エジプト分数

エジプト分数は、などの 個別の単位分数の有限和です。つまり、式の 各分数は、分子が1 で、分母が正の整数であり、すべての分母が互いに異なります。このタイプの式の値は、正の有理数です。たとえば、上記のエジプト分数を合計すると になります。すべての正の有理数は、エジプト分数で表すことができます。このタイプの和、および を加数として含む同様の和は、古代エジプト人によって有理数の正式な表記法として使用され、中世まで他の文明でも使用され続けました。現代の数学表記では、エジプト分数は俗分数と十進表記に取って代わられました。しかし、エジプト分数は、現代の数論や娯楽数学、および古代数学の現代の歴史研究において引き続き研究対象となっています。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {43}{48}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

エジプト分数は歴史的に使われてきただけでなく、分数の他の表現方法に比べて実用的な利点もあります。たとえば、エジプト分数は食べ物やその他の物を均等に分けるのに役立ちます。^[1]たとえば、ピザ 5 枚を 8 人の客に均等に分ける場合、エジプト分数は、 各客がピザの半分とさらに 8 分の 1 ずつを受け取ることを意味します。たとえば、ピザ 4 枚を 8 等分し、残りのピザを 8 等分します。このような公平な食べ物の分配の練習は、生徒に単位分数の扱い方を教える際の標準的な教室の例です。^[2]$${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$$

エジプト分数は、ロープ燃焼パズルの解法を提供することができる。このパズルでは、単位時間後に燃え尽きる不均一なロープに点火して、与えられた持続時間を測定しなければならない。単位時間の任意の有理分数は、分数を単位分数の合計に展開し、各単位分数について、常に同時に点火される点が存在するようにロープを燃やすことによって測定することができる。この用途では、単位分数が互いに区別される必要はない。しかし、この解決策では、無限の数の再点火ステップが必要になる可能性がある。^[3]${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x}$

エジプトの分数表記法は、エジプト中王国時代に開発された。エジプトの分数が出てくる初期の文献は、エジプト数学皮革巻、モスクワ数学パピルス、ライスナー・パピルス、カフン・パピルス、アフミーム木板の 5 つである。後の文献であるリンド数学パピルスは、エジプト分数の表記法の改良版を導入した。リンド・パピルスはアハメスによって書かれ、第 2 中間期のものである。これには、有理数のエジプト分数展開表${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$と 84 問の文章問題が含まれている。各問題の解答は筆写者の速記で書かれ、84 問すべての最終的な解答はエジプト分数表記法で表現されていた。リンド・パピルスのものと似た展開表は、他の文献にもいくつか登場する。しかし、カフン・パピルスが示すように、筆写者は計算に 俗分数も使用していた。${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$

エジプトの分数表記法で使用される単位分数を象形文字で書くために、エジプト人は象形文字を配置しました。

（er、「[1]のうちの」またはおそらくre、口）を数字の上に引いて、その数の逆数を表します。同様に、ヒエラティック文字では、数字を表す文字の上に線を引きます。例：

エジプト人は、、 、などの特別な記号を持っていて、そのような数をエジプト分数列に変換するときに、それより大きい数のサイズを小さくするために使用しました。これらの特別な分数の 1 つを減算した後の残りの数は、通常のエジプト分数表記に従って、個別の単位分数の合計として表されました。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

エジプト人はまた、古王国時代から改良された別の表記法を使用して、 の形式の特別な分数のセット( の場合) と、必然的に2項有理数となるこれらの数の和を表した。これらは、ホルスの目のシンボルの各部に基づいているという学説 (現在は否定されている) ^[4]にちなんで「ホルスの目分数」と呼ばれている。これらは中王国時代に、アフミーム木簡に記載されているように、穀物、パン、その他の少量の体積を表す古代エジプトの主要な体積の単位であるヘカット を細分化するための、後のエジプト分数の表記法と組み合わせて使用​​された。ヘカットのホルスの目分数で量を表した後に余りが生じた場合、その余りは、ヘカットの に 等しい単位であるroの倍数として、通常のエジプト分数表記法を使用して表された。${\displaystyle 1/2^{k}}$${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$${\displaystyle {\tfrac {1}{320}}}$

現代の数学史家は、リンド パピルスやその他の古代の資料を研究し、エジプト人がエジプト分数を使って計算する際に使用した方法を発見しようとしてきました。特に、この分野の研究は、リンド パピルスにある形式の数の展開表を理解することに集中しています。これらの展開は一般に代数的恒等式として説明できますが、エジプト人が使用した方法はこれらの恒等式に直接対応していない可能性があります。さらに、表の展開は単一の恒等式とは一致しません。むしろ、異なる恒等式が素分母と合成分母の展開と一致し、複数の恒等式が各タイプの数に適合します。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$

