累乗

b n
表記
底b、指数n

数学において、指数は2 つの数、つまり底と指数またはべき乗を伴う演算です。指数はb ⁿと表記され、bは底、nはべき乗です。よく「bのn乗」とも呼ばれます。^[1] nが正の整数の場合、指数は底の繰り返し乗算に相当します。つまり、b ^{n は}n個の底を乗算した積です。^[1]特に、. $${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$${\displaystyle b^{1}=b}$

指数は通常、b ^{n の}ように底の右側に上付き文字で示されるか、コンピュータコードでは b^n として示され、「bのn乗」、「bのn乗」、「bのn乗」^[2] 、または最も簡単に「bのn乗」と呼ばれることもあります。

上記の定義は、いくつかの性質、特に乗法規則を直ちに意味する: ^{[nb 1]}${\displaystyle b^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n}\times b^{m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\ =\ b^{n+m}.\end{aligned}}}$$

つまり、ある底をあるべき乗したものに同じ底を別のべき乗したものを掛けると、べき乗が加算されます。この規則をゼロのべき乗に拡張すると となり、両辺を で割ると となります。つまり、乗法規則から定義が導かれます。同様の議論から、負の整数のべき乗の定義も導かれます。つまり、乗法規則を拡張すると となります。両辺を で割ると となります。また、分数のべき乗の定義も導かれます。たとえば、 はを意味し、これは平方根の定義です。 ${\displaystyle b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}$$${\displaystyle b^{0}=1.}$$$${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n}.}$$${\displaystyle b^{-n}\times b^{n}=b^{-n+n}=b^{0}=1}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n}}$$${\displaystyle b^{n/m}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}.}$$${\displaystyle b^{1/2}\times b^{1/2}=b^{1/2\,+\,1/2}=b^{1}=b}$${\displaystyle (b^{1/2})^{2}=b}$${\displaystyle b^{1/2}={\sqrt {b}}}$

指数の定義は、自然な方法で（乗法規則を維持しながら）拡張して、任意の正の実数の底と任意の実数指数を定義することができます。より複雑な定義では、複素数の底と指数、および特定の種類の行列を底や指数として 使用できます。${\displaystyle b^{x}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$

指数法は、経済学、生物学、化学、物理学、コンピューターサイエンスなど多くの分野で広く使用されており、複利、人口増加、化学反応速度論、波動の挙動、公開鍵暗号化などに応用されています。

指数という用語は、ラテン語の exponereの現在分詞であるexponentemに由来し、「出す」という意味です。^[3]パワー（ラテン語：potentia、potestas、dignitas）という用語は、ギリシャの数学者ユークリッドが直線の二乗を表すために使用した古代ギリシャ語δύναμις（dúnamis、ここでは「増幅」 [ ^{4 ]} ）の誤訳です^。[6]キオス島のヒポクラテスに倣っています。^[7]

『砂の計算者』でアルキメデスは10の累乗を操作するために必要な指数法則10 ^a · 10 ^b = 10 ^{a + b}を証明した。^{[8]そして彼は}10の累乗を使って宇宙に含まれる砂粒の数を推定した。

9世紀、ペルシャの数学者アル＝フワーリズミーは、正方形をمَال ( māl、「所有物」、「財産」) と呼び、「当時やそれ以前の時代の大半の数学者と同様、平方数は面積、特に土地、したがって財産を表すものと考えていた」^{[9]。また、}立方体をكَعْبَة ( Kaʿbah、「立方体」) と呼び、後のイスラムの数学者は15世紀までにこれを数学的記法でそれぞれmīm (m) とkāf (k)の文字で表した。これはアブー・ハサン・イブン・アリー・アル＝カラサディーの著作にも見られる。^[10]

ニコラ・シュケは15世紀に指数表記法の一種、例えば12 x ^2を表すのに12 ^{2 を}使用した。^[11]これは後に16世紀にヘンリクス・グラマテウスとミヒャエル・シュティフェルによって使用された。16世紀後半にはヨスト・ビュルギがシュケと同様の方法で指数にローマ数字を使用した。例えばiii44 × ³の場合。^[12]

指数という言葉は1544年にマイケル・スティフェルによって造られました。^{[13] [14]} 16世紀には、ロバート・レコードがsquare、cube、zenzizenzic（ 4乗）、sursolid（5乗）、zenzicube（6乗）、second sursolid（7乗）、zenzizenzizenzic （8乗）という用語を使用しました。^[9] Biquadrateも4乗を指すために使用されています。

