超重力

理論物理学において、超重力（超重力理論、略してSUGRA ）は、超対称性と一般相対性理論の原理を組み合わせた現代の場の理論であり、極小超対称標準モデルなどの非重力超対称理論とは対照的である。超重力は局所超対称性のゲージ理論である。超対称性（SUSY）生成子はポアンカレ代数とともに超ポアンカレ代数と呼ばれる超代数を形成するため、ゲージ理論としての超対称性は重力を自然に生じさせる。^[1]

量子重力に対するすべての共変的アプローチと同様に、^[2]超重力にはスピン 2 場が含まれており、その量子は重力子です。超対称性では、重力子場にはスーパーパートナーが必要です。この場はスピン3/2 を持ち、その量子はグラビティーノです。グラビティーノ場の数は、超対称性の数に等しくなります。

局所超対称性の最初の理論は、1975年にディック・アーノウィットとプラン・ナスによって提唱され^[3]、ゲージ超対称性と呼ばれました。

4次元超重力（この表記なし）の最初のモデルは、1973年にドミトリ・ヴォルコフとヴィアチェスラフ・A・ソロカによって定式化され、^[4]現実的なモデルの可能性にとって自発的な超対称性の破れの重要性が強調されました。4次元超重力の最小バージョン（破れていない局所超対称性を持つ）は、1976年にダン・フリードマン、セルジオ・フェラーラ、ピーター・ファン・ニューウェンハウゼンによって詳細に構築されました。^[5] 2019年に、3人はこの発見により基礎物理学の特別ブレークスルー賞を受賞しました。 ^[6]スピン3/2場が一貫して結合しているかどうかという重要な問題は、ほぼ同時に発表されたデザーとズミノの論文で解決され、^[7] 2人はそれぞれ独立に最小の4次元モデルを提案しました。 N>1 の超重力理論は、通常、拡張超重力 (SUEGRA) と呼ばれます。一部の超重力理論は、次元削減によって特定の高次元超重力理論に関連付けられていることが示されました(例: N=1、11 次元の超重力は、T ⁷で次元削減され、4 次元、ゲージなし、N = 8 の超重力になります)。結果として得られた理論は、カルツァとクラインが 1919 年に 5 次元の重力理論を構築したことから、カルツァ–クライン理論と呼ばれることもあります。この 5 次元の重力理論は、円上で次元削減されると、その 4 次元の無質量モードが重力と結合した電磁気学を記述します。

mSUGRA は、極小超重力を意味します。1982年にAli Chamseddine、Richard Arnowitt、Pran Nathによって実行された、超ヒッグス機構によって超対称性 (SUSY) が破れるN = 1 超重力フレームワーク内での粒子相互作用の現実的なモデルの構築。現在では総称して極小超重力大統一理論 (mSUGRA GUT) として知られており、重力は隠れたセクターの存在を通じて SUSY の破れを媒介します。mSUGRA は、スーパーヒッグス効果の結果であるソフト SUSY 破れ項を自然に生成します。その直接的な結果として、繰り込み群方程式 (RGE) による電弱対称性の放射破れが続きます。その予測力により、大統一のスケールから低エネルギー現象を決定するのに必要なのは 4 つの入力パラメータと符号のみであるため、その関心は粒子物理学の広く研究されているモデルです。

これらの超重力理論の 1 つである 11 次元理論は、万物の理論の最初の候補として大きな注目を集めました。この興奮は 4 つの柱に基づいて構築されましたが、そのうちの 2 つは現在では大きく信用を失っています。

