任意の体上の変種です。

ここでは低次元のリー代数のいくつかについて説明します。さらなる例については、低次元実リー代数の分類を参照してください。

• 任意の体F上には、同型を除いて、次元 2 の唯一の非可換リー代数が存在する。 ^[15]ここで は、括弧が によって与えられる基底を持つ。(公理からおよびが成り立つため、これによってリー括弧が完全に決定される。) 実数上で、 は、実数直線 のアフィン変換のリー群のリー代数と見なすことができる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$${\displaystyle [X,X]=0}$${\displaystyle [Y,Y]=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

アフィン群Gは行列群と同一視できる。

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}$

行列の乗算の下では、、となる。そのリー代数は、すべての行列 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

これらの用語では、上記の基底は行列によって与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

任意の体 に対して、1 次元部分空間は、式 により、2 次元リー代数 のイデアルになります。リー代数と は両方ともアーベルです (1 次元であるため)。この意味で、はアーベル「部分」に分割でき、以下の用語で、(冪零ではないが) 解けることを意味します。${\displaystyle F}$${\displaystyle F\cdot Y}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$${\displaystyle F\cdot Y}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• 体F上のハイゼンベルク代数 は、次のような基底を持つ3次元リー代数である^[16]${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$。

これは、交換子リー括弧と基底を持つ 3×3の厳密に上三角行列のリー代数として見ることができる。

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

実数上では、ハイゼンベルク群のリー代数、すなわち行列の群で ある。${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

行列乗算の下で。

任意の体Fに対して、 の中心は1 次元イデアルであり、商はに同型なアーベル体です。以下の用語では、 は冪零体 (ただしアーベル体ではない) であることがわかります。${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$${\displaystyle F\cdot Z}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$${\displaystyle F^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$

• 回転群SO(3)のリー代数は、3×3の歪対称行列の空間である。基底は3つの行列^{[17]によって与えられる。}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

これらの生成器間の交換関係は

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

におけるベクトルの外積は、標準基底に関して同じ式で与えられる。そのため、リー代数は と同型である。また、 は、量子力学におけるスピン1粒子のスピン（物理学）角運動量成分演算子と同等である。^[18]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

リー代数は、前の例のようには分割できません。リー代数は単純、つまりアーベル代数ではなく、その唯一のイデアルは 0 と のすべてです。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

• 次元3の別の単純なリー代数（この場合は ）は、トレースゼロの2 x 2行列の空間です。基底は3つの行列で与えられます。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

リー括弧は次のように与えられます。

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

これらの式を使うと、リー代数が単純であることが示され、その有限次元表現（以下で定義）が分類される。^[19]量子力学の用語では、EとF は上昇演算子と下降演算子と考えることができる。実際、 の任意の表現について、上記の関係は、E が（複素数cに対して）Hのc -固有空間を -固有空間に写像し、F がc -固有空間を -固有空間に写像することを意味している。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle (c+2)}$${\displaystyle (c-2)}$

リー代数はの複素化、つまりテンソル積と同型です。 の場合、リー括弧の式は解析しやすくなります。その結果、グループの複素表現をリー代数の表現に関連付けて解析することが一般的です。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

• 正の次元の滑らかな多様体上のベクトル場のリー代数は、 上の無限次元のリー代数です。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• カッツ・ムーディ代数は、 などの無限次元リー代数の大きなクラスであり、有限次元単純リー代数（ など）とよく似た構造を持ちます。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• モヤル代数は、すべての古典的なリー代数を部分代数として含む無限次元のリー代数です。
• ヴィラソロ代数は弦理論において重要である。
• 体F上のリー代数を基底ベクトル空間に導く関手には、ベクトル空間V上の自由リー代数と呼ばれる左随伴関数 がある。これは、リー代数の定義から生じる関係のみを法として、Vの元のすべての反復リー括弧によって張られる。自由リー代数は、少なくとも次元が 2 のVに対して無限次元である。^[20]${\displaystyle V\mapsto L(V)}$${\displaystyle L(V)}$

ベクトル空間Vが与えられたとき、括弧が で与えられる、Vからそれ自身へのすべての線型写像からなるリー代数を で表すものとする。V上のリー代数の表現はリー代数準同型である。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

つまり、の各要素をVからそれ自身への線型写像に送り、 上のリー括弧が線型写像の交換子に対応する ようにします。${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

