数えられない集合

数学において、非可算集合とは、非公式には、要素数が多すぎて数えられない無限集合のことである。集合の非可算性は、その基数と密接に関係している。集合の基数が自然数の濃度であるアレフ・ヌルよりも大きい場合、その集合は非可算集合となる。

数えられない集合の例としては、集合⁠ があります。${\displaystyle \mathbb {R} }$すべての実数の集合と、自然数のすべての部分集合の集合。

非可算性には多くの同義的な特徴付けが存在する。集合Xが非可算であるのは、以下のいずれかの条件が満たされる場合に限る。

• Xから自然数の集合への単射関数（したがって全単射）は存在しない。
• Xは空集合ではなく、 Xの要素の任意のω列に対して、それに含まれないXの要素が少なくとも1つ存在する。つまり、Xは空集合ではなく、自然数からXへの全射関数は存在しない。
• Xの濃度は有限でも等しくもない$\displaystyle \aleph _{0}}$(アレフヌル)
• 集合Xの濃度は厳密に以下より大きい$\displaystyle \aleph _{0}}$。

これらの特徴付けのうち最初の３つは、選択公理を用いなくてもツェルメロ＝フレンケル集合論において同等であることが証明できるが、３番目と４番目の同等性は、追加の選択原理を用いなければ証明できない。

非可算集合Xが集合Yの部分集合であるならば、Yは非可算集合である。

数えられない集合の最もよく知られた例は、集合 です。${\displaystyle \mathbb {R} }$すべての実数の集合。カントールの対角線論法によれば、この集合は非可算集合である。対角線論法は、自然数の無限列の集合など、他のいくつかの集合が非可算集合であることを示すためにも使用できる。${\displaystyle \mathbb {N} }$（ OEISのシーケンスA102288を参照）、および自然数の集合のすべての部分集合の集合。の濃度${\displaystyle \mathbb {R} }$はしばしば連続体の濃度と呼ばれ、で表されます。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$、 または${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$^{[ 1 ]}または$\displaystyle \beth _{1}}$（ベスワン）

カントール集合は、の非可算部分集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$カントール集合はフラクタルであり、ハウスドルフ次元はゼロより大きく1より小さい（${\displaystyle \mathbb {R} }$は次元が1である）。これは次の事実の例である。 の任意の部分集合は${\displaystyle \mathbb {R} }$ハウスドルフ次元が厳密にゼロより大きいものは、非可算でなければならない。

非可算集合のもう1つの例は、すべての関数の集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠から⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠。この集合は、 ⁠よりもさらに「数えきれない」ものです。${\displaystyle \mathbb {R} }$この集合の濃度が$\displaystyle \beth _{2}}$（ベス2）は、$\displaystyle \beth _{1}}$。

非可算集合のより抽象的な例としては、すべての可算順序数の集合があり、Ω または ω ₁と表記されます。^{[ 2 ]} Ω の濃度は次のように表記されます。$\displaystyle \aleph _{1}}$（アレフワン）。選択公理を用いると、$\displaystyle \aleph _{1}}$は最小の不可算基数です。したがって、$\displaystyle \beth _{1}}$実数の濃度は、$\displaystyle \aleph _{1}}$あるいは厳密にはより大きい。ゲオルク・カントールは、$\displaystyle \beth _{1}}$に等しい$\displaystyle \aleph _{1}}$1900年、デイヴィッド・ヒルベルトは、 23の難問の最初の問題としてこの問題を提起した。$\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$これは現在では連続体仮説と呼ばれており、集合論のツェルメロ・フレンケル公理​​（選択公理を含む）とは独立していることが知られています。

選択公理がなければ、比較できない濃度が存在するかもしれない。$\displaystyle \aleph _{0}}$（すなわち、デデキント有限無限集合の濃度）。これらの濃度の集合は、上記の最初の3つの特徴付けを満たしますが、4番目の特徴付けは満たしません。これらの集合は濃度の意味で自然数よりも大きくないため、非可算集合とは呼ばない方が良いと考える人もいるかもしれません。

選択公理が成り立つ場合、基数に関する以下の条件${\displaystyle \kappa }$同等です。

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$そして
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$、 どこ${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$そして$\displaystyle \omega _{1}}$最小の序数より大きい${\displaystyle \omega .}$

しかし、選択公理が成り立たない場合、これらはすべて異なる可能性があります。したがって、公理が成り立たない場合、「不可算性」の適切な一般化がどれであるかは明らかではありません。この場合、この言葉の使用を避け、どれを意味しているのかを明示するのが最善でしょう。

• アレフ番号
• ベス番号
• 最初の不可算序数
• 単射関数

• ハルモス、ポール、『素朴集合論』。プリンストン、ニュージャージー州：D.ヴァン・ノストランド社、1960年。シュプリンガー・フェルラーク社、ニューヨーク、1974年に復刻。ISBN 0-387-90092-6（シュプリンガー・フェルラーク版）。マルティーノ・ファイン・ブックスより2011年に復刻。ISBN 978-1-61427-131-4（ペーパーバック版）
• Jech, Thomas (2002), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium  ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

• Rが非可算であることの証明