インドの数学

インドの数学は、紀元前1200年頃^[2]から18世紀末（およそ1800年）までインド亜大陸^[1]で誕生し、発展しました。インド数学の古典期（西暦400年から1200年）には、アーリヤバータ、ブラフマグプタ、バースカラ2世、ヴァラーハミヒラ、マドハヴァなどの学者によって重要な貢献がなされました。今日使用されている10進数システム^[3]は、インド数学で初めて記録されました。^[4]インドの数学者は、数としてのゼロの概念、 ^[5]負の数、^[6]算術、代数^[7]の研究に早くから貢献しました。さらに、三角法^[8]は インドでさらに進歩し、特にサインとコサインの現代的な定義はそこで開発されました。^[9]これらの数学的概念は中東、中国、ヨーロッパに伝わり^[7]、さらなる発展をもたらし、現在では数学の多くの分野の基礎を形成しています。

古代および中世のインドの数学書はすべてサンスクリット語で書かれており、通常、一連の規則または問題が、学生が暗記しやすいように、非常に簡潔な詩の形で述べられたスートラのセクションで構成されていました。これに続いて、問題をより詳細に説明し、解決の正当性を示した散文の解説（時には異なる学者による複数の解説）で構成される第2セクションが続きました。散文セクションでは、形式（したがってその暗記）は、含まれるアイデアほど重要視されていませんでした。^{[1] [10]}すべての数学書は、紀元前500年頃まで口頭で伝えられていましたが、それ以降は口頭と手書きの両方の形式で伝えられました。インド亜大陸で作成された現存する最古の数学文書は、1881年にペシャワール（現在のパキスタン）近くのバクシャリ村で発見された白樺の樹皮でできたバクシャリ写本で、紀元7世紀のものと思われます。^{[11] [12]}

インド数学におけるその後の画期的な出来事は、15世紀にケーララ学派の数学者が三角関数（正弦、余弦、逆正接）の級数展開を開発したことである。ヨーロッパで微積分学が発明される2世紀前に完成した彼らの研究は、現在では等比級数とは別にべき級数の最初の例と考えられているものを提供した。 ^{[13]しかし、彼らは}微分と積分の体系的な理論を定式化せず、また彼らの研究結果がケーララ州外に伝わったという証拠もない。^{[14] [15] [16] [17]}

ハラッパー、モヘンジョダロ、その他のインダス文明の遺跡の発掘調査により、「実用的な数学」の使用の証拠が発見されている。インダス文明の人々は、レンガ構造の安定性に好ましいとされる4:2:1の比率の寸法のレンガを製造した。彼らは、1/20、1/10、1/5、1/2、1、2、5、10、20、50、100、200、500の比率に基づく標準化された重量システムを使用し、単位重量は約28グラム（イギリスのオンスまたはギリシャのアンシアとほぼ等しい）であった。彼らは、六面体、樽、円錐、円筒などの規則的な幾何学的形状の重量物を大量生産し、基本的な幾何学の知識を示していた。^[18]

インダス文明の住民は、長さの測定を高精度に標準化しようともした。彼らは、長さの単位（約1.32インチまたは3.4センチメートル）を10等分した定規（モヘンジョダロ定規）を考案した。古代モヘンジョダロで製造されたレンガの寸法は、この長さの単位の整数倍であることがよくあった。^{[19] [20]}

ロタール（紀元前2200年）とドーラビラで発見された貝殻でできた中空の円筒形の物体は、平面上の角度を測定する能力と、航海のために星の位置を決定する能力があることが実証されています。^[21]

ヴェーダ時代の文献には大きな数字が使われていた証拠が残されている。ヤジュルヴェーダサンヒター（紀元前1200-900年）の時代までには、 10 ¹²ほどの数字が文献に含まれていた。^[2]たとえば、アシュヴァメーダの間に行われるアンナホマ（「食物供養の儀式」）の終わりに、日の出直前、日の出中、日の出直後に唱えられるマントラ（神聖な朗読）は、100から1兆までの10の累乗を唱えている。^[2]

シャタ（「百」、10 ²）、サハスラ（「千」、10 ³）、アユタ（「一万」、10 ⁴）、ニユタ（「十万」、10 ⁵）、プラユタ（「百万」、10 ⁶）、アルブダ（「千万」、10 ⁷）、ニャルブダ（「一億」、10 ⁸）、サムドラ（「十億」、10 ⁹、文字通り「海」）、マディヤ（「百億」、10 ¹⁰、文字通り「真ん中」）、アンタ（「千億」、10 11 ^、文字通り「終わり」）、パラルダ（「一兆」、10 ¹²、文字通り「超えて」） 「すべてのもの」に栄光あれ、夜明けに栄光あれ、夕暮れに栄光あれ、これから昇る者、昇る者、昇る者、昇ったばかりの者、昇ったばかりの者、天国に栄光あれ、世界（万物）に栄光あれ、すべてに栄光あれ。」^[2]

部分分数の解法は、リグヴェーダの人々にはプルシュ・スークタ（RV 10.90.4）に記されたものとして知られていました。

プルシャは4分の3を連れて上って行きました。彼の4分の1が再びここにいました。

サタパタ・ブラフマナ（紀元前7世紀頃）には、スルバ・スートラに似た儀式の幾何学的構成の規則が含まれています。^[22]

シュルバ・スートラ（ヴェーダ語で「和音の格言」）（紀元前700年～400年頃）には、犠牲の火の祭壇の建設に関する規則が記載されている。^[23]シュルバ・スートラで取り上げられている数学の問題のほとんどは、 「単一の神学的要件」^[24]から生じており、それは、形は異なるが同じ面積を占める火の祭壇を建設するというものである。祭壇は5層の焼成レンガで建設する必要があり、さらに各層は200個のレンガで構成され、隣接する2つの層のレンガの配置が一致してはならないという条件があった。^[24]

林氏によれば、シュルバ・スートラには「古代バビロニア人にはすでに知られていたが、ピタゴラスの定理を言葉で表現した世界最古の現存する文献」が含まれているという。

長方形の対角線ロープ（akṣṇayā-rajju ）は、側面（ pārśvamāni）と水平（tiryaṇmānī）の<ロープ>が別々に生成するものの両方を生成します。」^[25]

この文は経文なので必然的に圧縮されており、縄が何を生み出すのかは詳しく述べられていないが、文脈から縄の長さに基づいて正方形の領域が作られていることは明らかであり、教師が生徒にそのように説明したであろう。^[25]

これらにはピタゴラス数列のリストが含まれていますが、^{[26]これは}ディオファントス方程式の特殊なケースです。 [ ^27]また、円を二乗することや「正方形を一周する」ことに関する記述（後から考えれば近似値であることがわかっています）も含まれています。 ^[28]

