商

算術において、商（ラテン語：quotiens「何回」から、/ ˈ k w oʊ ʃ ən t /と発音）は、 2つの数を割った結果得られる量である。 ^{[1]商は数学全体で広く使用されている。商には、除算の整数部分（}ユークリッド除算の場合）^[2]、または分数または比（一般除算の場合）の2つの定義がある。たとえば、20（被除数）を3（除数）で割ると、最初の意味では商は6（余り2）であり、 2番目の意味では（循環小数）である。 ${\displaystyle 6{\tfrac {2}{3}}=6.66...}$

計量学（国際数量体系および国際単位系）において、「商」は物理量の測定単位に関する一般的なケースを指す。^{[3] [4] [5]}比は、同じ種類の2つの量の無次元商の特別なケースである。^{[3] [6]} 自明でない次元と複合単位を持つ商、特に除数が期間（たとえば「毎秒」）である場合は、比率と呼ばれる。^[7] たとえば、密度（質量を体積で割った値、単位はkg/m ³）は「商」と呼ばれ、質量分率（質量を質量で割った値、単位はkg/kgまたはパーセント）は「比」である。^[8]比量は、物理量を質量、体積、またはシステムの「サイズ」の他の尺度で割った結果生じる強度量である。 ^[3]

商は、水平線で割った 2 つの数値または 2 つの変数として最もよく使用されます。「被除数」と「除数」はそれぞれの部分を指し、「商」は全体を指します。

$${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\quad {\begin{aligned}&\leftarrow {\text{dividend or numerator}}\\&\leftarrow {\text{divisor or denominator}}\end{aligned}}{\Biggr \}}\leftarrow {\text{quotient}}}$$

商は、あまり一般的ではありませんが、被除数から除数を引いても余りがマイナスにならない最大の整数回数として定義されます。たとえば、被除数 20 から除数 3 を引いても余りがマイナスにならない回数は 6 回までです。

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≧ 0、

その間

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0。

この意味で、商とは2つの数値の比の整数部分である。 ^[9]

有理数は、 2 つの整数の商として定義できます(分母がゼロでない場合)。

より詳細な定義は次の通りである: ^[10]

実数r は、分母が 0 でない 2 つの整数の商として表せる場合にのみ、有理数です。有理数でない実数は無理数です。

あるいはもっと正式には:

実数rが与えられたとき、かつ となる整数aとb が存在する場合のみ、rは有理数です。 ${\displaystyle r={\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle b\neq 0}$

無理数（2つの整数の商ではない数）の存在は、正方形の対角線と辺の比など幾何学において初めて発見されました。^[11]

算術以外では、数学の多くの分野で「商」という言葉が借用され、大きな構造を断片に分割して構築された構造を説明しています。同値関係が定義された集合が与えられた場合、それらの同値類を要素として含む「商集合」を作成できます。商群は、グループをいくつかの類似した剰余類に分割することによって形成され、商空間は、ベクトル空間をいくつかの類似した線形部分空間に分割することによって同様のプロセスで形成されます。

• 積（数学）
• 商カテゴリ
• 商グラフ
• 整数除算
• 商モジュール
• 商オブジェクト
• 形式言語の商、左商と右商ともいう
• 商環
• 商集合
• 商空間（位相）
• 商型
• 引用と分割

• ウィキメディア・コモンズの商に関連するメディア