超実数

抽象代数学において、超実数は実数の拡張の一種であり、H. ガース・デールズとW. ヒュー・ウッディンによって超実数の一般化として導入され、主に非標準解析、モデル理論、バナッハ環の研究において重要視されている。超実数体自体は、超実数体の部分体である。

デールズとウッディンの超実数は、実数上の形式的冪級数の辞書式順序付けされた分数であるデイビッド・O・トールの超実数とは異なる。 ^{[ 1 ]}

Xをチコノフ空間とし、C( X ) をX上の連続実数値関数の代数とする。PをC( X ) の素イデアルとする。このとき、因子代数A = C( X )/ Pは定義により実代数である整域であり、全順序であることが分かる。Aの分数体Fは、 F が厳密に実数のみを含む場合、超実数体である。${\displaystyle \mathbb {R} }$したがって、Fは順序同型ではない${\displaystyle \mathbb {R} }$。

素イデアルPが極大イデアルである場合、Fは超実数体である（ロビンソンの超実数は非常に特殊な場合である）。

• Dales, H. Garth; Woodin, W. Hugh (1996)、『超実数体』、ロンドン数学会モノグラフ、新シリーズ、第14巻 、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853991-9MR 1420859​ 
• ギルマン、L.、ジェリソン、M. (1960)、『連続関数の環』、ヴァン・ノストランド、ISBN 978-0442026912{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）