• 小さな奇数の素分母の場合は、展開が使用されました。${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{(p+1)/2}}+{\frac {1}{p(p+1)/2}}}$$
• より大きな素分母については、 という形式の展開が使用された。ここで はと の間に多くの約数を持つ数 (実用的な数など)である。残りの項は、数をおよび の約数の合計として表し、この合計の各約数について分数を形成することによって展開された。^[5]一例として、アーメスの展開は、およびの場合、 および としてこのパターンに適合します。与えられた に対して、このタイプの異なる展開が多数存在し得るが、KS ブラウンが観察したように、エジプト人が選択した展開は、このパターンに適合するすべての展開の中で、最大分母が可能な限り小さくなるものになることが多かった。$${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (2A-p)/Ap}$${\displaystyle 2A-p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tfrac {d}{Ap}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\tfrac {2}{37}}={\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{111}}+{\tfrac {1}{296}}}$${\displaystyle A=24}$${\displaystyle 2A-p=11=8+3}$${\displaystyle {\tfrac {1}{111}}={\tfrac {8}{24\cdot 37}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{296}}={\tfrac {3}{24\cdot 37}}}$${\displaystyle p}$
• として因数分解された合成分母のいくつかについて、 の展開は、各分母に を掛けたの展開の形をとります。この方法は、リンド・パピルスにある多くの合成数に使用されたようですが、^[6]、、などの例外もあります。^[7]${\displaystyle p\cdot q}$${\displaystyle {\tfrac {2}{pq}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{p}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\tfrac {2}{35}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{91}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{95}}}$
• 展開することもできます。例えば、アーメスは を展開します。後の筆記者は、が の倍数であるときに機能する、この展開のより一般的な形式を使用しました。^[8]$${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/2}}+{\frac {1}{q(p+q)/2}}.}$$${\displaystyle {\tfrac {2}{35}}={\tfrac {2}{5\cdot 7}}={\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{42}}}$$${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/n}}+{\frac {1}{q(p+q)/n}},}$$${\displaystyle p+q}$${\displaystyle n}$
• リンド パピルスの最後の (素数) 展開 は、これらの形式のいずれにも当てはまりませんが、代わりにの値に関係なく適用できる展開を使用します。つまり、 です。関連する展開は、エジプトの数学革巻物でもいくつかのケースで使用されました。${\displaystyle {\tfrac {2}{101}}}$$${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\tfrac {2}{101}}={\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{202}}+{\tfrac {1}{303}}+{\tfrac {1}{606}}}$

エジプトの分数表記法は、バビロニアの60進表記法などに比べて表記が扱いにくいというプトレマイオスの『アルマゲスト』の頃からの不満があったにもかかわらず、ギリシャ時代から中世まで使用され続けた。^{単位分数への分解に関する関連問題は、9世紀インドでジャイナ教の数学者}マハーヴィーラによって研究された。^[10]中世ヨーロッパ数学の重要なテキストである、レオナルド・ディ・ピサの『算盤の書』（1202年、通称フィボナッチ）は、中世におけるエジプトの分数の使用法についてある程度の洞察を提供し、これらの級数の現代数学的研究において引き続き重要なトピックを紹介している。

『算盤の書』の主な主題は、小数と普通分数表記を伴う計算であり、これらは最終的にエジプト分数に取って代わった。フィボナッチ自身は、混合基数表記と分数の和を組み合わせた複雑な分数表記を使用していた。フィボナッチの本全体の計算の多くはエジプト分数として表された数値を伴うものであり、この本のあるセクション^[11]では、普通分数をエジプト分数に変換する方法の一覧が示されている。数がまだ単位分数でない場合、この一覧の最初の方法は、分子を分母の約数の合計に分割しようとすることである。これは、分母が実用的な数であればいつでも可能であり、 『算盤の書』には、実用的な数 6、8、12、20、24、60、および 100 についてこのタイプの展開表が含まれている。

次のいくつかの方法は、例えばフィボナッチ数列は分数を表すなど、代数的な等式を伴います 。$${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.}$$8/11⁠分子を2つの数に分割し、それぞれの数が分母の1を加えた数を割り切るようにすると、次のようになります。⁠8/11⁠ = ⁠6/11⁠ + ⁠2/11⁠。フィボナッチは上記の代数的恒等式をこれら2つの部分にそれぞれ適用し、展開式⁠を生成します。8/11⁠ = ⁠1/2⁠ + ⁠1/22⁠ + ⁠1/6⁠ + ⁠1/66⁠。フィボナッチは、多くの因数を持つ数より 2 または 3 少ない分母に対して同様の方法を説明します。