1636年、ジェームズ・ヒュームは『ヴィエトの代数』でA ^3をA ⁱⁱⁱと書き、本質的に現代的な記法を使用した。^{[15] 17世紀初頭、現代の指数記法の最初の形式は、}ルネ・デカルトの『幾何学』というテキストで導入された。その第1巻でこの記法が導入されている。^[16]

私は ... aa、つまりa をそれ自身で乗算した2^を指定します。また、それをもう一度aで乗算して無限大にすると3^{になります。}

— ルネ・デカルト、『La Géométrie』

デカルトなどの数学者の中には、2 より大きい累乗にのみ指数を使用し、平方を乗算の繰り返しとして表すことを好んだ人もいます。そのため、彼らは多項式を、たとえばax + bxx + cx ³ + dのように書きます。

サミュエル・ジークは1696年にインデックスという用語を導入しました。^[6]インボリューションという用語はインデックスという用語と同義語として使われていましたが、使用頻度は低下しており^{[17] 、}より一般的な意味と混同しないようにする必要があります。

1748 年、レオンハルト オイラーは次のように記述して可変指数、そして暗黙的に非整数指数を導入しました。

指数自体が変数である指数やべき乗を考えてみましょう。この種の量は代数関数ではないことは明らかです。なぜなら、それらの指数は定数でなければならないからです。^[18]

計算が機械化されるにつれて、指数表記の慣例によって数値の容量に表記法が適応されていった。例えば、コンラート・ツーゼは1938年に発表したコンピュータZ1で浮動小数点演算を導入した。1つのレジスタには先頭の数字の表現が含まれ、2番目のレジスタには10の指数の表現が含まれていた。それ以前にレオナルド・トーレス・ケベドは、数値の浮動小数点表現を提案した「オートメーションに関するエッセイ」 （1914年）を寄稿していた。より柔軟な10進浮動小数点表現は、1946年にベル研究所のコンピュータで導入された。最終的に、教育者やエンジニアは、比率スケールの桁数の一般的な参照と一致した科学的表記法を採用した。^[19]

b ² = b · bという式は、「 bの二乗」または「b の二乗」と呼ばれます。これは、一辺の長さがbである正方形の面積がb ²であるためです。(「 bの 2 乗」とも呼ばれますが、「 bの二乗」および「b の二乗」の方が伝統的です)

同様に、式b ³ = b · b · b は、「 bの3 乗」または「b の3 乗」と呼ばれます。これは、辺の長さがbである立方体の体積がb ³であるためです。

指数が正の整数の場合、その指数は底がいくつ掛け合わされているかを示します。たとえば、3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 です。指数が5なので、底3 は掛け算に5回現れます。ここで、243 は3 の 5 乗、つまり3 の 5 乗です。

「raised」という単語は通常省略され、「power」も省略されることがある。そのため、3 ^{5 は}単に「3 to the 5th」または「3 to the 5」と読むことができる。

整数指数による累乗演算は、基本的な算術演算から直接定義できます。

累乗法の反復的な乗算としての定義は、帰納法^[20]を使って形式化することができ、この定義は結合乗算があればすぐに使用できます。

基本ケースは

${\displaystyle b^{1}=b}$

そして再発は

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

乗法の結合法則は、任意の正の整数mとnに対して、

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

そして

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

前述のように、（非ゼロの）数の0乗は1である：^{[21] [1]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

この値は、単位元を持つ乗算を持つすべての代数構造で使用できる空積規則によっても得られます。これにより、式

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

にも当てはまります。 ${\displaystyle n=0}$

0 ⁰の場合は議論の余地があります。整数の累乗のみが考慮されるコンテキストでは、値1は一般に0 ⁰に割り当てられますが、それ以外の場合は、値を割り当てるかどうか、およびどの値を割り当てるかの選択はコンテキストによって異なります。詳細については、「ゼロのゼロ乗」を参照してください。

負の指数を持つ累乗は、任意の整数nと 0 以外のbに対して成立する次の恒等式によって定義されます。

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$^[1 ]

