代数関数体

数学において、体k上のn変数の代数関数体(関数体と略されることが多い)は、 k上で超越次数nを持つ有限生成体拡大K / kです。^{[1]同様に、}k上のn変数の代数関数体は、k上のn変数の有理関数の体K = k ( x ₁ ,..., x _n )の有限体拡大として定義できます。

例

例として、多項式環 k [ X , Y ]において、既約多項式Y ² − X ³によって生成されるイデアルを考え、商環k [ X , Y ]/( Y ² − X ³ )の分数体を形成します。これは、 k上の 1 変数の関数体です。また、 ( 上の次数 2 ) または( 上の次数 3 )と書くこともできます。代数関数体の次数は明確に定義された概念ではないことがわかります。 $k(X)({\sqrt {X^{3}}})$ $k(X)$ $k(Y)({\sqrt[{3}]{Y^{2}}})$ $k(Y)$

カテゴリー構造

k上の代数関数体はカテゴリを形成します。関数体KからLへの射は、kのすべてのaに対してf ( a ) = aとなる環準同型f : K → Lです。これらの射はすべて単射です。Kがk上のn変数の関数体であり、L がm変数の関数体で、n > mである場合、 KからLへの射は存在しません。

多様体、曲線、リーマン面から生じる関数体

k上のn次元の代数多様体の関数体は、k上のn変数の代数関数体です。2 つの多様体は、それらの関数体が同型である場合に限り、双有理的に同値です。(ただし、同型でない多様体が同じ関数体を持つ場合があることに注意してください。) 各多様体にその関数体を割り当てると、k上の多様体のカテゴリ(支配的な有理写像を射として持つ) とk上の代数関数体のカテゴリの間に双対性(反変同値) が得られます。(ここで考慮する多様体は、スキームの意味でとらえられます。つまり、 $k$ $=$ $R$ である実数上で定義された曲線 $X$ $2$ $+$ $Y$ $2$ $+ 1 = 0のような$ k有理点を持つ必要はありません。)

n = 1の場合（スキームの意味での既約代数曲線）は特に重要です。なぜなら、k上の 1 変数の関数体はすべて、 k上の一意に定義された正則（つまり、特異でない）射影既約代数曲線の関数体として発生するからです。実際、関数体は、正則射影既約代数曲線のカテゴリ（優勢な正則写像を射影として持つ）とk上の 1 変数の関数体のカテゴリの間に双対性をもたらします。

連結リーマン面X上で定義される有理型関数の体 M( X )は、複素数C上の 1 変数関数体です。実際、 M は、コンパクト連結リーマン面 (非定数正則写像を射として持つ) のカテゴリとC上の 1 変数関数体との間の双対性 (反変同値性) をもたらします。コンパクト連結クライン面とR上の 1 変数関数体の間にも同様の対応関係が存在します。

数体と有限体

関数体の類推によれば、数体上のほぼすべての定理は有限体上の 1 変数の関数体上に対応するものがあり、これらの対応物の方が証明が容易な場合が多い。(たとえば、有限体上の既約多項式の類推を参照してください。) この類推の文脈では、有限体上の数体と関数体はどちらも通常「グローバル体」と呼ばれます。

有限体上の関数体の研究は、暗号化や誤り訂正符号に応用されています。たとえば、有限体上の楕円曲線の関数体（公開鍵暗号化の重要な数学的ツール）は代数関数体です。

有理数体上の関数体も逆ガロア問題を解く上で重要な役割を果たします。

定数フィールド

k上の任意の代数関数体Kが与えられたとき、 k上の代数的であるKの元の集合を考えることができます。これらの元は、代数関数体の定数体と呼ばれる体を形成します。

たとえば、C ( x ) はR上の 1 つの変数の関数体であり、その定数体はCです。

評価と場所

代数関数体を研究するための重要なツールは、絶対値、値、位置、およびそれらの完成です。

1 変数の代数関数体K / k が与えられたとき、 K / kの付値環の概念を定義します。これは、k を含み、 kおよびKとは異なるKの部分環Oであり、 Kの任意のxに対してx ∈ Oまたはx ^-1 ∈ Oが成り立つようなものです。このような各付値環は離散付値環であり、その最大イデアルはK / kの場所と呼ばれます。

K / kの離散評価は、全射関数v : K → Z ∪{∞}であり、 x = 0 の場合に限り、v ( xy ) = v ( x ) + v ( y )かつ、すべてのx、 y ∈ Kに対してv ( x + y ) ≥ min( v ( x )、v ( y )) であり、すべてのa ∈ k \ {0} に対してv ( a ) = 0 である。

K / kの付値環の集合、 K / kの場所の集合、 K / kの離散付値の集合の間には自然な全単射対応があります。これらの集合には、自然な位相構造、つまりK / kのザリスキ-リーマン空間を与えることができます。

参照

参考文献

^ ガブリエル・ダニエル & ヴィラ・サルバドール (2007)。代数関数体理論の話題。シュプリンガー。ISBN 9780817645151。

[1] ガブリエル・ダニエル & ヴィラ・サルバドール (2007)。代数関数体理論の話題。シュプリンガー。ISBN 9780817645151。