実閉場

数学において、実閉体とは体である。${\displaystyle F}$実数体と同じ一階性質を持つ。（一階性質とは、論理記号で表現できる性質のことである。）${\displaystyle \forall ,\exists ,\vee ,\land ,\neg ,\to }$算術記号${\displaystyle 0,1,+,-,\times ,\div ,=}$ここで、すべての量化子の定義域は集合である。${\displaystyle F}$;したがって、自然数、部分集合を定量化することは許可されていません${\displaystyle F}$、配列${\displaystyle F}$関数${\displaystyle F\to F}$（など）実閉体の例としては、実数体そのもの、実代数体、無限小を含む超実数体などがあります。代数学では、実数に関する定理のほとんどは、任意の実閉体に対して定式化しても成り立ちます。

実閉体とは、以下のいずれかの同値条件が成り立つ体Fのことである。

1. Fは、実数体と本質的に同等である。言い換えれば、Fは実数体と同じ一階述語論理の性質を持つ。すなわち、一階述語論理における任意の文は、実数体において真である場合に限り、Fにおいても真となる。
2. Fには全順序が存在し、F を順序体に変え、この順序付けにおいて、Fのすべての正の要素はFに平方根を持ち、Fの係数を持つ奇数次の多項式はFに少なくとも 1 つの根を持つ。
3. Fには全順序が存在し、F を順序体に変え、この順序付けにおいて、 Fの係数を持つすべての多項式に対して中間値の定理が成り立つ。
4. Fは形式的に実体であり(つまり、 F上に全順序が存在してF を順序体に変えることができる)、係数がFに含まれる奇数次の多項式はすべてFに少なくとも 1 つの根を持ち、Fのすべての要素aに対して、 a = b ²またはa = − b ²となるようなFのbが存在する。
5. Fは代数的に閉じていないが、その代数的閉包はFの有限拡大である。
6. Fは代数的に閉じていないが、体拡大は${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$代数的に閉じている。
7. F上には、 Fの適切な代数的拡大上の順序には拡張されない順序が存在する。
8. Fは形式的に実体であり、Fの真の代数的拡大は形式的に実体ではない。（言い換えれば、Fは形式的に実体であるという性質に関して、代数的閉包において極大である。）
9. Fは弱 o-最小順序体である。^{[ 1 ]}

以下のフィールドは真の閉フィールドであり、これは上記のプロパティ2を検証することで示すことができます。

• 実代数的数の体；
• 計算可能な実数の領域。
• 定義可能な実数の領域。
• 実数体；
• 実数係数を持つピュイズー級数の体。
• レヴィ＝チヴィタ分野；
• 超実数体；
• 超実数体；
• 超現実数の領域（これは集合ではなく、真のクラスです）。

F が順序体である場合、アルティン・シュライアーの定理によれば、F は代数的拡大体、すなわちFの実閉包Kを持ち、 Kは実閉体であり、その順序はF上の与えられた順序の拡大体であり、F上で同一の体による一意の同型を除いて一意である^{[ 2 ]} (実閉体間のすべての環準同型は自動的に順序保存的であることに注意。なぜなら、 x ≤ y は∃ z : y = x + z ²が存在する場合に限るからである)。例えば、有理数の順序体の実閉包は体である。       ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$実代数的数の定理。この定理は、1926年にそれを証明したエミール・アルティンとオットー・シュライアーにちなんで名付けられました。

( F , P ) が順序体であり、EがFのガロア拡大である場合、ツォルンの補題により、 Fを含むEの部分体Mと、 Pを拡張するM の順序を持​​つ最大順序体拡大 ( M , Q )が存在する。このMとその順序Qは、 Eにおける ( F , P )の相対実閉包と呼ばれる。MがFそのものである場合、 ( F , P )はEに対して実閉包であると言う。E が F の代数的閉包である場合、EにおけるFの相対実閉包は、先に述べたFの実閉包に実際に一致する。^{[ 3 ]}