• ヴェルナー・ナームは^[8] 11次元が単一の重力子と一致する最大の次元数であることを示し、次元が増えると2より大きいスピンを持つ粒子が現れる。しかし、これらの次元のうち2つが時間的であれば、12次元ではこれらの問題は回避される。イツァーク・バーズ^[要出典]はこれを強調している。
• 1981年にエド・ウィッテンは標準モデルのゲージ群を包含できる最小の次元数が11であることを示した[9]。すなわち、強い相互作用についてはSU(3)、電弱相互作用についてはSU(2)×U(1)である。[要出典] 標準モデルのゲージ群を^任意の次元数で超重力に埋め込む技術は数多く^存在し、例えばタイプIおよびヘテロティック弦理論における必須ゲージ対称性や、タイプII弦理論では特定のカラビ・ヤウ多様体上のコンパクト化によって得られる。Dブレーンもゲージ対称性を作り出す。
• 1978年、ウジェーヌ・クレマー、ベルナール・ジュリア、ジョエル・シェルク（CJS）は、11次元超重力理論の古典的作用を発見しました^{[10] 。これは今日でも、局所超対称性を持ち、スピンが2より大きい場を持たない唯一の既知の古典的な11次元理論です。 [要出典]}既知の量子力学的に等価でないその他の11次元理論は、古典的な運動方程式を適用するとCJS理論に還元されます。しかし、1980年代半ばに、ベルナール・ド・ウィットとヘルマン・ニコライは、局所SU(8)不変性を持つD = 11超重力理論で代替理論を発見しました。これは明らかにローレンツ不変ではありませんが、古典的な運動方程式に頼ることなく4次元理論に次元的に還元されるため、多くの点で優れています。

• 1980年にピーター・フロイントとMA・ルービンは、SUSY生成元をすべて保存する11次元からのコンパクト化は、マクロな4次元または7次元のみを残し、残りをコンパクトにする2つの方法で起こり得ることを示しました。 ^{[11]コンパクトでない次元は}反ド・ジッター空間を形成する必要があります。多くのコンパクト化が可能ですが、フロイント-ルービンのコンパクト化はすべての超対称性変換に対して不変性があるため、作用が保存されます。

最後に、最初の 2 つの結果はそれぞれ 11 次元を確立しているように見え、3 番目の結果は理論を特定しているように見え、最後の結果は観測された宇宙が 4 次元であるように見える理由を説明したようです。

この理論の詳細の多くは、ピーター・ファン・ニューウェンハウゼン、セルジオ・フェラーラ、ダニエル・Z・フリードマンによって具体化されました。

11次元の超重力に対する当初の興奮は、さまざまな欠陥が発見され、モデルを修復する試みも失敗したため、すぐに衰えました。問題には次のようなものがありました。^{[引用が必要]}

• 当時知られていた標準モデルを含むコンパクト多様体は超対称性と互換性がなく、クォークやレプトンを保持できませんでした。1つの提案は、コンパクト次元を対称群SO(8)を持つ7次元球、または対称群SO(5) × SU(2)を持つ押しつぶされた7次元球で置き換えるというものでした。
• 最近まで、実験で見られる物理的なニュートリノは質量がないと考えられており、左利きのように見えました。これは標準モデルのカイラリティと呼ばれる現象です。コンパクト化からカイラルフェルミオンを構築するのは非常に困難でした。コンパクト化された多様体は特異点を持つ必要がありましたが、特異点付近の物理は、1980 年代後半にオービフォールド 共形場理論が登場するまで理解されませんでした。
• 超重力モデルは一般的に、4次元では非現実的なほど大きな宇宙定数を導き出しますが、その定数を除去するのは困難であるため、微調整が必​​要になります。これは今日でも問題となっています。
• 理論の量子化により量子場理論のゲージ異常が生じ、理論に矛盾が生じました。その後、物理学者はこれらの異常を解消する方法を学んできました。

これらの困難のいくつかは、超弦理論を含む10次元理論に移行することで回避できるかもしれない。しかし、10次元に移行すると、11次元理論の独自性が失われる。^[12]

10次​​元理論の核心的なブレークスルーは、第一の超弦理論革命として知られ、マイケル・B・グリーン、ジョン・H・シュワルツ、デイビッド・グロスによる、ゲージ対称性を持ち、ゲージ異常と重力異常がすべて打ち消される10次元の超重力モデルは3つしかないという実証であった。これらは、E ₈の2つのコピーの直積である群SO(32)との上に構築された理論であった。今日では、たとえばDブレーンを使用することで、ゲージ対称性が他の10次元理論にも導入できることがわかっている。 ^[13]${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$