ボーダヤナ（紀元前8世紀頃）は、最もよく知られているスルバ・スートラであるボーダヤナ・スルバ・スートラを著した。そこには、 （3、4、5）、（5、12、13）、（8、15、17）、（7、24、25）、（12、35、37）などの簡単なピタゴラスの三つの数の例が含まれている。^[29]また、正方形の辺に関するピタゴラスの定理の記述、「正方形の対角線に沿って張られたロープは、元の正方形の2倍の面積を生み出す。」^{[29] [30]}また、ピタゴラスの定理の一般的な記述（長方形の辺について）も含まれている。「長方形の対角線の長さに沿って張られたロープは、垂直辺と水平辺を合わせた面積を作る。」^{[29]バウダヤナは}2 の平方根の式を与えます: ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

この式は小数点以下5桁まで正確で、真の値は1.41421356...である^[32]。この式は、古バビロニア時代（紀元前1900～1600年）のメソポタミアの粘土板^[33]に見られる式と構造が似ている。^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

これは√ 2を 60 進法で表し、小数点以下 5 桁まで正確です。

数学者SGダニによれば、紀元前1850年頃に書かれたバビロニアの楔形文字板プリンプトン322 ^[34]には「かなり長い項目を持つ15のピタゴラスの数字が含まれており、その中には原始的な数字である(13500、12709、18541)も含まれている^[35]。これは特に、紀元前1850年のメソポタミアでこのテーマに関する高度な理解があったことを示している」とのこと。「これらの板はスルバスートラ時代より数世紀前のものであるため、数字の一部の文脈上の出現を考慮すると、インドでも同様の理解があったと予想するのは妥当である」^[36]ダニはさらに次のように述べている。

スルヴァスートラの主な目的は祭壇の建設とそれに関わる幾何学的原理を記述することであったため、ピタゴラスの三つ組という主題は、たとえよく理解されていたとしても、スルヴァスートラには登場しなかったかもしれない。スルヴァスートラにおける三つ組の出現は、建築学や同様の応用分野の入門書で出会う数学に匹敵し、当時のこの主題に関する全体的な知識に直接対応するものではない。残念ながら、同時代の他の資料は見つかっていないため、この問題を満足のいく形で解決することは決して不可能かもしれない。^[36]

全部で 3 つのSulba Sutraが編纂されました。残りの 2 つ、マナヴァ(紀元前 750-650 年頃)が編纂したManava Sulba Sutraと、アパスタンバ(紀元前 600 年頃)が編纂したApastamba Sulba Sutraには、 Baudhayana Sulba Sutraと同様の内容が含まれていました。

ヴィヤカラナ

ヴェーダ時代にはサンスクリットの文法学者パーニニ（紀元前520年頃-紀元前460年頃）が活躍した。彼の文法には、バッカス・ナウア記法（記述プログラミング言語で使用）の前身が含まれている。^[37]

数学に貢献したポストヴェーダ時代の学者の中で最も有名なのは、音楽理論家で、サンスクリット語の韻律に関する論文であるチャンダス・シャーストラ（チャンダス・スートラ、チャンダス・スートラとも呼ばれる）を著したピンガラ（ピニャーラ）（紀元前300～200年頃活躍）である。ピンガラの著作には、フィボナッチ数列（マアトラアメルと呼ばれる）の基本的な考え方も含まれている。チャンダ・スートラは完全には現存していないが、10世紀のハラユダによる注釈が残っている。ハラユダはパスカルの三角形をメルー・プラスターラ（文字通り「メルー山への階段」） と呼び、次のように述べている。

正方形を描きます。正方形の半分から始めて、その下に同様の正方形を 2 つ描きます。この 2 つの下にさらに 3 つの正方形を描きます。これを繰り返します。マーキングは、最初の正方形に1 を入れて開始します。2行目の 2 つの正方形にそれぞれ1 を入れます。3 行目では、両端の 2 つの正方形に1 を入れ、中央の正方形には、その上にある 2 つの正方形の数字の合計を入れます。4 行目では、両端の 2 つの正方形に1 を入れます。中央の正方形には、それぞれの上にある 2 つの正方形の数字の合計を入れます。このように進めます。これらの行のうち、2 行目は 1 音節の組み合わせ、3 行目は 2 音節の組み合わせ、... ^[38]

このテキストはまた、ピンガラが組み合わせの同一性を認識していたことを示しています。^[39]

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

カティアヤナ

カティヤーヤナ（紀元前3世紀頃）は、ヴェーダ数学者の最後の一人として有名です。彼は『カティヤーヤナ・スルバ・スートラ』を著し、一般的なピタゴラスの定理や小数点5桁までの2の平方根の計算など、多くの幾何学を提示しました。

ジャイナ教は宗教および哲学として、その最も有名な提唱者である偉大なマハヴィーラスワミ(紀元前 6 世紀)よりも古いものですが、数学に関するジャイナ教のテキストのほとんどは紀元前 6 世紀以降に作成されました。ジャイナ教の数学者は、ヴェーダ時代の数学と「古典時代」の数学をつなぐ重要な存在として歴史的に重要です。

ジャイナ教の数学者の重要な歴史的貢献は、インドの数学を宗教的および儀式的な制約から解放したことにある。特に、ジャイナ教の数学者は非常に大きな数と無限の数え上げに魅了され、数を可算数、不可算数、無限数の3つのクラスに分類した。単純な無限の概念に満足せず、彼らの文献では5つの異なるタイプの無限を定義している。一方向の無限、二方向の無限、面積の無限、あらゆる場所の無限、そして永遠の無限である。さらに、ジャイナ教の数学者は、平方や立方などの数の単純な累乗（および指数）の表記法を考案し、それによって単純な代数方程式（bījagaṇita samīkaraṇa ）を定義できるようにした。ジャイナ教の数学者は、ゼロを指すのにシュニャ（サンスクリット語で文字通り空虚）という言葉を初めて使用した人々でもあるようだ。この単語は英語の「ゼロ」の究極の語源であり、アラビア語でṣifrとして翻訳され、その後中世ラテン語でzephirumとして借用され、最終的に1つ以上のロマンス語（フランス語のzéro、イタリア語のzeroを参照）を経て英語に到達した。^[40]

スーリヤ・プラジナプティに加えて、数学に関する重要なジャイナ教の著作には、スターナーガ・スートラ（紀元前300年頃-紀元200年）、インド数学における階乗の最古の記述を含むアヌヨーガドワラ・スートラ（紀元前200年頃-紀元100年）、 ^[41]およびサットカンダガマ（紀元2世紀頃）がある。重要なジャイナ教の数学者には、 2つの天文学の著作、バドラバハヴィ・サンヒターとスーリヤ・プラジナプティの注釈の著者であるバドラバーフ（紀元前298年没） 、ティロヤパンナティと呼ばれる数学書を著したヤティヴリシャム・アチャリヤ（紀元前176年頃）がいる。そしてウマスワティ（紀元前150年頃）は、ジャイナ教の哲学と形而上学に関する影響力のある著作でよく知られていますが、タットヴァールタ・スートラと呼ばれる数学の著作も著しました。