Fが体 (順序付きでも順序付け可能でもない) である場合、 F は実閉包を持ち、それはもはや体ではなく、単なる実閉環となる可能性があります。例えば、体の実閉包は次のようになります。$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$指輪は${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$（2 つのコピーは、$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$) 一方、$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$は、${\displaystyle \mathbb {R} }$真の閉鎖は再びフィールドである${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$。

実際の閉鎖場の言語${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$加算と乗算の演算、定数 0 と 1、順序関係≤ (論理記号とみなされない場合は等号も含む) の記号が含まれます。この言語では、実閉体の (一階) 理論、${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$は、以下の公理から導かれるすべての文から構成される。

• 順序体の公理；
• すべての正の数は平方根を持つという公理。
• すべての奇数${\displaystyle d}$次数 の多項式はすべて次の公理を満たすという公理${\displaystyle d}$少なくとも1つの根を持つ。

これらの公理はすべて一階述語論理で表現できます（つまり、量化は体の要素のみを対象とします）。${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$これは、実数体に関して真であるすべての一階述語論理式の集合です。

タルスキは、${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$は完全であり、つまり、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$上記の公理から、この文は真偽どちらとも証明できる。さらに、${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$は決定可能である、つまり、そのような文の真偽を判定するアルゴリズムが存在する。これは量化子除去を示すことによって行われた。すなわち、任意の文が与えられた場合、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$-自由変数を含む可能性のある式は、同じ自由変数を持つ同等の量化子なし式を生成します。ここで同等とは、 2 つの式が変数のまったく同じ値に対して真であることを意味します。タルスキの証明は、シュトゥルムの定理の一般化を使用しています。自由変数のない量化子なし式の真偽は簡単にチェックできるため、これにより望ましい判定手順が得られます。これらの結果は1930年頃に得られ、1948 年に発表されました。^{[ 4 ]}

タルスキー・ザイデンベルクの定理は、この結果を次の射影定理に拡張します。R が実閉体である場合、 n 個の自由変数を持つ式は、R ⁿの部分集合、すなわちその式を満たす点の集合を定義します。このような部分集合は半代数集合と呼ばれます。k 個の変数からなる部分集合が与えられたとき、 R n^からR k^への射影は、 n個のタプルを、その変数部分集合に対応するk個の成分のタプルに写像する関数です。射影定理は、半代数集合の射影は半代数集合であり、半代数集合を定義する量化子なしの式が与えられたときに、その射影の量化子なしの式を生成するアルゴリズムが存在すると主張します。

実際、射影定理は量化子消去と同等であり、式p ( x , y )で定義される半代数集合の射影は次のように定義される。

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

ここで、xとyはそれぞれ、削除された変数の集合と、保持された変数の集合を表す。

実数の一次理論の決定可能性は、考慮される基本演算と関数（ここでは加算と乗算）に大きく依存します。例えば、正弦関数や指数関数などの他の関数記号を追加すると、決定不可能な理論になる可能性があります。リチャードソンの定理と実数の一次理論の決定可能性を参照してください。

さらに、実数の1階理論（加算と乗算を使用）の完全性と決定可能性は、自然数の1階理論（加算と乗算を使用）の不完全性と決定不能性に関するゲーデルとチューリングの結果とは著しく対照的である。矛盾はない。なぜなら、「 xは整数である」という命題は、言語において1階論理式として定式化できないからである。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$。

任意の実閉体は、ただ一つの方法で順序体に変換できる。それは、正の要素が非零要素の二乗と一致する場合である。

実数の極めて重要な性質の一つは、アルキメデス体であるということです。つまり、任意の実数に対して、絶対値がそれよりも大きい整数が存在するというアルキメデス性を持つということです。ただし、この性質は、順序体の1階言語では表現できません。なぜなら、その言語では整数を量化することができないからです。

非アルキメデス的な実閉体が存在する。例えば、超実数体はすべて実閉体であり、かつ非アルキメデス的である。これらの体には、無限大（任意の整数よりも大きい）および無限小（正の値であるが、任意の正の有理数よりも小さい）の要素が含まれる。

