移転の原則

モデル理論における転移原理は、ある言語のある構造に当てはまるすべての文は、別の構造にも当てはまるということを述べています。最初の例の 1 つは、レフシェッツ原理で、これは、複素数に当てはまる体の1 階言語の任意の文は、特性 0の任意の代数的に閉じた体にも当てはまるということを述べています。

転移原理の初期形態は、ライプニッツによって「連続性の法則」という名前で説明されました。^[1]ここでは、無限小は、知覚可能な数と「同じ」特性を持つと予想されます。転移原理は、永続性の原理の厳密な形式化と見なすこともできます。同様の傾向は、関数の連続性（Cours d'Analyse ）とディラックのデルタ関数の形式の両方を定義するために無限小を使用したコーシーにも見られます。^{[1] ：903}

1955 年、イェジー・ウォシはあらゆる超実数系に対する転移原理を証明しました。転移原理の最も一般的な使用例は、 アブラハム・ロビンソンの超実数の非標準解析です。この解析では、転移原理は、ある形式言語で表現可能で実数に当てはまる文は超実数にも当てはまると述べています。

転移原理は、実数Rの特性と、超実数と呼ばれる * Rで表されるより大きな体の特性との間の論理関係に関するものです。体 * Rには特に無限小数 (「無限に小さい」) が含まれており、ライプニッツが始めたプロジェクトの厳密な数学的実現を提供します。

そのアイデアは、 R上の解析を適切な数理論理学の言語で表現し、この言語が * Rにも同様に当てはまることを指摘することです。集合論レベルでは、そのような言語の命題はすべての集合ではなく内部集合にのみ適用されると解釈されるため、これが可能であることがわかります。ロビンソンが述べたように、 [理論]の文はヘンキンの意味で* Rで解釈されます。 ^[2]

R上で有効な各命題は* R上でも有効であるという定理を転移原理と呼びます。

使用されている非標準数学のモデルに応じて、転移原理にはいくつかの異なるバージョンがあります。モデル理論の観点から、転移原理は、標準モデルから非標準モデルへのマップは基本埋め込み（言語内のすべてのステートメントの真理値を保存する埋め込み）、または場合によっては境界付き基本埋め込み（類似していますが、境界付き量指定子を持つステートメントのみ）であると述べています。^{[説明が必要]}

転送原理は、正しく扱われないと矛盾を生じるようです。たとえば、超実数は非アルキメデスの 順序体を形成し、実数はアルキメデスの順序体を形成するため、アルキメデスの性質 (「すべての正の実数は、ある正の整数に対してより大きい」) は、一見すると転送原理を満たしていないように見えます。「すべての正の超実数は、ある正の整数に対してより大きい」という記述は誤りですが、正しい解釈は「すべての正の超実数は、ある正の超整数に対して より大きい」です。言い換えると、超実数は、非標準の宇宙に住む内部の観察者にはアルキメデスのように見えますが、宇宙の外部の観察者には非アルキメデスのように見えます。 ${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$

転移原理を初級レベルで分かりやすく定式化したものが、Keisler の著書「Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach」です。

すべての実数は不等式を満たします 。ここ では整数部関数です。転送原理の典型的な応用により、すべての超実数は不等式を満たします 。 ここで は整数部関数の自然な拡張です。が無限大の場合、超整数も無限大です。 ${\displaystyle x}$$${\displaystyle x\geq \lfloor x\rfloor ,}$$${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,}$$${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor x\rfloor }$

歴史的に、数の概念は繰り返し一般化されてきた。自然数に0を加えることは、当時としては大きな知的成果であった。負の整数を に加えることは、すでに直接的な経験の領域から数学的モデルの領域への出発を構成していた。さらに拡張された有理数は、その完成よりも一般人にとって馴染み深い。その理由の 1 つは、実数が で表されるものとは異なる物理的現実 (測定と計算の意味で) に対応していないためである。したがって、無理数の概念は、最も強力な浮動小数点コンピュータにとっても意味をなさない。このような拡張の必要性は、物理的観察からではなく、数学的一貫性の内部要件から生じる。無限小数が数学的議論に登場したのは、当時の数学的発展、すなわち無限小計算として知られるようになったものの出現によって、そのような概念が必要とされた時期であった。すでに上で述べたように、この最新の拡張の数学的正当性は 3 世紀遅れて現れた。Keisler は次のように書いている。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