古代および中世初期のインドの数学者は、ほとんどがサンスクリットの パンディット（paṇḍita「学識のある人」）^[42]であり、サンスクリット語と文学の訓練を受け、「文法（vyākaraṇa）、解釈（mīmāṃsā）、論理（nyāya）の共通の知識を持っていました。」^[42] 。古代インドでは、朗読による「聞いたもの」（サンスクリット語でśruti）の暗記が聖典の伝達に大きな役割を果たしました。暗記と朗読は、哲学や文学作品、儀式や文法に関する論文の伝達にも使用されました。古代インドの現代の学者は、「何千年にもわたって膨大な量のテキストを口頭で保存してきたインドのパンディットの真に驚くべき業績」に注目しています。^[43]

古代インド文化では、これらのテキストが世代から世代へと非常に忠実に伝えられるよう、膨大な労力が費やされました。^[44]たとえば、聖なるヴェーダの暗記には、同じテキストを最大 11 種類の形式で暗唱することが含まれていました。テキストはその後、異なる暗唱バージョンを比較することで「校正」されました。暗唱形式には、テキスト内の隣接する 2 つの単語を最初に元の順序で暗唱し、次に逆の順序で繰り返し、最後に元の順序で繰り返すジャター・パタ(文字通り「メッシュ暗唱」) が含まれていました。^[45]暗唱は次のように進行しました。

別の形式の朗誦であるdhvaja-pāṭha ^{[45] （文字通り「旗朗誦」）では、最初の2語と最後の2語をペアにして}N語の連続を朗誦（および暗記）し、次のように進めます。

フィリオザットによれば、最も複雑な朗誦形式であるガナ・パタ^{（文字通り「濃密な朗誦」） [45]は}次の形式をとった。

これらの方法が効果的であったことは、インドの最古の宗教テキストであるリグ・ヴェーダ（紀元前1500年頃）が、異読のない単一のテキストとして保存されていることからも明らかです。^{[45]同様の方法が数学テキストの暗記にも使用され、その伝達は}ヴェーダ時代の終わり（紀元前500年頃）まで口頭のみで行われました。

古代インドの数学活動は、聖なるヴェーダに対する「方法論的考察」の一環として始まり、ヴェーダガ（紀元前7世紀～4世紀）または「ヴェーダの付属書」と呼ばれる作品の形をとった。 ^[46] śikṣā（音声学）とchhandas（計量法）を使用して聖なるテキストの音を保存すること、 vyākaraṇa（文法）とnirukta（語源学）を使用してその意味を保存すること、そしてkalpa（儀式）とjyotiṣa（占星術）を使用して正しい時に儀式を正しく行うことの必要性から、ヴェーダガの6つの分野が生まれた。^[46]数学は、最後の2つの分野、儀式と天文学（占星術も含む）の一部として生まれた。ヴェーダーンガは古代インドで文字が使われる直前に作られたため、口承のみで伝えられた最後の文学作品となりました。ヴェーダーンガは、非常に圧縮された記憶術形式であるスートラ（文字通り「糸」）で表現されました。

経典を知る者は、経典には音素が少なく、曖昧さがなく、本質を内包し、すべてに直面し、間断がなく、異論の余地がないと知っている。^[46]

極度の簡潔さは、さまざまな手段によって達成された。その中には、「自然言語の許容範囲を超えた」省略法の使用、 ^[46]、長い説明的な名前の代わりに専門用語の使用、最初と最後の項目のみに言及することでリストを短縮すること、マーカーと変数の使用などがある。^[46]スートラは、テキストを通じたコミュニケーションは「全体の指示の一部にすぎない」という印象を与える。指示の残りの部分は、いわゆるグル・シシャ・パラムパラ、つまり「教師（グル）から生徒（シシャ）への途切れることのない継承」によって伝えられたに違いなく、一般には公開されておらず、おそらくは秘密にされていた。^[47]スートラで達成された簡潔さは、バウダーヤナ・シュルバ・スートラ（紀元前700年） の次の例で実証されている。

ヴェーダ時代の家庭用火祭壇は、儀式上、正方形の土台を持ち、各層に21個のレンガを積んだ5層のレンガで構成することが求められていた。祭壇を建設する方法の1つは、紐やロープを使って正方形の1辺を3等分し、次に横（または垂直）辺を7等分し、それによって正方形を21の合同な長方形に再分割することだった。次に、レンガを構成長方形の形になるように設計し、層を作成した。次の層を形成するために、同じ方式が使用されたが、レンガは横方向に並べられた。^[48]その後、建設を完了するために、このプロセスをさらに3回（方向を変えて）繰り返した。Baudhāyana Śulba Sūtraでは、この手順が次の言葉で説明されている。

II.64. 四辺形を7つに分割した後、横方向の[紐]を3つに分割します。II.65
. 別の層に[レンガ]を北に向けて置きます。^[48]

フィリオザットによると^[49] 、祭壇を建設する司祭が使える道具と材料は、紐（サンスクリット語、rajju、女性）、2本の杭（サンスクリット語、śanku、男性）、レンガを作る粘土（サンスクリット語、iṣṭakā 、女性）のわずか数個だけです。スートラでは、形容詞「横切る」が何を修飾するかを明示的に述べないことで簡潔さが達成されていますが、使用されている形容詞（サンスクリット語）の女性形から、「紐」を修飾することが容易に推測できます。同様に、2番目のスタンザでは、「レンガ」は明示的には言及されていませんが、「北を指す」の女性複数形から再び推測されます。最後に、最初の節では、最初のレンガの層が東西方向に向いているとは明示的には述べられていないが、2番目の節で「北向き」と明示的に言及されていることからもそれが示唆されている。なぜなら、2つの層の向きが同じであることを意図していた場合、まったく言及されないか、最初の節でのみ言及されるからである。これらの推論はすべて、司祭が記憶から式文を思い出すときに行われる。^[48]

数学やその他の精密科学がますます複雑になるにつれ、書くことと計算することの両方が必要になりました。その結果、多くの数学作品が写本に書き留められるようになり、世代から世代へとコピーされ、再コピーされるようになりました。

今日のインドには、約3000万点の写本があると推定されており、これは世界最大の手書きの読み物である。インドの科学の文字文化は少なくとも紀元前5世紀にまで遡る。当時インドに伝わったメソポタミアの予言文学や天文学の要素が、口頭で保存されていないことを示している。^[50]