0を負の指数で乗じることは未定義であるが、状況によっては無限大（）として解釈されることがある。^[22]${\displaystyle \infty }$

負の指数を持つべき乗のこの定義は、等式を負の指数に拡張できる唯一の定義です ( の場合を考えます)。 ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$${\displaystyle m=-n}$

同じ定義は、乗法モノイド、つまり、結合乗法と乗法単位元が1で表記される代数構造（例えば、与えられた次元の正方行列）の可逆元にも適用される。特に、このような構造では、可逆元xの逆元は、標準的に次のように表記される。 ${\displaystyle x^{-1}.}$

以下のアイデンティティは、しばしば指数規則は、基数がゼロでない限り、すべての整数指数に当てはまる：^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

加算や乗算とは異なり、累乗は可換ではありません。たとえば、 ですが、オペランドを逆にすると異なる値 になります。また、加算や乗算とは異なり、累乗は結合的ではありません。たとえば、(2 ³ ) ² = 8 ² = 64ですが、2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512です。括弧がない場合、上付き表記法での連続累乗の従来の演算順序は、トップダウン (または右結合) であり、ボトムアップ^{[23] [24] [25]} (または左結合) ではありません。つまり、 ${\displaystyle 2^{3}=8}$${\displaystyle 3^{2}=9}$

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

これは一般的には

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

和の累乗は通常、二項式によって加数の累乗から計算できる。

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

ただし、この式は、加数が交換できる場合（つまり、 ab = ba ）にのみ有効であり、これは、加数が交換可能な構造に属している場合に暗黙的に当てはまります。それ以外の場合、aとb が、たとえば同じサイズの正方行列である場合、この式は使用できません。したがって、コンピュータ代数では、指数の基数が交換できない場合、整数指数を含む多くのアルゴリズムを変更する必要があります。一部の汎用コンピュータ代数システムでは、非交換基数による指数計算に異なる表記法（^ではなく^^を使用する場合もあります）が使用され、これは非可換指数計算と呼ばれます。

非負の整数nとmの場合、 n ^mの値は、 m個の要素の集合からn個の要素の集合への関数の数です(基数べき乗を参照)。このような関数は、 n個の要素の集合からのm個の組として(またはn文字のアルファベットからのm文字の単語として)表すことができます。次の表に、 mとnの特定の値の例を示します。

10進法では、 10の整数乗は、1の数字の後に、指数の符号と大きさによって決まる数のゼロが続く形で表されます。たとえば、10 ³ =1000と10 ⁻⁴ =0.0001。

10を底とする指数は、科学表記法で大きな数や小さな数を表すために使用されます。たとえば、299 792 458  m/s（真空中の光の速度、メートル毎秒）は次のように表される。2.997 924 58 × 10 ⁸  m/sとなり、次のように近似される。2.998 × 10 ⁸  m/s .

10の累乗に基づくSI接頭辞は、小さい量や大きい量を表すのにも使用されます。たとえば、接頭辞キロは、10 ³ =1000なので1キロメートルは1000メートル。

2の最初の負の累乗には特別な名前があります。は半分、は四分の一です。${\displaystyle 2^{-1}}$${\displaystyle 2^{-2}}$

2の累乗は集合論に登場します。これは、 n個の要素を持つ集合には、その部分集合全体の集合である累乗集合があり、その集合には2 ⁿ個の要素があるためです。

2の整数乗はコンピュータサイエンスにおいて重要です。正の整数乗2 ^{n は}、 nビットの整数2進数に可能な値の数を示します。たとえば、1バイトは2 ⁸ = 256の異なる値をとることができます。2進数システムでは、任意の数を2の累乗の合計として表現し、 2 進小数点で区切られた0と1のシーケンスとして表します。ここで、1 は​​合計に現れる2の累乗を示します。指数はこの1の位置によって決まります。非負の指数は小数点の左側の1の順位( 0から始まる) であり、負の指数は小数点の右側の順位によって決まります。

1 の累乗はすべて1 ⁿ = 1となります。

正の指数n > 0の場合、ゼロのn乗はゼロです: 0 ⁿ = 0。負の指数の場合、は未定義です。 ${\displaystyle 0^{-n}=1/0^{n}=1/0}$

式0 ⁰はとして定義される か、未定義のままになります。 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=1}$

負の数に別の負の数を掛けると正の数になるため、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle (-1)^{n}=\left\{{\begin{array}{rl}1&{\text{for even }}n,\\-1&{\text{for odd }}n.\\\end{array}}\right.}$