表現が忠実であるとは、その核がゼロのときに言う。Adoの定理によれば、特性 0 の体上のすべての有限次元リー代数は、有限次元ベクトル空間上の忠実な表現を持つ。岩沢健吉はこの結果を、任意の特性を持つ体上の有限次元リー代数に拡張した。^[21]同様に、体F上のすべての有限次元リー代数は、ある正の整数nに対しての のリー部分代数と同型である。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

任意のリー代数に対して、随伴表現は表現 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

によって与えられます。(これはヤコビ恒等式による の表現です。)${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数（特に、以下に定義する半単純リー代数）の研究の重要な側面の 1 つは、それらの表現の研究です。アドーの定理は重要な結果ですが、表現論の主な目的は、与えられたリー代数の忠実な表現を見つけることではありません。実際、半単純の場合、随伴表現はすでに忠実です。むしろ、目的は のすべての可能な表現を理解することです。特性 0 の体上の半単純リー代数の場合、ワイルの定理^[22]によれば、すべての有限次元表現は既約表現（非自明な不変部分空間を持たない表現）の直和になります。有限次元の既約表現は、いくつかの観点からよく理解されています。半単純リー代数の表現論とワイル指標式を参照してください。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

体F上の結合代数A をリー代数Aに取る関手（ による）は、普遍包絡代数と呼ばれる左随伴関数を持ちます。これを構築するには、 F上のリー代数が与えられたとき、 ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

を 上のテンソル代数とし、ベクトル空間 上の自由結合代数とも呼ばれる。ここで はFベクトル空間のテンソル積を表す。Iをの元によって生成される の両側イデアルとすると、普遍包絡代数は商環 となる。これはポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理を満たす。すなわち、 がFベクトル空間としての の基底である場合、 の基底は自然数との順序積すべてによって与えられる。特に、写像 は単射 である。^[23]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

の表現は普遍包絡代数上の加群と同値である。が単射であるという事実は、あらゆるリー代数（無限次元の場合もある）が忠実な表現（無限次元の）を持ち、つまり 上の表現を持つことを意味している。これはまた、あらゆるリー代数が何らかの結合代数に関連付けられたリー代数に含まれていることも示している。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

リー代数の表現論は、理論物理学のさまざまな部分で重要な役割を果たしている。そこでは、ある自然な交換関係を満たす状態空間上の作用素について考察する。これらの交換関係は、典型的には問題の対称性から生じる。具体的には、それらは関連する対称群のリー代数の関係である。一例は角運動量作用素であり、その交換関係は回転群のリー代数の交換関係である。典型的には、状態空間は関連する作用素の下では既約にはほど遠いが、それを既約な部分に分解することを試みることはできる。そうするには、与えられたリー代数の既約な表現を知る必要がある。例えば、水素原子の研究では、量子力学の教科書は、リー代数の有限次元の既約な表現を（多かれ少なかれ明示的に）分類している。^[18]${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

リー代数はある程度分類できます。これはリー群の分類に対する強力なアプローチです。

アーベル群、冪零群、可解群と同様に、アーベルリー代数、冪零リー代数、可解リー代数を定義できます。

リー代数はアーベル代数である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$リー括弧が消える場合、つまり内のすべてのxとyに対して [ x , y ] = 0 である場合には成り立ちます。特に、アーベルリー群 (加法による群やトーラス群など) のリー代数はアーベルです。体上のすべての有限次元アーベルリー代数は、ある に対してと同型であり、これはリー括弧が 0 である n次元ベクトル空間を意味します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$

リー代数のより一般的なクラスは、与えられた長さのすべての交換子が消えることによって定義されます。まず、リー代数の交換子部分代数（または導来部分代数）は であり、これはのすべての括弧によって張られる線型部分空間を意味します。交換子部分代数は のイデアルであり、実際、商リー代数がアーベルであるような最小のイデアルです。これは、群の 交換子部分群に類似しています。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数は、下中心級数が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

は有限ステップ後にゼロになる。同様に、に有限のイデアル列がある場合、 は冪零である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

となるような、各jに対してが中心となる。エンゲルの定理によれば、任意の体上のリー代数が冪零となるのは、随伴自己準同型写像 における任意のuに対してとなる場合のみである。${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