最も古い数学の散文注釈は、天文学と数学に関する著作『アーリヤバティーヤ』（紀元499年執筆）に関するものである。『アーリヤバティーヤ』の数学部分は、数学的な記述や規則から成る33のスートラ（詩の形式）で構成されていたが、証明はなかった。^[51]しかし、林によると、^{[52] 「これは必ずしも著者が証明しなかったことを意味するわけではない。おそらく説明のスタイルの問題だったのだろう」。}バースカラ1世（紀元600年以降）の時代から、散文注釈には次第に導出（ウパパッティ）が含まれるようになった。バースカラ1世の『アーリヤバティーヤ』注釈は、次のような構成であった。^[51]

• アーリヤバタの詩における規則（「スートラ」）
• Bhāskara I による 解説は次の通りです。
  • ルールの解明（当時はまだ導出はまれでしたが、後に一般的になりました）
  • 例( uddeśaka ) は通常詩の中にあります。
  • 数値データの設定（nyāsa/sthāpanā ）。
  • 解決策の働き（カラナ）。
  • 答えの検証（pratyayakaraṇa、文字通り「確信させる」）。13世紀までにこれらは稀になり、導出や証明が好まれるようになった。^[51]

典型的には、古代インドの学生は数学のテーマについて、まずスートラを暗記したが、前述のように、そのスートラは（基本的な数学のルールを簡潔に伝えるために）説明の詳細が「意図的に不十分」であった^{[50] 。次に、学生は散文解説のテーマをチョークボードとダストボード（}つまり、ほこりで覆われたボード）に書き（図を描き）ながら学習した。後者の活動は数学の学習の基本であり、後に数学者で天文学者のブラフマグプタ（ 7世紀頃活躍）が天文学の計算を「ダストワーク」（サンスクリット語： dhulikarman ）と特徴付けるきっかけとなった。^[53]

現在使用されている十進法は、インドで最初に記録され、その後イスラム世界に伝わり、最終的にヨーロッパに伝わったことはよく知られています。^[54]シリアの司教セウェルス・セボクトは、西暦7世紀半ばにインド人が数字を表すために使用した「9つの記号」について書いています。^[54]しかし、最初の十進法がどのように、いつ、どこで発明されたのかは明らかではありません。^[55]

インドで使われていた現存する最古の文字は、北西部のガンダーラ文化で使われていたカローシュティー文字である。これはアラム語起源であると考えられており、紀元前4世紀から紀元後4世紀まで使われていた。ほぼ同時期に、別の文字であるブラーフミー文字がインド亜大陸の多くの地域で出現し、後に南アジアと東南アジアの多くの文字の基礎となった。どちらの文字にも数字記号と数字体系があったが、当初は位取り記数法に基づいていなかった。[ ^56]

インドと東南アジアで現存する最も古い十進法の数字の証拠は、紀元1千年紀の中頃のものである。^[57]インドのグジャラート州で発見された銅板には、紀元595年の日付が十進法で記されているが、この銅板の信憑性については疑問が残る。^[57]紀元683年を記録した十進法の数字は、インドの文化的影響が大きかったインドネシアとカンボジアの石碑にも見つかっている。^[57]

より古い文献もあるが、現存するこれらの文献の写本はずっと後の時代のものである。^[58]おそらく最も古い文献は、紀元1世紀頃の仏教哲学者ヴァスミトラの著作である。^[58]ヴァスミトラは商人の計数所について論じ、「[同じ]粘土製の計数器が単位の位置に置かれているときは、1と表記され、100のときは100と表記される」と述べている。^[58]このような言及は、彼の読者が小数点表記を知っていたことを示唆しているように思われるが、「しかしながら、その言及の短さと日付の曖昧さは、この概念の発展の年代を明確に証明するものではない」。^[58]

3 つ目の 10 進法の表現は、後にBhuta-sankhya (文字通り「物体数」) と呼ばれる、サンスクリット語の初期の専門書の著者が使用した詩の構成技法で使用されました。^[59 ]初期の専門書の多くは詩で書かれていたため、数は自然界や宗教界の対応する物体で表されることが多かったため、各数に多対一の対応が可能になり、詩の構成が容易になりました。^[59]プロフカーによると、^[60]たとえば、数字 4 は「ヴェーダ」という単語で表すことができ (この宗教文書は 4 つあったため)、数字 32 は「歯」という単語で表すことができ (完全なセットは 32 個で構成されているため)、数字 1 は「月」という単語で表すことができます (月は 1 つしかないため)。^[59]したがって、ヴェーダ/歯/月は 10 進数 1324 に対応します。これは、数字の慣例で、数字の桁を右から左に数えることになっていたためです。^[59]物体番号を用いた最も古い文献は、紀元269年頃のサンスクリット語の文献、ヤヴァナジャータカ（文字通り「ギリシャ占星術」）である。これは、失われたヘレニズム時代の占星術の著作をインドの散文で翻案したもの（紀元150年頃）である。^[61]このような使用法は、紀元3世紀半ばまでに、少なくともインドの天文学や占星術の文献の読者には、10進法の位取りシステムが一般的であったことを物語っている。^[59]

インドの十進法は、紀元前1千年紀の中ごろから中国の数え板で使われていた記号に基づいているという仮説がある。^[62]プロフカーによれば、^[60]

これらの計算盤は、インドの計算ピットと同様に、小数点以下の桁数の構造を持っていました...インド人は、これらの小数点以下の桁数「棒数字」を中国の仏教徒の巡礼者や他の旅行者から学んだ可能性があります。または、以前の非桁数システムとは独立してこの概念を開発した可能性があります。どちらの結論も確認できる文書証拠は残っていません。」^[62]

インドで現存する最古の数学写本はバクシャリ写本である。これは「仏教混血サンスクリット」^[12]のシャーラダー文字で書かれた白樺の樹皮写本であり、インド亜大陸の北西部で紀元8世紀から12世紀にかけて使われていた。^{[63]この写本は1881年に、}ペシャワール（当時はイギリス領インド、現在はパキスタン）近郊のバクシャリ村の石造りの囲いを掘っていた農民によって発見された。作者は不明で、現在はオックスフォード大学のボドリアン図書館に保管されているこの写本は、最近、紀元224年から383年と年代が付けられている。^[64]