このため、-1の累乗は交互のシーケンスを表現するのに便利です。複素数iの累乗に関する同様の議論については、§ 複素数の n 乗根を参照してください。

1 より大きい数の累乗の列の極限は発散します。言い換えると、列は無限に大きくなります。

b > 1 のとき、 n → ∞として^{b n} → ∞

これは、「 bが 1 より大きい 場合、 nが無限大に近づくのと同じように、 bの n 乗は+∞に近づく」と解釈できます。

絶対値が1 未満の 数の累乗は0 に近づきます。

| b | < 1 のとき、 n → ∞としてb ⁿ → 0

1 の累乗は常に 1 です。

b ⁿ = 1全てのnに対してb = 1である

負の数の累乗は、n が偶数と奇数の間を行き来するのと同じように、正と負の間を行き来し、したがって、 n が大きくなっても制限されることはありません。 ${\displaystyle b\leq -1}$

指数が無限大に近づくにつれて指数が1に近づく場合、その極限は必ずしも上記のいずれかであるとは限りません。特に重要なケースは

(1 + 1/ n ) ⁿ → eとしてn → ∞

下記の§ 指数関数を参照してください。

その他の限界、特に不確定な形式をとる式の限界については、以下の「§ 累乗の限界」で説明します。

の形の実関数（）は、べき関数と呼ばれることもあります。^[26]が整数で のとき、の偶数に対する と の奇数に対する という2 つの主要な族が存在します。一般に のとき、が偶数の場合、が増加するにつれて正の無限大に近づき、 が減少するにつれて正の無限大に近づきます。偶数べき関数族のすべてのグラフは、 の一般的な形を持ち、 が増加するにつれて中央がより平坦になります。^[27]この種の対称性（）を持つ関数は、偶関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{2}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

が奇数のとき、の漸近的挙動は正から負の に反転します。 の場合、も の増加とともに正の無限大に向かう傾向がありますが、 の減少とともに負の無限大に向かう傾向があります。奇数べき関数の族のすべてのグラフは の一般的な形を持ち、 が増加するにつれて中央がより平坦になり、 の直線ではその平坦性が完全に失われます。このような対称性( )を持つ関数は奇関数と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

については、それぞれのケースにおいて逆の漸近的挙動が成り立つ。^[27]${\displaystyle c<0}$

xが非負の実数で、nが正の整数、またはxの唯一の非負の実数n乗根、つまり、${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle y^{n}=x.}$

xが正の実数で、pとq > 0 の整数である有理数の場合、は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\textstyle x^{p/q}}$

${\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}$

右側の等式は、次のように設定して書き表すことができる。${\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},}$${\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}$

r が正の有理数の場合、定義により0 ^r = 0となります。

これらすべての定義は、等式を有理指数に拡張するために必要です。 ${\displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}$

一方、これらの定義を正の実数ではない基数に拡張すると問題が生じる。例えば、負の実数は実数n乗根を持つが、nが奇数の場合は負となり、nが偶数の場合は実数根を持たない。後者の場合、恒等式にどの複素n乗根を選択しても、その条件を満たすことはできない。例えば、 ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}},}$${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}$

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}$

これらの問題の処理方法の詳細については、 § 実指数と§ 複素数の非整数べき乗を参照してください。

正の実数の場合、実数累乗は 2 つの同等な方法で定義できます。1 つは、連続性によって有理数累乗を実数に拡張する方法 ( § 有理指数の極限、下記)、もう 1 つは底の対数と指数関数についてです( § 対数による累乗、下記)。結果は常に正の実数であり、整数指数について上記で示した恒等式と特性は、実数指数に対するこれらの定義でも当てはまります。2 番目の定義は複素指数に簡単に一般化できるため、より一般的に使用されます。

一方、負の実数の実数乗は、実数でなく複数の値を持つ可能性があるため、一貫して定義するのがはるかに困難です。これらの値の1つを選択することはできますが、主値と呼ばれる主値は選択できません。