10次​​元理論と、その量子完成をもたらす弦理論に対する当初の興奮は、1980年代末までに冷めてしまった。コンパクト化すべきカラビ・ヤウの理論はあまりにも多く、ヤウが推定していたよりもはるかに多かったことを、2005年12月に第23回国際ソルベー物理学会議で彼は認めた。どれも標準モデルには程遠かったが、多くの異なる方法で十分な努力をすればそれに近づくことはできそうだった。さらに、弦摂動論の適用範囲を超えて理論を理解している者は誰もいなかった。

1990 年代初頭は比較的静かな時期でしたが、いくつかの重要なツールが開発されました。たとえば、さまざまな超弦理論が「弦の双対性」によって関連していることが明らかになりました。その一部は、あるモデルでの弱い弦結合 (摂動論的) 物理と、別のモデルでの強い弦結合 (非摂動論的) を関連付けます。

その後、第二次超弦革命が起こった。ジョセフ・ポルチンスキーは、 6年前に発見したDブレーンと呼ばれるあまり知られていない弦理論上の物体が、超重力理論で知られているpブレーンの弦バージョンに等しいことに気づいた。弦理論の摂動はこれらのpブレーンを制限しなかった。超対称性のおかげで、超重力におけるpブレーンは弦理論の限界をはるかに超えた理解を得ることができた。

この新しい非摂動的なツールを武器に、エドワード・ウィッテンと他の多くの人々は、摂動的な弦理論のすべてを、ウィッテンがM理論と名付けた単一の理論におけるさまざまな状態の記述として示すことができました。さらに彼は、M理論の長波長限界、つまり理論内のオブジェクトに関連付けられた量子波長が11次元のサイズよりもはるかに大きく見える場合、11次元の超重力記述子が必要であると主張しましたが、これは10年前の最初の超弦革命で2次元および5次元ブレーンとともに人気がなくなりました。

したがって、超重力は一周して、弦理論、M理論、およびそれらの時空次元を下げるためのコンパクト化の特徴を理解するための共通の枠組みを使用します。

「低エネルギー限界」という用語は、いくつかの 10 次元超重力理論に付けられています。これらは、弦理論の質量のないツリーレベルの近似として生じます。弦理論の真の有効場理論(打ち切りではない) は、ほとんど利用できません。弦の双対性のため、想定される 11 次元 M 理論には、11 次元超重力を「低エネルギー限界」として持つことが求められます。ただし、これは必ずしも弦理論/M 理論が超重力の唯一の可能なUV 完成であることを意味するわけではありません。 ^{[引用が必要]}超重力研究は、これらの関係とは無関係に有用です。

SUGRA 本体に進む前に、一般相対論に関する重要な詳細をいくつかまとめましょう。4D 微分可能多様体 M とその上に Spin(3,1) 主バンドルがあります。この主バンドルは局所ローレンツ対称性を表します。さらに、ファイバーが 4 つの実次元を持ち、Spin(3,1) の下でベクトルとして変換される多様体上のベクトルバンドル T があります。接バンドル TM ^{[ which? ]}からT への可逆線形マップがあります。このマップは4 周波です。局所ローレンツ対称性には、ゲージ接続、つまりスピン接続が関連付けられています。

以下の議論は、SUSY のもとで明らかに共変ではないコンポーネント表記法ではなく、超空間表記法で行われます。実際には、 SUGRA にはさまざまなバージョンがあり、ねじれテンソルに対する動作と制約が異なるという意味で同等ではありませんが、常に超ビエベインとスピン接続のフィールドの再定義を実行して、あるバージョンから別のバージョンに移行できるという点で最終的には同等です。