「実線について議論する中で、物理空間の線が実際にどのようなものかを知るすべはない、と指摘しました。それは超実線に似ているかもしれないし、実線に似ているかもしれないし、あるいはどちらでもないかもしれません。しかし、微積分の応用においては、物理空間の線を超実線として想像すると役に立ちます。」

基本的な算術 (自然数、加算、乗算、比較) を使用し、実数についてのみ量化するすべての真の一階述語論理ステートメントは、超実数について量化すると仮定した場合に再解釈された形式で真であると仮定すれば、超実数の自己矛盾のない展開が可能になることが判明しました。たとえば、すべての実数に対して、それよりも大きい別の数が存在すると述べることができます。

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

同じことは超実数にも当てはまります。

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

もう 1 つの例は、ある数値に 1 を加えると、より大きな数値が得られるという記述です。

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

これは超実数にも当てはまります:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

これらの同値性を定式化する正しい一般的なステートメントは、転送原理と呼ばれます。解析の多くの式では、量化は関数や集合などの高階オブジェクトに対して行われるため、転送原理は上記の例が示唆するよりもやや微妙になることに注意してください。

しかし、転移原理はRと* Rが同一の動作をすることを意味するわけではない。例えば、* Rにはωという 元が存在し、

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

しかし、 Rにはそのような数は存在しません。この数が存在しないことは、上記のような第一階述語として表現できないため、このようになります。ωのような超実数は無限に大きい数と呼ばれ、無限に大きい数の逆数は無限小数と呼ばれます。

超実数 * R は、実数R を部分体として含む順序体を形成します。実数とは異なり、超実数は標準的な距離空間を形成しませんが、その順序により順序位相を持ちます。

超実数は、公理的にも、より構成的な方法によっても展開できる。公理的アプローチの本質は、(1) 少なくとも 1 つの無限小数の存在と、(2) 転送原理の妥当性を主張することである。次のサブセクションでは、より構成的なアプローチの詳細な概要を示す。この方法では、超フィルタと呼ばれる集合論的オブジェクトが与えられた場合に超実数を構築できるが、超フィルタ自体は明示的に構築できない。Vladimir Kanoveiと Shelah ^[3]は、実数とその上のすべての有限関係からなる構造の定義可能で可算飽和な基本拡張の構築を示している。

最も一般的な形式では、転送は構造間の境界付き基本埋め込みです。

非標準実数の順序体 ^* Rは実体R を適切に含みます。 R を適切に含むすべての順序体と同様に、この体は非アルキメデス的です。これは、 ^* Rの一部の要素x  ≠ 0が無限小であることを意味します。つまり、

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.}$

Rの唯一の無限小は0 です。 ^* Rの他の要素、つまり非ゼロの無限小の逆数y は無限大です。つまり、

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.}$

体^* Rの基底集合は、 Rの部分集合Aから^* Rの部分集合への写像A  ↦  ^* AによるRの像である。すべての場合において、

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

が成り立つのは、 Aが有限である場合に限ります。ある集合に対して^* A の形をとる集合は、^* Rの標準部分集合と呼ばれます。標準集合は、内部集合と呼ばれる、 ^* Rのより大きな部分集合のクラスに属します。同様に、各関数 ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

関数に拡張する

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

これらは標準関数と呼ばれ、内部関数のより大きなクラスに属します。内部でないセットと関数は外部関数です。

これらの概念の重要性は、次の命題における役割に由来し、それに続く例によって説明されます。

移転の原則:

• ^* Rが真である命題が、有限個の変数の関数（例： ( x ,  y ) ↦  x  +  y）、有限個の変数間の関係（例：x  ≤  y ）、 and、or、not、if...then...などの有限論理接続詞、および量指定子によって表現できると仮定する。