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}$

は真です。§べき乗と対数の恒等式の破れを参照してください。したがって、正の実数ではない基数を持つべき乗は、一般に多価関数と見なされます。

任意の無理数は有理数の列の極限として表現できるため、任意の実数指数xを持つ正の実数bの累乗は、規則^[28]との連続性によって定義できます。

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

ここで、極限はrの有理値に対してのみ適用されます。この極限は、すべての正のbとすべての実数xに対して存在します。

例えば、x = πの場合、非終端小数表現π = 3.14159...と有理数累乗の単調性を利用して、必要なだけ小さい有理数累乗で囲まれた区間を得ることができます。${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

したがって、区間の上限と下限は、同じ極限を持つ2つのシーケンスを形成し、${\displaystyle b^{\pi }.}$

これは任意の正のbと実数のxに対して、 bとxの連続関数として定義します。明確に定義された式も参照してください。^[29]${\displaystyle b^{x}}$

指数関数は、オイラー数であると定義できますが、循環論法 を避けるため、この定義はここでは使用できません。代わりに、正の整数乗（繰り返し乗算）のみに頼って、指数関数との独立した定義を与えます。次に、これが前の定義と一致することを証明します。${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$${\displaystyle e\approx 2.718}$${\displaystyle \exp(x),}$${\displaystyle e=\exp(1)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

指数関数を定義する方法は多数あるが、その1つは次の通りである。

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

指数恒等式（または乗法則）も成り立ちます。 ${\displaystyle \exp(0)=1,}$${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

2次の項は極限に影響を与えず、 となります。 ${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

オイラー数は と定義できます。前の式から、xが整数のときとなります(これは累乗の累乗定義から生じます)。xが実数の場合、は、 xが有理数の場合は指数恒等式を使用し、それ以外の場合は指数関数の連続性を使用することで、前のセクションで与えられた定義から生じます。 ${\displaystyle e=\exp(1)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

指数関数を定義する極限は、xのすべての複素数値に対して収束するため、 の定義を拡張するために使用でき、実数から任意の複素引数zに拡張できます。この拡張された指数関数は依然として指数恒等式を満たしており、複素数の底と指数の累乗を定義するためによく使用されます。 ${\displaystyle \exp(z)}$${\displaystyle e^{z},}$

e ^xを指数関数として定義すると、指数関数と対数関数の観点から、すべての正の実数bに対してb ^{x を}定義することができます。特に、自然対数ln( x )が指数関数e ^xの逆関数であるという 事実は、

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

あらゆるb > 0に対して。恒等式を保つためには、 ${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

したがって、任意の正の実数bに対して、 b ^xの代替定義として使用できます。これは、有理指数と連続性を使用した上記の定義と一致し、任意の複素指数に直接拡張できるという利点があります。 ${\displaystyle e^{x\ln b}}$

bが正の実数である場合、底bと複素指数zのべき乗は、複素引数を持つ指数関数によって定義されます（上記の§指数関数の最後を参照）。

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

ここで、 はbの自然対数を表します。 ${\displaystyle \ln b}$

これは、

${\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}$

一般に、 b ^{z は}実数ではないため、は定義されません。複素数の累乗に意味が与えられると（以下の「複素数の非整数累乗」を参照）、一般に、 ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$

${\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}$

ただし、zが実数またはtが整数の場合は除きます。

オイラーの公式、

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,}$

の極形式をzの実部と虚部で表すと、 ${\displaystyle b^{z}}$

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}$

ここで三角関数の絶対値は1である。これは次の式から導かれる。

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}$

前のセクションでは、非整数指数による累乗は、正の実数の底についてのみ定義されました。他の底については、n乗根、つまりn が正の整数である指数の場合の、一見単純なケースですでに困難が生じています。非整数指数による累乗の一般理論はn乗根に適用されますが、このケースは複素対数を使用する必要がないため理解しやすいため、最初に検討する価値があります。 ${\displaystyle 1/n,}$

ゼロでない複素数zは極形式で次のように 表される。

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

ここで はzの絶対値、 はその偏角です。 偏角 は2 πの整数倍まで定義されます。つまり、 が複素数の偏角である場合、 はすべての整数 に対して同じ複素数の偏角になります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +2k\pi }$${\displaystyle k}$

2 つの複素数の積の極形式は、絶対値を掛けて偏角を加算することで得られます。したがって、複素数のn乗根の極形式は、絶対値のn乗根を取り、その偏角をnで割ることで得られます。

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

を に追加した場合、複素数は変更されませんが、これはn乗根の引数に追加され、新しいn乗根が得られます。これはn回実行でき、複素数の n乗根が得られます。${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2i\pi /n}$