現存する写本は70葉から成り、一部は断片となっている。その数学的内容は、詩で書かれた規則と例、および散文の解説で構成され、散文の解説には例の解答も含まれている。^[63]扱われるトピックには、算術（分数、平方根、損益、単利、3の法則、レギュラ・ファルシ）、代数（連立一次方程式と二次方程式）、等差数列などがある。さらに、幾何学の問題（不規則な立体の体積に関する問題を含む）もいくつかある。バクシャーリ写本は「ゼロに点を付ける小数位の値システムを採用している」。^[63]その問題の多くは、線形方程式のシステムにつながる「等化問題」と呼ばれるカテゴリのものである。断片III-5-3vからの1つの例を次に示します。

ある商人はアサヴァ馬を7頭、2人目の商人はハヤ馬を9頭、3人目の商人はラクダを10頭持っています。それぞれが2頭ずつ、つまり1頭ずつ他の商人に動物を与えれば、彼らの動物の価値は等しくなります。各商人が所有する動物の価格と動物の合計価値を求めてください。^[65]

例に添えられた散文的な解説では、問題を4つの未知数を持つ3つの（不確定な）方程式に変換し、価格がすべて整数であると仮定して解きます。^[65]

2017年、放射性炭素年代測定により、写本から採取された3つのサンプルが、西暦224年から383年、680年から779年、885年から993年までの3つの異なる世紀のものであることが判明しました。異なる世紀の断片がどのようにして一緒に梱包されたのかはわかっていません。^{[66] [67] [68]}

この時代はインド数学の黄金時代としてよく知られています。この時代には、アーリヤバータ、ヴァラハミヒラ、ブラフマグプタ、バースカラ1世、マハヴィーラ、バースカラ2世、サンガマグラマのマドハヴァ、ニラカンタ・ソーマヤジなどの数学者が、数学の多くの分野をより広範かつ明確に形作りました。彼らの貢献はアジア、中東、そして最終的にはヨーロッパに広がりました。ヴェーダ数学とは異なり、彼らの作品には天文学と数学の両方の貢献が含まれていました。実際、その時代の数学は「星の科学」（ジョーティシャストラ）に含まれ、数理科学（ガニタまたはタントラ）、星占い（ホラまたはジャータカ）、占い（サンヒター）の3つのサブ分野で構成されていました。^[53]この三部構成は、ヴァラーハミヒラが 6 世紀に編纂したパンカシッダンティカ^[69] (文字通りにはパンカ、「五」、シッダーンタ、「熟議の結論」、西暦 575年) に見られます。スーリヤ シッダーンタ、ロマカ シッダーンタ、パウリサ シッダーンタ、ヴァシシュタ シッダーンタという初期の 5 つの著作をまとめたものです。およびパイタマハ シッダーンタは、メソポタミア、ギリシャ、エジプト、ローマ、インドの天文学のさらに初期の作品を改作したものです。前に説明したように、本文はサンスクリット語の詩で構成され、その後に散文の解説が続きます。^[53]

スーリヤ・シッダーンタ

作者は不明だが、スーリヤ・シッダーンタ（400年頃）には現代の三角法の根源が含まれている。^[要出典]外来語を多く含むため、メソポタミアとギリシャの影響下で書かれたと考える著者もいる。^{[70] [より詳しい出典が必要]}

この古代のテキストでは、三角関数として以下のものが初めて使用されています。^{[引用が必要]}

• サイン（Jya）。
• コサイン（コジャ）。
• 逆正弦（Otkram jya）。

その後、アリヤバータなどのインドの数学者がこのテキストを参照し、その後のアラビア語とラテン語の翻訳はヨーロッパと中東に大きな影響を与えました。

チェディ暦

このチェディ暦（594）には、現在世界的に使用されている現代の位取りの ヒンドゥー・アラビア数字システムの初期の使用が含まれています。

アーリヤバータ1世

アーリヤバータ（476-550）は『アーリヤバーティヤ』を著した。彼は332のシュローカで数学の重要な基本原理を説明した。その論文には以下の内容が含まれていた。

• 二次方程式
• 三角法
• πの値は小数点以下 4 桁まで修正されます。

アリヤバータは『アーリヤ・シッダーンタ』も書きましたが、現在は失われています。アリヤバータ氏の貢献には次のようなものがあります。

三角法:

(参照:アリヤバータの正弦表)

• 三角関数を導入しました。
• 正弦 ( jya ) を、半角度と半弦の現代的な関係として定義しました。
• 余弦（コサイン）を定義しました。
• ヴァーサイン( utkrama-jya )を定義しました。
• 逆正弦 ( otkram jya ) を定義しました。
• おおよその数値を計算する方法を示しました。
• 0° から 90° までの 3.75° 間隔で、小数点以下 4 桁の精度で正弦、余弦、正弦の値を示す最も古い表が含まれています。
• 三角関数の公式 sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nxが含まれます。
• 球面三角法。

算術：

• 単純な連分数。

代数：

• 連立二次方程式の解。
• 現代の方法と同等の方法による線形方程式の整数解。
• 不定線形方程式の一般解。

数理天文学:

• 次のような天文定数の正確な計算:
  • 日食。
  • 月食。
  • 立方数の和の公式。これは積分学の発展において重要なステップであった。^[71]

ヴァラハミヒラ

ヴァラハミヒラ（505-587）はパンチャ・シッダーンタ（天文五典）を著しました。彼は三角法に重要な貢献をしました。これには小数点以下 4 桁の精度の正弦表と余弦表、および正弦関数と余弦関数に関する次の公式が含まれます。

• ${\displaystyle \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

7世紀には、インドの数学において算術（測定を含む）と代数学という2つの別々の分野が出現し始めた。この2つの分野は後にpāṭ-gaṇita（文字通り「アルゴリズムの数学」）とbīja-gaṇita（文字通り「種の数学」、この場合、方程式の解を生み出す可能性のある「種」—植物の種のように—を表す）と呼ばれるようになった。^[72] ブラフマグプタは、天文学の著作Brāhma Sphuṭa Siddhānta（628年）の中で、これらの分野に2つの章（12章と18章）を割いている。第12章は66のサンスクリット詩節から成り、「基本演算」（立方根、分数、比と比例、物々交換を含む）と「実用数学」（混合、数列、平面図形、レンガ積み、木材の製材、穀物の積み上げを含む）の2つのセクションに分かれている。^{[73]後者のセクションでは、彼は}円周四辺形の対角線に関する有名な定理を述べている。^[73]

ブラフマグプタの定理:円周四辺形の対角線が互いに垂直である場合、対角線の交点から四辺形の任意の辺に引いた垂線は、常に反対側の辺を二等分します。

第 12 章には、円周四辺形の面積の公式 (ヘロンの公式の一般化) と、有理三角形(つまり、有理数辺と有理数面積を持つ三角形) の完全な説明も含まれていました。

ブラフマグプタの公式：辺の長さがそれぞれa、b、c、dである円四辺形の面積Aは次のように表される。

${\displaystyle A={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,}$

ここでsは半周長であり、次のように与えられる。${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

有理三角形に関するブラフマグプタの定理:有理辺と有理面積を持つ三角形は次の形式になります。 ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