こうした他の方法がすべて失敗するという稀なケースでは、フィボナッチはエジプト分数を計算するための「貪欲な」アルゴリズムを提案している。このアルゴリズムでは、残りの分数よりも大きくならない最小の分母を持つ単位分数を繰り返し選択する。つまり、より現代的な表記法では、分数を⁠x/ええ⁠展開によって 、 ⌈ ⌉ は 天井関数を表します。 (− y ) mod x < xなので、この方法では有限の展開が得られます。 $${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},}$$

フィボナッチは、最初のそのような展開の後に別の方法に切り替えることを提案していますが、完全なエジプト分数展開が構築されるまでこの貪欲な展開が繰り返される例も示しています。⁠4/13⁠ = ⁠1/4⁠ + ⁠1/18⁠ + ⁠1/468⁠と⁠17/29⁠ = ⁠1/2⁠ + ⁠1/12⁠ + ⁠1/348⁠ .

古代エジプトの展開やより現代的な方法と比較すると、この方法では分母が大きく、かなり長い展開が生成される可能性があり、フィボナッチ自身もこの方法で生成される展開の不自然さに気づいていました。たとえば、貪欲法では展開します が、他の方法では展開が短くなります。 $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},}$$$${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.}$$

シルベスターの数列2、3、7、43、1807、...は、このタイプの無限貪欲展開によって生成された数1として見ることができます。各ステップで分母を選択します⌊ ⁠ええ/x⁠ ⌈の代わりに⌋ + 1 ⁠ええ/x⁠ ⌉、そして時にはフィボナッチの貪欲アルゴリズムはジェームズ・ジョセフ・シルベスターに起因すると言われています。

貪欲アルゴリズムの説明の後、フィボナッチは分数を展開するさらに別の方法を提案している。1つの/b⁠多数の約数を持つ数cを検索することにより、⁠b/2⁠ < c < b、置き換え⁠1つの/b⁠ ⁠による交流/紀元前⁠、そしてac をbcの約数の和として展開します。これは、リンド・パピルスの展開のいくつかを説明するために Hultsch と Bruins によって提案された方法に似ています。

エジプト分数はもはや数学のほとんどの実用的応用では使われていないが、現代の数論学者はエジプト分数に関連するさまざまな問題を研究し続けている。これらの問題には、エジプト分数表現の長さや最大分母の境界を定める問題、特定の特殊形式の展開や分母がすべて何らかの特殊型である展開を見つける問題、エジプト分数展開のさまざまな方法の終了、十分に滑らかな数の十分に密な集合に対して展開が存在することを示す問題などが含まれる。