零位である。^[24]

より一般的には、リー代数は、導来級数が次の場合に解けると言われます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

は有限ステップ後にゼロになる。同様に、リー部分代数の有限列が存在する場合、は解ける。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

となるようなイデアルは、各jに対してアーベルとなる。^[25]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$

体上のすべての有限次元リー代数は、根基と呼ばれる唯一の最大可解イデアルを持ちます。^[26]リー対応の下では、べき零（それぞれ可解）リー群は 上のべき零（それぞれ可解）リー代数に対応します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

たとえば、正の整数nと特性 0 の体Fの場合、 の根号はその中心、つまり単位行列が張る 1 次元部分空間です。 可解なリー代数の例としては、内の上三角行列の空間が挙げられます。 のときは、これは冪零ではありません。 冪零リー代数の例としては、内の厳密な上三角行列の空間が挙げられます。 のときは、これはアーベルではありません。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$${\displaystyle n\geq 3}$

リー代数は、可換でなく、 の唯一のイデアルが 0 と である場合に単純と呼ばれます。(特に、1 次元 (必然的に可換) リー代数は、その唯一のイデアルが 0 と であっても、定義により単純ではありません。) 有限次元リー代数は、の唯一の解けるイデアルが 0 である場合に半単純と呼ばれます。特性 0 では、リー代数が半単純であるための必要十分条件は、それが単純リー代数の積 と同型である場合です。[ ^27]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$

例えば、リー代数は任意のおよび の任意の標数 0 の体F (またはn を割り切れない標数) に対して単純である。上のリー代数は任意の に対して単純である。上のリー代数はまたは の場合に単純である。^[28] (「例外的な同型」およびが存在します。) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$

リー代数の半単純性の概念は、その表現の完全な還元可能性（半単純性）と密接に関係している。基底体Fが特性ゼロを持つとき、半単純リー代数のすべての有限次元表現は半単純である（つまり、既約表現の直和である）。^[22]

特性ゼロの体上の有限次元リー代数は、その随伴表現が半単純であるとき、簡約的と呼ばれる。すべての簡約リー代数は、可換リー代数と半単純リー代数の積に同型である。^[29]

例えば、は特性値ゼロのFに対して簡約的である。 に対して、 は積 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

ここで、F は単位行列が張る 1 次元部分空間の中心を表します。特殊線型リー代数は単純なので、に含まれるイデアルはわずかです。つまり、0、中心F、、および のすべてのみです。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

カルタンの基準（エリー・カルタン）は、特性0の有限次元リー代数が可解または半単純であるための条件を与える。これは、 の対称双線型形式であるキリング形式によって表現され、によって定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

ここでtrは線型作用素のトレースを表す。つまり、リー代数が半単純であるための必要条件は、キリング形式が非退化である場合である。リー代数が解けるために必要な条件は、^[30]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$

レヴィ分解は、特性ゼロの体上のすべての有限次元リー代数は、その可解な根基と半単純リー代数の半直積であると主張する。^[31]さらに、特性ゼロの半単純リー代数は、前述のように単純リー代数の積である。これにより、単純リー代数の分類の問題に注目が集まる。

標数ゼロの代数閉体 F上の有限次元の単純リー代数は、1880 年代と 1890 年代にキリングとカルタンによってルート系を使用して分類されました。つまり、すべての単純リー代数は、タイプ A _n、 B _n、 C _n、 D _n、 E ₆、 E ₇、 E ₈、 F ₄、または G ₂のいずれかです。^{[32]ここで、タイプ A} _nの単純リー代数は、 B _nは、 C _nは、 D _{n は}です。他の 5 つは例外リー代数として知られています。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$

上の有限次元単純リー代数の分類はより複雑ですが、これもカルタンによって解決されています (同等の分類については単純リー群を参照してください)。上のリー代数は、その複素化を考慮することで解析できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

2004 年までの数年間、特性 の代数的に閉じた体上の有限次元単純リー代数は、リチャード・アール・ブロック、ロバート・リー・ウィルソン、アレクサンダー・プレメット、ヘルムート・ストラーデによって分類されました。(制限リー代数#単純リー代数の分類を参照してください。) 特性が正の単純リー代数は、特性が 0 の単純リー代数よりもはるかに多いことが判明しました。 ${\displaystyle p>3}$