アルキメデス性は共終性の概念と関連しています。順序集合Fに含まれる集合Xは、 Fのすべてのyに対して、 y < xとなるようなXのxが存在する場合、 Fにおいて共終性を持つと言います。言い換えれば、XはFにおいて無限列です。F の共終性とは、最小の共終性集合の濃度、つまり無限列を与える最小の濃度の大きさです。例えば、自然数は実数において共終性を持つため、実数の共終性は$\displaystyle \aleph _{0}}$。

したがって、実閉体Fの性質を定義する以下の不変量が得られます。

• Fの濃度。
• Fの共終結性。

これに加えて、

• Fの重みは、 Fの密な部分集合の最小サイズです。

これら3つの基数は、任意の実閉体の位数特性について多くのことを教えてくれますが、特に一般化連続体仮説を援用しない場合は、それらが何であるかを突き止めるのは難しいかもしれません。また、成り立つ場合と成り立たない場合がある特定の特性もあります。

• 体Fが完全であるとは、 F を真に含む順序体Kが存在しず、 FがKにおいて稠密である場合をいう。F の共終性が κ である場合、これはκで添え字付けられたコーシー列がFにおいて収束することと同値である。
• 順序体F は、順序数αに対して、任意の 2 つの部分集合LとUの濃度が 1 未満の場合、 η _αというイータ集合特性を持つ。$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$Lのすべての要素がUのすべての要素より小さい場合、 Fには、 Lのすべての要素より大きく、Uのすべての要素より小さい要素xが存在する。これは、飽和モデルであるというモデル理論的性質と密接に関係している。任意の 2 つの実閉体は、η _αであるのは、それらが次の条件を満たす場合のみである。$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$-飽和しており、さらに2つのηα_実閉体（両方とも濃度）$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$順序が同型である。

一般化連続体仮説を仮定すれば、実閉体の特性ははるかに単純になる。連続体仮説が成り立つ場合、連続体の濃度を持ち、 η _{1 の}性質を持つすべての実閉体は順序同型である。この唯一の体Ϝ は、超冪を用いて次のように定義できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$ここで、Mは、に順序同型な体にならない極大イデアルである。${\displaystyle \mathbb {R} }$これは非標準解析で最も一般的に使用される超実数体であり、その一意性は連続体仮説と同等である。（連続体仮説がなくても、連続体の濃度が ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$すると、サイズのη _β場が一意に定まります。${\displaystyle \aleph _{\beta }}$）

さらに、 Ϝ を構成するために超冪は必要なく、可算個の非零項を持つ級数の部分体として、より構成的に構成することができる。${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$完全順序アーベル可除群G上の形式的冪級数の、濃度η ₁の群$\displaystyle \aleph _{1}}$（アリン 1962 ）。

しかし、 Ϝは完備体ではありません。完備化を行うと、より大きな濃度を持つ体Κが得られます。Ϝは連続体の濃度を持ち、仮定により、$\displaystyle \aleph _{1}}$、Kの濃度は$\displaystyle \aleph _{2}}$、そしてϜを稠密部分体として含む。これは超冪体ではないが、超実数体であり、したがって非標準解析の用途に適した体である。これは実数の高次元版と見なすことができ、濃度はである。$\displaystyle \aleph _{2}}$の代わりに$\displaystyle \aleph _{1}}$共終性$\displaystyle \aleph _{1}}$の代わりに$\displaystyle \aleph _{0}}$、そして重量$\displaystyle \aleph _{1}}$の代わりに$\displaystyle \aleph _{0}}$η _{0 の}性質の代わりにη _{1 の}性質が用いられています(これは単に、任意の 2 つの実数の間に別の実数が存在することを意味します)。

タルスキの公理は、ユークリッド幾何学の一次（「初等」）部分の公理系である。これらの公理を用いると、直線上の点が実閉体 R を形成すること、およびユークリッド平面が R ²と同一視されるような座標を導入できることが示される。タルスキは、実閉体の理論の決定可能性を利用して、ユークリッド幾何学の初等理論が完全かつ決定可能であることを証明した。^{[ 4 ]}

• ユークリッド順序体
• p進的に閉じた体
• 実閉環

• 実代数幾何学および解析幾何学プレプリントサーバー
• モデル理論プレプリントサーバー