いくつかの有理数とに対して。^[74]${\displaystyle u,v,}$${\displaystyle w}$

第18章には、ゼロと負の数を含む算術演算の規則から始まる103のサンスクリット詩節が含まれており^[73] 、この主題の最初の体系的な扱いと考えられています。規則（およびを含む）はすべて正しいものでしたが、1つの例外がありました：^{[73]この章の後半で、彼は}二次方程式の最初の明示的な（ただしまだ完全に一般化されていない）解を与えました。 ${\displaystyle a+0=\ a}$${\displaystyle a\times 0=0}$${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ax^{2}+bx=c}$

絶対値に平方係数を4倍したものに、中間項の平方係数を加え、その平方根から中間項の係数を引いた値を平方係数の2倍で割ったものが値である。^[75]

これは次と同等です:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

また、第18章では、ブラフマグプタはペル方程式の（積分）解を見つけるのに進歩を遂げました。^[76]

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

ここで、は非平方整数である。彼は次の等式を発見することでこれを行った。^[76]${\displaystyle N}$

ブラフマグプタの恒等式：これは ディオファントス の以前の恒等式の一般化であった：^[76]ブラフマグプタは彼の恒等式を使って次の補題を証明した：^[76]${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+ x'y)^{2}}$

補題 (Brahmagupta):が の解であり、 が の解である場合、次のようになります。 ${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$${\displaystyle \\x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$${\displaystyle \\x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$の解決策である${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

次に彼はこの補題を用いて、1 つの解が与えられた場合にペル方程式の無限個の (積分) 解を生成し、次の定理を述べた。

定理（Brahmagupta）：方程式がいずれか1つに対して整数解を持つ場合、ペル方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

整数解も持つ。^[77]

ブラフマグプタは実際に定理を証明したのではなく、彼の方法を使って例題を解いた。彼が最初に示した例は次の通りである。^[76]

例 (Brahmagupta):次の整数を求めます。 ${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

ブラフマグプタは解説の中で、「この問題を1年以内に解く人は数学者である」と付け加えた。^[76]彼が示した解決策は次の通りである。

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

バスカラ1世

バスカーラ 1 世(600 年頃 - 680 年頃) は、 『マハーバスカリヤ』 、『アリヤバティヤ・バシュヤ』、『ラグー・バスカリヤ』というタイトルの著書でアリヤバータの業績を拡張しました。彼は次のものを生み出しました:

• 不定方程式の解。
• 正弦関数の有理近似。
• 表を使わずに鋭角の正弦を計算する式。小数点以下 2 桁まで正確に計算されます。

ヴィラセナ

ヴィラセナ（8世紀）は、カルナータカ州マニャケータのラーシュトラクータ王アモガヴァルシャの宮廷にいたジャイナ教の数学者である。彼はジャイナ教の数学に関する注釈書である 『ダヴァラ』を著した。

• アルダッチェダの概念、つまり数を半分にできる回数を扱い、この演算にかかわるさまざまな規則を列挙する。これは、2の累乗に適用された場合の2進対数と一致しますが、^{[78] [79]他の数では異なり、} 2進数順序に近くなります。

ヴィラセナ氏はまた、次のように述べた。

• ある種の無限手順による円錐台の体積の導出。

ダヴァラの数学的内容の多くは、クンダクンダ、シャマクンダ、トゥンブルラ、サマンタバドラ、バッパデーヴァといった、200年から600年の間に書かれた以前の著者によるものだと考えられています。^[79]

マハヴィーラ

カルナータカ出身のマハヴィーラ・アーチャリヤ（800年頃～870年）は、9世紀に生きたジャイナ教の最後の著名な数学者であり、ラーシュトラクータ朝のアモガヴァルシャ王の庇護を受けていました。彼は数値数学に関する『 Ganit Saar Sangraha』という本を書き、また幅広い数学のテーマに関する論文も書きました。これらには以下の数学が含まれます。

• ゼロ
• 正方形
• キューブ
• 平方根、立方根、そしてこれらを超える数列
• 平面幾何学
• ソリッドジオメトリ
• 影の投影に関する問題
• 円内の楕円と四角形の面積を計算するために導出された公式。

マハヴィーラはまたこうも述べています。

• 負の数の平方根は存在しないと主張した
• 等差数列の平方項となる級数の和を与え、楕円の面積と周囲の長さに関する経験則を与えた。
• 三次方程式を解きました。
• 4次方程式を解きました。
• いくつかの五次方程式と高次多項式を解きました。
• 高次多項式方程式の一般解を与えた。
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• 不定二次方程式を解きました。
• 不定三次方程式を解きました。
• 不定高次方程式を解きました。

シュリダラ

ベンガルに住んでいたシュリダラ(870 年頃 - 930 年) は、『ナブ・シャティカ』、『トリ・シャティカ』 、『パティ・ガニータ』というタイトルの本を書きました。彼はこう言いました。

• 球の体積を求めるための良い規則。
• 二次方程式を解く公式。

パティ・ガニタは算術と測定に関する著作です。次のようなさまざまな演算を扱っています。

• 基本的な操作
• 平方根と立方根を抽出します。
• 分数。
• ゼロを含む演算に与えられた 8 つの規則。
• さまざまな等差級数と幾何級数の合計の方法。これは後の研究で標準的な参照となる。

マンジュラ

アーリヤバータの方程式は10世紀にマンジュラ（ムンジャラとも呼ばれる）によって詳しく述べられ、彼は次の式^{[80]に気づいた。}

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

およそ次のように表現できる。

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

これは彼の後継者であるバースカラ2世によって詳しく解明され、正弦の微分が発見されました。^[80]

アーリヤバータ II

アリヤバータ 2 世(920 年頃 - 1000 年) は、シュリダーラの解説と天文学の論文『マハ・シッダーンタ』を書きました。 『マハ・シッダーンタ』には 18 章があり、次のことが論じられています。

• 数値数学（Ank Ganit）。
• 代数。
• 不定方程式（クッタカ）の解。

シュリパティ

シュリパティ・ミシュラ（1019年 - 1066年）は、19章からなる天文学の大著『シッダーンタ・シェカラ』と、シュリダラの著作に基づく125節からなる未完成の算術論文『ガニト・ティラカ』を著した。彼は主に以下のことに取り組んだ。