リー代数はそれ自体で研究することができますが、歴史的にはリー群を研究するための手段として生まれました。

リー群とリー代数の関係は、次のようにまとめられる。各リー群は、（具体的には、恒等元における接空間）上のリー代数を決定する。逆に、任意の有限次元リー代数 に対して、リー代数 を持つ連結リー群が存在する。これがリーの第 3 定理である。ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を参照。このリー群は一意に決定されないが、同じリー代数を持つ任意の 2 つのリー群は局所同型であり、より強いことに、それらは同じ普遍被覆を持つ。たとえば、特殊直交群SO(3)と特殊ユニタリ群SU(2)は同型リー代数を持つが、SU(2) はSO(3) の単連結な二重被覆である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

単連結リー群に対しては完全な対応が存在する。リー代数を取ると、単連結リー群から 上の有限次元のリー代数へのカテゴリの同値性が得られる。^[33]${\displaystyle \mathbb {R} }$

リー代数とリー群の対応は、リー群の分類やリー群の表現論など、さまざまな方法で使用されます。有限次元表現の場合、実リー代数の表現と対応する単連結リー群の表現の間にはカテゴリの同値性があります。これにより、リー群の表現論が簡素化されます。多くの場合、線型代数を使用してリー代数の表現を分類する方が簡単です。

連結なリー群はどれも、離散中心部分群を法としてその普遍被覆と同型である。 ^{[34]そのため、リー代数が分かれば、リー群の分類は単に}中心の離散部分群を数えるだけの問題になる。例えば、実半単純リー代数はカルタンによって分類されており、そのため半単純リー群の分類はよく理解されている。

無限次元リー代数の場合、リー理論はうまく機能しない。指数写像は局所同相写像である必要はない（例えば、円の微分同相写像群では、指数写像の像に含まれない恒等写像に任意に近い微分同相写像が存在する）。さらに、無限次元リー群の既存の概念では、いくつかの無限次元リー代数はどの群からも来ない。^[35]

リー理論は有限次元群の無限次元表現に対してもそれほどうまく機能しない。加法群の場合でも、無限次元表現を微分して同じ空間上のリー代数の表現を生成することは通常できないし、その逆も同様である。^[36]ハリシュ・チャンドラ加群の理論は、群の無限次元表現とリー代数との間のより微妙な関係である。 ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$${\displaystyle G}$

複素リー代数 が与えられたとき、複素化が に同型であるとき、実リー代数はの実形式であると言われる。実形式は一意である必要はない。例えば、は同型を除いて2つの実形式を持ち、は である。^[37]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

半単純複素リー代数が与えられたとき、その分割形式は分割する実形式である。すなわち、実固有値を持つ随伴表現を介して作用するカルタン部分代数を持つ。分割形式は存在し、一意である（同型を除いて）。コンパクト形式はコンパクトリー群のリー代数である実形式である。コンパクト形式は存在し、同型を除いて一意である。^[37]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数は、リー括弧と互換性のある追加の構造を備えている場合があります。たとえば、次数付きリー代数は、互換性のある次数を持つリー代数（またはより一般的にはリー超代数）です。微分次数付きリー代数にも微分が付属しており、基礎となるベクトル空間が連鎖複体になります。

例えば、単連結な位相空間のホモトピー群はホワイトヘッド積を用いて次数付きリー代数を形成する。関連する構成として、ダニエル・キレンは有理数上の微分次数付きリー代数を用いて有理ホモトピー理論を代数的な用語で記述した。 ^[38] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

体上のリー代数の定義は、任意の可換環 R上のリー代数の定義に拡張されます。つまり、 R上のリー代数は、ヤコビ恒等式を満たす交代R双線型写像を持つR加群です。整数環上のリー代数は、リー環と呼ばれることもあります。(これは、リー群の概念とは直接関係ありません。) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

リー環は、ラザード対応を通じて有限p群（素数pに対して）の研究に使用されます。^[39]有限p群の下中心因子は有限アーベルp群です。下中心因子の直和は、括弧を2つの剰余類代表の交換子として定義することにより、リー環の構造を与えられます。以下の例を参照してください。

p進リー群はp進数体上のリー代数とp進整数環上のリー代数に関連している。^[40]クロード・シュヴァレーのリー型有限群の構成には、複素数上の単純なリー代数が整数上のリー代数から来ていることを示し、さらに（より慎重に）整数上の群スキームを示すことが含まれていた。^[41]${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