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

例えば、そのような命題の一つは

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

このような命題がRで真であるのは、量^指定子

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

置き換える

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

についても同様です。${\displaystyle \exists }$

• 上で検討した命題と同じように単純に表現できる命題が、特定の集合に言及しているとします。そのような命題がRで真となるのは、各「A」を対応する^* Aに置き換えた^* Rで真となる場合のみです。次に 2 つの例を示します。${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

• セット

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

でなければなりません

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

0から1までの間のRの要素だけでなく、0から1までの間のRの要素のうち、それらと無限小だけ異なる要素も含む^。これを確認するには、次の文に注目してください。

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

Rでは真であり、転送原理を適用します。

• 集合^* N は^* Rに上限を持たない（ RにNの上限が存在しないことを示す文は、転移原理を適用できるほど単純であるため）集合* N がnを含む場合はn  + 1 も含むが、 nとn  + 1 の間には何も含まない。

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

は「無限の整数」です。

• 上で検討した命題と同様に単純に表現できる命題に、量指定子が含まれていると仮定する。

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

このような命題がRで真であるのは、上記の変更と量指定子の置き換えを行った後に ^* Rで真である場合に限ります。

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

そして

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

超実数転移原理の適切な設定は、内部実体の世界です。したがって、転移による自然数の整列特性により、 のすべての内部サブセットには最小の要素があるという事実がもたらされます。このセクションでは、内部セットについてさらに詳しく説明します。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

• ^* Rに上限を持つ^* Rの空でない内部部分集合はすべて、 ^* Rに最小の上限を持ちます。したがって、すべての無限小集合は外部集合です。
  • 整列原理は、^* Nの空でない内部部分集合には必ず最小の要素が存在することを意味している。したがって、集合

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

すべての無限整数は外部にあります。

• n が無限の整数である場合、集合 {1, ...,  n } (標準ではない) は内部でなければなりません。これを証明するには、まず次のことが自明であることを確認します。

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

その結果

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• 内部セットと同様に、内部関数も同様です。

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

と

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

伝達原理を適用する場合、の代わりにを適用する場合も同様です。${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \forall }$

たとえば、n が無限の整数である場合、任意の内部1 対 1 関数 ƒの無限集合 {1, ...,  n } から {1, ...,  n ,  n  + 1,  n  + 2,  n  + 3} への像の補集合は、変換原理により、正確に 3 つの要素を持ちます。定義域が無限であるため、前者の集合から後者の集合への 1 対 1 関数の像の補集合はさまざまなサイズになりますが、これらの関数のほとんどは外部関数です。

この最後の例は、重要な定義の根拠となります。^* Rの*-有限(スター-有限と発音) 部分集合は、何らかのn  ∈  ^* Nに対して {1, ..., n }と内部的に1 対 1 対応 させることができる部分集合です。

• 初等微積分学：無限小アプローチ
• 永続性の原則
• 代数の一般性

• チャン、チェン・チュン;キースラー、H. ジェローム(1990) [1973]、モデル理論、論理学と数学の基礎研究 (第 3 版)、エルゼビア、ISBN 978-0-444-88054-3
• ハーディ、マイケル：「スケールされたブール代数」。 応用数学に関する上級研究29 (2002)、第 2 号、243–292 ページ。
• カノベイ、ウラジミール;シェラ、サハロン(2004)、「実数の定義可能な非標準モデル」、Journal of Symbolic Logic、69 : 159–164、arXiv : math/0311165、doi :10.2178/jsl/1080938834、S2CID  15104702
• Keisler, H. Jerome (2000)。「初等微積分学: 無限小アプローチ」
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994]、「転移原理」、数学百科事典、EMS Press
• Łoś、Jerzy (1955) Quelques remarques、théorèmes および problèmes sur les class definissables d'algebres。形式システムの数学的解釈、98 ～ 113 ページ。北オランダ出版社、アムステルダム。
• ロビンソン、アブラハム（1996）、非標準分析、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-04490-3、MR  0205854