通常は、n乗根 のうちの 1 つを主根として選択します。一般的な選択は、最大の実部を持つn乗根、または 2 つある場合は虚部が正のものを選択することです。これにより、主 n 乗根は、被根が負の実数値の場合を除いて、複素平面全体で連続した関数になります。この関数は、正の実数の被根に対して通常のn乗根に等しくなります。負の実数の被根と奇数の指数に対しては、通常のn乗根は実数ではありませんが、主n乗根は実数ではありません。解析接続により、主n乗根は、通常のn乗根を非正の実数のない複素平面に 拡張する唯一の複素微分可能関数であることが示されます。${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$

複素数をその引数を増やしてゼロの周りで動かすと、複素数を増分した後に元の位置に戻り、そのn乗根は循環的に並べ替えられます(乗算されます)。これは、複素平面全体で連続するn乗根関数 を定義することは不可能であることを示しています。${\displaystyle 2\pi ,}$$e^{2i\pi /n}$

n乗根は、w ⁿ = 1となるn個の複素数です。ここで、nは正の整数です。離散フーリエ変換や代数方程式の代数解 (ラグランジュ分解) など、数学のさまざまな分野で発生します。

n 乗の単位根は の n 乗であり、つまりである。この生成特性を持つ単位根は原始 n 乗の単位根と呼ばれ、kがnと互いに素であるという形をとる。唯一の原始平方根は であり、原始 4 乗の単位根はであり、${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}}$${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{n-1}.}$${\displaystyle \omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},}$ ${\displaystyle -1;}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i.}$

n乗根を使用すると、複素数zのすべてのn乗根を、 zの与えられたn乗根とn乗根の n乗の積として表現できます。

幾何学的には、n乗根は、実数 1 に 1 つの頂点を持つ 正n角形の頂点にある複素平面の単位円上に存在します。

数は最小の正の引数を持つ原始n乗根であるため、主原始n乗根と呼ばれ、主n乗根と短縮されることもあるが、この用語はの主値である1と混同される可能性がある。 ^{[30] [31] [32]}${\displaystyle e^{\frac {2k\pi i}{n}}}$${\displaystyle 1^{1/n}}$

複素数を底とする指数関数の定義は、前のセクションで説明したのと同様の困難を伴いますが、一般に の可能な値は無限にあります。したがって、実数かつ非正であるzの値に対して連続しない主値が定義されるか、多値関数として定義されます。 $z^{w}$$z^{w}$

いずれの場合も、複素対数は複素指数を定義するために用いられる。

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

ここで、は使用される複素対数の変種であり、次のような関数または多価関数である。 ${\displaystyle \log z}$

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

定義域内のあらゆるzに対して。

複素対数の主値は唯一の連続関数であり、一般には、任意の非ゼロ複素数zに対して、 ${\displaystyle \log ,}$

${\displaystyle e^{\log z}=z,}$

そしてzの引数は

${\displaystyle -\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi .}$

複素対数の主値は、 zの負の実数値では不連続であるため定義されませんが、それ以外の場合は正則（つまり、複素微分可能）です。zが実数で正の場合、複素対数の主値は自然対数です。${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \log z=\ln z.}$

の主値はとして定義されます 。 ここで は対数の主値です。 ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$${\displaystyle \log z}$

この関数は、zが実数かつ非正である点の近傍を除いて正則です。 ${\displaystyle (z,w)\to z^{w}}$

zが実数かつ正の場合、 の主値は上記で定義した通常の値に等しくなります。nが整数の場合、この主値は上記で定義したものと同じになります。 ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle w=1/n,}$

いくつかの状況では、 zの負の実数値におけるおよびの主値の不連続性に関する問題があります。 この場合、これらの関数を多値関数として考えると便利です。 ${\displaystyle \log z}$${\displaystyle z^{w}}$

が多値対数の値の1つ（通常は主値）を表す場合、他の値は で表されます。ここでkは任意の整数です。同様に、が指数の1つの値である場合、他の値は次のように表されます。 ${\displaystyle \log z}$${\displaystyle 2ik\pi +\log z,}$${\displaystyle z^{w}}$