• これは抽象群の研究から生じるリー環の構成である。群の元に対して、交換子 を定義する。を群 の濾過、つまりすべての に対してが含まれるような部分群の連鎖とします。(ラザード対応では、濾過をGの下中心級数とします。) このとき${\displaystyle x,y}$${\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq G_{3}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }$${\displaystyle G}$${\displaystyle [G_{i},G_{j}]}$${\displaystyle G_{i+j}}$${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle L=\bigoplus _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

はリー環であり、その加法は群の乗法（各商群上でアーベル的）で与えられ、リー括弧は群内の交換子で与えられる：^[42]${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}}$

${\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.}$

たとえば、位数 8 の二面体群上の下中心級数に関連付けられたリー環は、体上の次元 3 のハイゼンベルク リー代数です。${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

リー代数の定義は、圏論の言語でより抽象的に再定式化することができます。つまり、個々の要素を考慮せずに、線型写像、つまりベクトル空間の圏における射の観点からリー代数を定義できます。(このセクションでは、代数が定義される体は、2とは異なる特性を持つと仮定します。)

リー代数の圏論的定義には、2つの編組同型が必要である。Aがベクトル空間である場合、交換同型は 次のように定義される。 ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

巡回置換組紐 は次のように定義される。 ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

ここで は恒等射である。同様に、は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

この表記法を用いると、リー代数はベクトル空間のカテゴリ内の オブジェクトとして定義することができ、射も含む。${\displaystyle A}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A}$

2つの射影等式を満たす

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

そして

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

• ブルバキ、ニコラス(1989)。リー群とリー代数: 第 1-3 章。Springer。ISBN 978-3-540-64242-8. MR  1728312。
• エルドマン、カリン、ワイルドン、マーク (2006)。リー代数入門。シュプリンガー。ISBN 1-84628-040-0. MR  2218355。
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015).リー群、リー代数、表現: 初等入門. 数学の大学院テキスト. 第222巻 (第2版). Springer. doi :10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN 978-3319134666. ISSN  0072-5285. MR  3331229.
• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1978)。リー代数と表現理論入門。数学大学院テキスト。第 9 巻 (第 2 版)。Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-90053-7. MR  0499562。
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）[1962]。リー代数。ドーバー。ISBN 978-0-486-63832-4. MR  0559927。
• Khukhro, EI (1998)、有限 p 群の p 自己同型、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511526008、ISBN 0-521-59717-X、MR  1615819
• ナップ、アンソニー W. (2001) [1986]、「半単純群の表現理論：例に基づく概要」、プリンストン大学出版、ISBN 0-691-09089-0、MR  1880691
• ミルナー、ジョン(2010) [1986]、「無限次元リー群に関する考察」、ジョン・ミルナー論文集、第 5 巻、91 ～ 141 ページ、ISBN 978-0-8218-4876-0、MR  0830252
• O'Connor, JJ ; Robertson, EF (2000)。「マリウス・ソフスの嘘」。MacTutor 数学史アーカイブ。
• O'Connor, JJ ; Robertson, EF (2005)。「Wilhelm Karl Joseph Killing」。MacTutor 数学史アーカイブ。
• クイレン、ダニエル(1969)、「有理ホモトピー理論」、数学年報、90 (2): 205–295、doi :10.2307/1970725、JSTOR  1970725、MR  0258031
• ジャン・ピエール・セール(2006)。リー代数とリー群(第 2 版)。スプリンガー。ISBN 978-3-540-55008-2. MR  2179691。
• Varadarajan, Veeravalli S. (1984) [1974].リー群、リー代数、およびその表現. Springer. ISBN 978-0-387-90969-1. MR  0746308。
• ウィグナー、ユージン（1959）。群論と原子スペクトルの量子力学への応用。JJグリフィン訳。アカデミックプレス。ISBN 978-0127505503. MR  0106711。

• Kac, Victor G. ; et al. MIT 18.745: リー代数入門のコースノート。2010-04-20 にオリジナルからアーカイブ。
• 「リー代数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• マッケンジー、ダグラス (2015)。「物理学者のためのリー代数の初歩的入門」。