4D N=1 SUGRA では、4|4 実​​微分可能超多様体 M があります。つまり、4 つの実ボゾン次元と 4 つの実フェルミオン次元があります。非超対称の場合と同様に、M 上に Spin(3,1) 主バンドルがあります。M上にR ^4|4ベクトルバンドル T があります。T のファイバーは、ローカルローレンツ群の下で次のように変換されます。4 つの実ボゾン次元はベクトルとして変換され、4 つの実フェルミオン次元はマヨラナスピノルとして変換されます。このマヨラナスピノルは、複素左手ワイルスピノルとその複素共役右手ワイルスピノルとして再表現できます(これらは互いに独立ではありません)。前と同じように、スピン接続もあります。

ここでは、次の表記法を使用します。空間インデックス (ボゾンおよびフェルミオンの両方) は、M、N、... で示されます。ボゾン空間インデックスは μ、ν、... で示され、左手ワイル空間インデックスは α、β、... で示され、右手ワイル空間インデックスは、、... で示されます。T のファイバーのインデックスは、次のようにハットされる点を除いて、同様の表記法に従います。詳細については、ファンデルワールデン表記法を参照してください。 。スーパービアベインは で示され、スピン接続は で示されます。逆スーパービアベインは で示されます。 ${\displaystyle {\dot {\alpha }}}$${\displaystyle {\dot {\beta }}}$${\displaystyle {\hat {M}},{\hat {\alpha }}}$${\displaystyle M=(\mu ,\alpha ,{\dot {\alpha }})}$${\displaystyle e_{N}^{\hat {M}}}$${\displaystyle \omega _{{\hat {M}}{\hat {N}}P}}$${\displaystyle E_{\hat {M}}^{N}}$

超運動とスピンのつながりは、現実条件を満たすという意味で実在する。

${\displaystyle e_{N}^{\hat {M}}(x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=e_{N^{*}}^{{\hat {M}}^{*}}(x,\theta ,{\overline {\theta }})}$ここで、、および、およびです。${\displaystyle \mu ^{*}=\mu }$${\displaystyle \alpha ^{*}={\dot {\alpha }}}$${\displaystyle {\dot {\alpha }}^{*}=\alpha }$${\displaystyle \omega (x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=\omega (x,\theta ,{\overline {\theta }})}$

共変微分は次のように定義される。

${\displaystyle D_{\hat {M}}f=E_{\hat {M}}^{N}\left(\partial _{N}f+\omega _{N}[f]\right)}$。

超多様体上で定義される共変外微分は、超次数化される必要があります。つまり、2 つのフェルミオン指数を交換するたびに、-1 ではなく +1 の符号係数を取得します。

R 対称性の有無はオプションですが、R 対称性が存在する場合、完全な超空間上の積分関数の R チャージは 0 でなければならず、カイラル超空間上の積分関数の R チャージは 2 でなければなりません。

カイラル超場X は、を満たす超場です。この制約が矛盾しないためには、いくつかの係数cに対して となる積分可能性条件が必要です。 ${\displaystyle {\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}X=0}$${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}},{\overline {D}}_{\hat {\dot {\beta }}}\right\}=c_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\dot {\gamma }}}{\overline {D}}_{\hat {\dot {\gamma }}}}$

非SUSY一般相対論とは異なり、少なくともフェルミオン方向に関しては、ねじれはゼロ以外でなければなりません。すでに、平坦な超空間でも、 。SUGRAの1つのバージョン（ただし、唯一のものではありません）では、ねじれテンソルに次の制約があります。 ${\displaystyle D_{\hat {\alpha }}e_{\hat {\dot {\alpha }}}+{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}e_{\hat {\alpha }}\neq 0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\underline {\alpha }}}{\hat {\underline {\beta }}}}^{\hat {\underline {\gamma }}}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}^{\hat {\mu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=2i\sigma _{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}}$

${\displaystyle T_{{\hat {\mu }}{\hat {\underline {\alpha }}}}^{\hat {\nu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}^{\hat {\rho }}=0}$