• 順列と組み合わせ。
• 同時不定線形方程式の一般解。

彼はまた、以下の20の詩からなる作品 『Dhikotidakarana』の著者でもあります。

• 日食。
• 月食。

Dhruvamanasaは、以下の 105 の詩からなる作品です。

• 惑星の経度の計算
• 日食。
• 惑星の通過。

ネミチャンドラ シッダーンタ チャクラヴァティ

Nemichandra Siddhanta Chakravati (1100 年頃) は、「 Gome-mat Saar 」というタイトルの数学論文を執筆しました。

バスカラ2世

バースカラ2世（1114-1185）は数学者であり天文学者で、シッダーンタ・シロマニ、リラヴァティ、ビジャガニタ、ゴーラ・アッダヤ、グリハ・ガニタム、カラン・カウトハルなど、数多くの重要な論文を著した。彼の著作の多くは後に中東やヨーロッパに伝えられた。彼の著作には以下のものがある 。

算術：

• 利息計算
• 等差数列と幾何級数
• 平面幾何学
• ソリッドジオメトリ
• 日時計の影
• 組み合わせの解決策
• ゼロ除算が無限大であることを証明しました。

代数：

• 2 つの平方根を持つ正の数の認識。
• 無理数。
• 複数の未知数の積を持つ演算。
• 解決策:
  • 二次方程式。
  • 三次方程式。
  • 四次方程式。
  • 複数の未知数を持つ方程式。
  • 未知数が 1 つ以上ある二次方程式。
  • チャクラヴァラ法を用いたペル方程式の一般形。
  • チャクラヴァラ法を用いた一般不定二次方程式。
  • 不定三次方程式。
  • 不定四次方程式。
  • 不定高次多項式方程式。

ジオメトリ:

• ピタゴラスの定理を証明した。

微積分:

• 差別化の予備概念
• 微分係数を発見した。
• 平均値定理（微積分学と解析学の最も重要な定理の 1 つ）の特殊なケースであるロールの定理の初期の形を述べました 。
• 微分の概念を理解していなかったにもかかわらず、正弦関数の微分を導出しました。
• πを計算し、小数点以下 5 桁まで修正します。
• 地球が太陽の周りを公転する長さを小数点第9位まで計算した。^[81]

三角法:

• 球面三角法の発展
• 三角関数の公式:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

インド哲学のナヴィヤ・ニヤーヤ学派、あるいは新論理学派は、13世紀にミティラーの哲学者ガンジシャ・ウパディヤヤによって創設されました。^[82]これは古典的なニヤーヤ学派の発展でした。ナヴィヤ・ニヤーヤに影響を与えた他の学派としては、初期の哲学者であるヴァーチャスパティ・ミシュラ（900年～980年）やウダヤナ（10世紀後半）の著作があります。

ガンゲシャの著書『タットヴァチンターマニ（現実の思考宝石）』は、ニヤーヤの思考と言語の理論に対する徹底的な批判を行ったアドヴァイタ・ヴェーダーンタの擁護書であるシュリーハルシャの『カンダナカンダカーディヤ』への応答として部分的に執筆された。 ^[83]ナヴィヤ・ニヤーヤは、論理と認識論の問題を提起、分析、解決することを可能にする洗練された言語と概念体系を開発した。それは、分析対象となる各対象に名前を付け、名前の付けられた対象の特徴を特定し、プラマナを使用して定義特性の適切性を検証することを伴う。^[84]

ケーララ学派の天文学と数学は、南インドのケーララ州でサンガマグラマのマドハヴァによって創設され、そのメンバーには、パラメーシュワラ、ニーラカンタ・ソーマヤジ、ジェシュタデーヴァ、アチュタ・ピシャラティ、メルパトゥル・ナラヤナ・バッタティリ、アチュタ・パニッカルが含まれていた。この学派は 14 世紀から 16 世紀にかけて栄え、この学派の最初の発見はナラヤナ・バッタティリ (1559–1632) で終わったようである。天文学上の問題を解決しようとして、ケーララ学派の天文学者は、独自にいくつかの重要な数学の概念を生み出した。最も重要な結果である三角関数の級数展開は、ニーラカンタのタントラサングラハという本と、作者不詳のタントラサングラハ・ヴァクヤというこの著作の注釈の中で、サンスクリット語の詩で示されている。定理は証明なしに述べられたが、正弦、余弦、逆正接の級数の証明は1世紀後にジェシュタデーヴァがマラヤーラム語で書いた著作『ユクティバーシャ』（1500年頃-1610年頃）の中で示された。^[85]

微積分学がヨーロッパでアイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによって開発される数世紀も前のことであり、これら3つの重要な級数展開の発見は偉業であった。しかし、ケーララ学派は微積分学を発明したわけではない。^[86]なぜなら、重要な三角関数のテイラー級数展開を開発することはできたものの、微分や積分の理論や微積分学の基本定理を開発しなかったからである。^[71]ケーララ学派が得た成果は以下の通りである。

• （無限）等比級数：^[87]${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• 結果の半厳密な証明（下記の「帰納法」の注釈を参照）は、nが大きい場合である。^[85]${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• 数学的帰納法の直感的な使用ではあるが、帰納的仮説は定式化されず、証明にも使用されなかった。^[85]
• 微分積分学（後にテイラー・マクローリン法）の考え方を応用して、sin x、cos x、arctan xの無限級数を求める。^[86]タントラサングラハ・ヴァキヤではこの級数を詩で表しており、数学的記法に翻訳すると次のように書ける。^[85]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

ここで、r  = 1 の場合、この級数はこれらの三角関数の標準的なべき級数に簡約されます。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

そして

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• これらの結果を証明するために、円弧の平行法（長さの計算）を使用する。（ライプニッツの後代の求積法、すなわち円弧の下の面積の計算は使用されていない。）^[85]
• の級数展開を用いてπのライプニッツ公式を得る：^[85]${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• 関心のある級数の有限和に対する誤差の有理近似。たとえば、級数の誤差（n が奇数でi = 1, 2, 3 の場合）は次のようになります。${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• 誤差項の操作により、より速く収束する級数を導出する：^[85]${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• 改良された級数を使用して有理式を導出すると、^{[85] 104348/33215は}πに対して小数点第9位まで修正され、つまり 3.141592653となる。
• これらの結果を計算するために直感的な限界の概念を使用する。^[85]
• いくつかの三角関数の微分法の半厳密な方法（上記の限界に関する注釈を参照）。^{[71]しかし、彼らは}関数の概念を定式化しておらず、指数関数や対数関数の知識も持っていませんでした。

ケーララ学派の著作は、1835年にイギリス人CMウィッシュによって初めて西洋世界向けに執筆された。ウィッシュによれば、ケーララの数学者は「完全な流数体系の基礎を築いた」とされ、これらの著作には「外国の著作には見られない流数形式や級数」が豊富に含まれていた。^[88 ]