• ポール・エルデシュの最も初期の出版物の1つは、調和数列が整数のエジプト分数表現を形成することは不可能であることを証明した。その理由は、必然的に、数列の少なくとも1つの分母は、他のどの分母も割り切れない素数で割り切れるからである。 ^[12]エルデシュの死後ほぼ20年経った最新の出版物は、すべての整数には、すべての分母が3つの素数の積である表現があることを証明している。^[13]
• 組合せ論的整数論におけるエルデシュ・グラハム予想は、1 より大きい整数を有限個の部分集合に分割した場合、その部分集合の 1 つに、逆数の和が 1 になるような有限部分集合が存在するというものです。つまり、すべてのr > 0および 1 より大きい整数のすべてのr色付けに対して、これらの整数の有限単色部分集合Sが存在し、次の式が成り立ちます。この予想は 2003 年にアーネスト S. クルート IIIによって証明されました。$${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$$
• ズナームの問題と一次擬似完全数は、次のような形式のエジプト分数の存在と密接に関係している。例えば、一次擬似完全数1806は、素数2、3、7、43の積であり、エジプト分数1 = ⁠を生み出す。$${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.}$$1/2⁠ + ⁠1/3⁠ + ⁠1/7⁠ + ⁠1/43⁠ + ⁠1/1806⁠ .
• エジプト分数は通常、すべての分母が異なっていなければならないと定義されていますが、この要件を緩和して分母が重複することを許容することができます。ただし、この緩和されたエジプト分数形式では、より少ない分数を使用して数値を表すことはできません。これは、重複分数を含む展開は、kが奇数の場合は置換を繰り返し適用するか、単に⁠ を置き換えることによって、同じ長さまたはより短いエジプト分数に変換できるためです。$${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}}$$1/け⁠ + ⁠1/け⁠ ⁠による2/け⁠ kが偶数の場合。この結果は Takenouchi (1921) によって初めて証明されました。
• グラハムとジュエット^[14]は、同様に、置換によって、重複する分母を持つ展開を（より長い）エジプト分数に変換できることを証明した。この方法は、ボッツ（1967）のような大きな分母を持つ長い展開につながる可能性がある。ボッツはもともとこの置換技術を使用して、任意の有理数には、任意の最小分母を持つエジプト分数表現があることを示していた。$${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.}$$$${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}.}$$
• 任意の分数⁠x/ええ⁠ は、最大分母が^[15] で制限されるエジプト分数表現と、最大項数を持つ表現を持ちます。^[16]項の数は、少なくともlog log yに比例する必要があります。たとえば、これは数列⁠の分数に当てはまります。$${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),}$$$${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$$1/2⁠、⁠2/3⁠、⁠6/7⁠、⁠42/43⁠、⁠1806/1807⁠ 、 ...その分母はシルベスターの数列を形成します。O (log log y )項は常に十分であると推測されています。 ^[17]最大分母と項数が両方とも小さい表現を見つけることも可能です。^[18]
• グラハム（1964）は、分母がすべてn乗であるエジプト分数で表せる数を特徴づけた。特に、有理数qは、 2つの半開区間のいずれかにある場合にのみ、分母が2乗のエジプト分数で表すことができる。$${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).}$$
• Martin (1999) は、十分に大きいNに対してNまでの分母の定数分数を使用して、任意の有理数には非常に稠密な展開があることを示しました。
• エンゲル展開は、エジプト積とも呼ばれ、各分母が前の分母の倍数となるエジプト分数展開の一種です。また、乗数の列a _{i は}非減少である必要があります。すべての有理数は有限のエンゲル展開を持ちますが、無理数は無限のエンゲル展開を持ちます。$${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .}$$
• Anshel と Goldfeld (1991) は、項の数と分母の積が同じである複数の異なるエジプト分数表現を持つ数を研究しています。たとえば、彼らが提供する例の 1 つは、古代エジプト人とは異なり、これらの展開で分母が繰り返されることを許容しているというものです。彼らはこの問題に対する結果を、交換子部分群の階数、自由積の項の数、因数の順序の積という少数の数値パラメータによるアーベル群の自由積の特徴付けに適用しています。$${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.}$$
• 数1のn項エジプト分数表現の数は、 nの二重指数関数によって上下に制限されます。^[19]

数学者による多大な努力にもかかわらず、エジプト分数に関してはいくつかの注目すべき問題が未解決のまま残っています。

• エルデシュ・ストラウス予想^[17]は、形式⁠の分数に対する最短展開の長さに関する予想である。4/ん⁠ 。すべてのnに対して展開は存在するのでしょうか? これは、すべてのn < 10 ¹⁷に対して真であり、またnの可能な値のごく一部を除いてすべてに当てはまることが知られていますが、この予想の一般的な真実性は不明のままです。$${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$$
• 奇数の分母を持つすべての分数に対して、奇数の貪欲展開が存在するかどうかは不明です。フィボナッチの貪欲法が、常に最小の奇数の分母を選択するように修正された場合、どのような条件でこの修正アルゴリズムは有限の展開を生成しますか？明らかな必要条件は、開始分数が⁠x/ええ⁠ は奇数の分母yを持ち、これが十分な条件であることも推測されているが、知られていない。^[20]から、すべての⁠x/ええ⁠ yが奇数の場合、貪欲アルゴリズムとは異なる方法を使用して構築された、異なる奇数の単位分数への展開があります。
• 総当たり探索アルゴリズムを使用して、与えられた数のエジプト分数表現を可能な限り少ない項で見つけることや^[21] 、最大分母を最小化することは可能ですが、そのようなアルゴリズムは非常に非効率的です。これらの問題に対する多項式時間アルゴリズムの存在、またはより一般的にはそのような問題の計算複雑さは不明のままです。

Guy (2004) はこれらの問題をより詳細に説明し、さらに多くの未解決の問題を列挙しています。

• 逆数の和の一覧
• 17匹の動物の継承パズル

• ブラウン、ケビン、エジプト単位分数。
• エップスタイン、デイビッド、エジプトの分数。
• ノット、ロン、エジプト分数。
• ワイスシュタイン、エリック W.、「エジプト分数」、MathWorld
• ジルー、アンドレ、エジプト分数ゼレニー 、エンリケ、エジプト分数のアルゴリズム、David Eppsteinのプログラムに基づいたWolfram Demonstrations Project。