ここで、は、インデックスが左または右のワイル スピノルのいずれかにまたがることを意味する省略表記です。 ${\displaystyle {\underline {\alpha }}}$

超四分円の超行列式 は、M の体積因子を与えます。同様に、体積 4|4-超形式 が得られます。 ${\displaystyle \left|e\right|}$${\displaystyle e^{{\hat {\mu }}=0}\wedge \cdots \wedge e^{{\hat {\mu }}=3}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=1}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=2}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=1}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=2}}$

超微分同相写像を複素化すると、 、となるゲージが存在します。結果として得られるカイラル超空間の座標は x と Θ です。 ${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\mu }=0}$${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\beta }=0}$${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\dot {\beta }}=\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}}$

R は、超極域とスピン接続から導出可能なスカラー値のカイラル超場です。fが任意の超場である場合、常にカイラル超場になります。 ${\displaystyle \left({\bar {D}}^{2}-8R\right)f}$

カイラル超場Xを持つSUGRA理論の作用は次のように与えられる。

${\displaystyle S=\int d^{4}xd^{2}\Theta 2{\mathcal {E}}\left[{\frac {3}{8}}\left({\bar {D}}^{2}-8R\right)e^{-K({\bar {X}},X)/3}+W(X)\right]+c.c.}$

ここで、Kはケーラーポテンシャル、Wは超ポテンシャル、はカイラル体積係数です。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

平坦な超空間の場合とは異なり、ケーラーまたは超ポテンシャルのいずれかに定数を追加することは物理的です。ケーラー ポテンシャルへの定数シフトは有効プランク定数を変更し、超ポテンシャルへの定数シフトは有効宇宙定数を変更します。有効プランク定数はカイラル超場Xの値に依存するため、超場を再スケール (場の再定義) して一定のプランク定数を取得する必要があります。これはアインシュタイン フレームと呼ばれます。

N = 8 超重力は、重力と有限個の場を伴う最も対称的な量子場理論です。これは、11D 超重力の次元縮小から、7 つの次元のサイズをゼロにすることで見つけることができます。スピン 2 とスピン -2 の間には 8 つの半ステップがあるため、8 つの超対称性があり、これは重力理論が持ち得る最大のものです (重力子はこの理論で最もスピンが高く、スピン 2 の粒子です)。超対称性が増えるということは、粒子に 2 よりも高いスピンを持つスーパーパートナーがいることを意味します。2 よりも高いスピンを持つ唯一の矛盾しない理論は、無限の数の粒子 (弦理論や高スピン理論など) を伴うものです。スティーブン ホーキングは、著書『宇宙の記録』で、この理論が万物の理論になる可能性があると推測しました。しかし、後年、これは放棄され、弦理論が採用されました。21 世紀になって、この理論が有限である可能性に再び関心が集まっています。

高次元 SUGRA は、一般相対性理論の高次元超対称一般化です。超重力は、11 次元までの任意の次元で定式化できます。高次元 SUGRA は、4 次元を超える超重力に焦点を当てています。

スピノル内の超電荷の数は、時空の次元とシグネチャに依存します。超電荷はスピノル内で発生します。したがって、任意の次元の時空では超電荷の数の制限を満たすことはできません。これが満たされる理論的な例をいくつか示します。

• 12次元二時間理論
• 11次元最大超重力
• 10次​​元超重力理論
  • タイプIIA超重力: N = (1, 1)
  • タイプIIB超重力: N = (2, 0)
  • タイプI超重力: N = (1, 0)
• 9d超重力理論
  • 10日から9日間の超重力が最大になる
  • T-双対性
  • N = 1 ゲージ超重力

最も関心を集めている超重力理論には、2 以上のスピンは含まれていません。これは特に、ローレンツ変換によって 2 以上のランクの対称テンソルとして変換されるフィールドが含まれていないことを意味します。しかし、相互作用する高スピン フィールド理論の一貫性は、現在非常に活発な関心を集めている分野です。

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• Wikiquote の「超重力」に関する引用