しかし、ウィッシュの研究成果は、1世紀以上も経ってから、ケーララ学派の発見がC. ラジャゴパルとその仲間によって再び研究されるまで、ほとんど無視されていました。彼らの研究には、ユクティバーシャの逆正接級数の証明に関する2つの論文^{[89] [90] 、}ユクティバーシャの正弦および余弦級数の証明に関する解説^{[91] 、および逆正接、正弦、余弦の級数に関する}タントラサングラヴァキヤのサンスクリット語の詩句（英訳および解説付き）を提供する2つの論文^{[92] [93]}が含まれています。

パラメッシュヴァラ (1370 年頃 - 1460 年) は、バスカーラ I 世、アーリヤバータ、バスカーラ II 世の作品の解説を書きました。彼の『Lilavati Bhasya』はバスカーラ 2 世の『リラヴァティ』の解説であり、彼の重要な発見の 1 つである平均値定理のバージョンが含まれています。 Nilakantha Somayaji (1444–1544) は、Tantra Samgrahaを作曲しました(これは、後に匿名の注釈Tantrasangraha-vyakhyaと、 1501 年に書かれたYuktidipaikaという名前によるさらなる注釈を「生み出しました」)。彼はマダヴァの貢献を詳しく説明し、拡張しました。

チトラバヌ(1530 年頃) は、16 世紀のケララ州出身の数学者で、2 つの未知数を持つ 2 つの同時代数方程式の 21 種類のシステムに対して整数解を与えました。これらの種類は、次の 7 つの形式の方程式の可能なペアすべてです。

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

それぞれの場合について、チトラバヌは例とともに彼の規則の説明と正当性を与えた。彼の説明には代数的なものもあれば、幾何学的なものもあった。 ジェシュタデーヴァ(1500 年頃 - 1575 年) もケーララ学派の一員であった。彼の主要な著作はYukti-bhāṣā (ケーララの地方言語であるマラヤーラム語で書かれた) である。ジェシュタデーヴァは、マドハヴァや他のケーララ学派の数学者によって以前に発見されたほとんどの数学定理と無限級数の証明を提示した。

ナラヤナ・パンディットは 14 世紀の数学者で、算術論文「ガニタ・カウムディ」と代数論文「ビジガニタ・ヴァタムサ」という 2 つの重要な数学書を著しました。「ガニタ・カウムディ」は、与えられた数列のすべての順列を体系的に生成する方法を開発した、組み合わせ論の分野における最も革新的な著作の1 つです。 「ガニタ・カウムディ」で、ナラヤナは牛と子牛の群れに関する次の問題を提示しました。

牛は毎年 1 頭の子牛を産みます。4 年目以降、子牛は毎年初めに 1 頭の子牛を産みます。20 年後には牛と子牛は合わせて何頭になるでしょうか。

再帰列の現代数学言語に翻訳すると次のようになります。

N _n = N _n-1 + N _n-3 （ n > 2 の場合）

初期値付き

N ₀ = N ₁ = N ₂ = 1 です。

最初の数項は1、1、1、2、3、4、6、9、13、19、28、41、60、88、...（OEISのシーケンスA000930）です。連続する項間の限界比はスーパー黄金比です。ナラヤナはまた、バースカラ2世のリラヴァティの精巧な注釈であるG anita Kaumudia（またはKarma-Paddhati ）の著者であると考えられています。^[94]

近代史においてインドの数学への貢献は十分に評価されておらず、ヨーロッパ中心主義の結果として、インドの数学者による多くの発見や発明は現在、文化的に西洋の数学者の功績とみなされていると指摘されている。GG ジョセフの「民族数学」に関する見解によれば、

[彼らの研究は] 古典的なヨーロッパ中心主義の軌道について提起されたいくつかの異議を取り上げている。[インドとアラビアの数学の] 認識は、ギリシャの数学と比較してその重要性を否定する否定的な態度で和らげられがちである。他の文明、特に中国とインドからの貢献は、ギリシャの源泉からの借用者、または主流の数学の発展にわずかな貢献しかしていないと認識されている。特にインドと中国の数学の場合、最近の研究結果に対するオープンさが残念ながら欠けている」^[95]

数学史家フロリアン・カジョリは、彼と他の人々は「ディオファントスが代数学の知識を初めて垣間見たのはインドからだったと疑っている」と書いている。 ^[96]また彼は「ヒンドゥー教の数学の一部がギリシャに起源を持つことは確かだ」とも書いている。^[97]

最近では、上のセクションで述べたように、三角関数の無限級数微積分（ 17世紀後半にグレゴリー、テイラー、マクローリンによって再発見された）は、約2世紀前にインドでケーララ学派の数学者によって記述されました。一部の学者は最近、これらの結果に関する知識が、貿易商やイエズス会の宣教師によってケーララからの貿易ルートを通じてヨーロッパに伝えられた可能性があると示唆しています。^{[98]ケーララは中国や}アラビアと継続的に連絡を取り合っており、1500年頃からはヨーロッパとも連絡を取り合っていました。通信ルートが存在し、年代順が適切であるという事実は、確かにそのような伝達の可能性を示しています。しかし、伝達の証拠は見つかっていません。^[98]デビッド・ブレソウドによると、「19世紀まで、インドの級数の研究がインド外、さらにはケーララの外に知られていたという証拠はありません」。^{[86] [99]}

アラブとインドの学者は、現在では微積分学の一部とみなされている発見を17世紀以前に行いました。^[71]しかし、彼らは（ニュートンとライプニッツのように）「微分と積分という2つの統一テーマの下に多くの異なるアイデアを組み合わせ、両者の関係を示し、微積分学を今日私たちが持っている素晴らしい問題解決ツールに変えた」わけではありません。^[71]ニュートンとライプニッツの知的経歴は十分に文書化されており、彼らの研究が彼ら自身のものではないことを示すものはありません。^[71]しかし、ニュートンとライプニッツの直前の先駆者たち、特にフェルマーとロベルヴァルが、現在私たちが知らない情報源を通じてイスラムとインドの数学者のアイデアのいくつかを学んだかどうかは確実にはわかっていません。^{[71]これは現在研究が進められている分野であり、特にスペインと}マグレブの写本コレクションにおいて研究が進められており、CNRSなどでも研究が進められている。^[71]

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• インドの数学者
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• インドの数学：バランスの是正、数学史の学生プロジェクト。イアン・ピアース。MacTutor 数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学、2002 年。
• BBCのIn Our Timeでインドの数学を取り上げます
• InSIGHT 2009 は、インド チェンナイのアンナ大学のコンピュータ サイエンス学部が主催する、学童向けの伝統的なインド科学に関するワークショップです。
• R. スリダラン著『古代インドの数学』
• 古代インドにおける組み合わせ法
• S.ラマヌジャン以前の数学