${\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}$

ここで、k は任意の整数です。

kの値が異なれば の値は異なりますが、 wが有理数、つまりd が存在し、そのdw が整数である場合を除きます。これは指数関数の周期性から生じ、より具体的には、が の整数倍である場合に限ります。${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$${\displaystyle a-b}$${\displaystyle 2\pi i.}$

が有理数で、 mが互いに素な整数n個の場合、 はちょうどn個の値を持ちます。この場合、これらの値は § 複素数の n 乗根で説明したものと同じです。w が整数の場合、 § 整数指数と一致する値は 1 つだけです。 ${\displaystyle w={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle n>0,}$${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle m=1,}$

多値べき乗は、グラフが各点の近傍でそれぞれが正則関数を定義する複数のシートから構成されるという意味で、 に対して正則です。 z が0 の周りの円に沿って連続的に変化する場合は、回転後に の値がシートごとに変化します。 ${\displaystyle z\neq 0,}$${\displaystyle z^{w}}$

の標準形は、 zとwの標準形から計算できます。これは 1 つの式で記述することもできますが、計算を複数のステップに分割する方が明確になります。 ${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle z^{w}}$

• zの極形式。 がzの標準形式（ aとbは実数）である場合、その極形式は次のようになります。ここで、および（この関数の定義についてはatan2 を参照）。${\displaystyle z=a+ib}$$${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$$${\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (a,b)}$
• zの対数。この対数の主値はで、 は自然対数を表します。対数のその他の値は、任意の整数kについて を加算することで得られます。${\displaystyle \log z=\ln \rho +i\theta ,}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle 2ik\pi }$
• の標準形${\displaystyle w\log z.}$cとdが実数の場合、の値は対応する主値である。${\displaystyle w=c+di}$${\displaystyle w\log z}$$${\displaystyle w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),}$$${\displaystyle k=0.}$
• 最終結果。恒等式とを使用すると、主値は次のようになります。${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$${\displaystyle e^{y\ln x}=x^{y},}$$${\displaystyle z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),}$$${\displaystyle k=0}$

• ${\displaystyle i^{i}}$
  iの極形式はであり、の値はしたがって次のようになる。したがって、のすべての値は実数であり、主要なものは${\displaystyle i=e^{i\pi /2},}$${\displaystyle \log i}$$${\displaystyle \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).}$$$${\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.}$$${\displaystyle i^{i}}$$${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.}$$
• ${\displaystyle (-2)^{3+4i}}$
  同様に、 -2の極形式は、上記の方法で得られる値は、この場合、すべての値は同じ引数を持ち、絶対値は異なります。${\displaystyle -2=2e^{i\pi }.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}}$$${\displaystyle 4\ln 2,}$

どちらの例でも、 のすべての値は同じ引数を持ちます。より一般的には、これはwの実部が整数である 場合にのみ当てはまります。${\displaystyle z^{w}}$

複素数べき乗と複素数対数が単一値関数としてどのように定義されていても、正の実数のべき乗と対数の一部の恒等式は複素数では成立しません。例:

bが正の実代数数でxが有理数の場合、 b ^{x は}代数的数です。これは代数的拡大の理論から得られます。 b が任意の代数数の場合もこのことが当てはまり、その場合、b ^x (多値関数として) のすべての値は代数的になります。xが無理数(つまり、有理数ではない) で、bとxの両方が代数的である場合、ゲルフォン・シュナイダーの定理は、b が0または1 の場合を除いて、 b ^xのすべての値は超越数(つまり、代数的ではない)であると主張します。

言い換えると、x が無理数である場合、 b、x 、およびb ^xのうち少なくとも 1 つは超越数になります。 ${\displaystyle b\not \in \{0,1\},}$

正の整数指数を持つ累乗の定義は、乗算として表される任意の結合演算に適用できます。 ^{[nb 2]} x ⁰の定義には、さらに乗法単位元の存在が必要です。^[34]

集合と、乗法的に表される結合演算、および1で表される乗法的単位元からなる代数構造はモノイドである。このようなモノイドでは、要素xの累乗は次のように帰納的に定義される。

• ${\displaystyle x^{0}=1,}$
• ${\displaystyle x^{n+1}=xx^{n}}$すべての非負整数nに対して。

nが負の整数の場合、はxが逆数を持つ場合にのみ定義されます。^[35]この場合、xの逆数はx ⁻¹と表され、x ^nは次のように定義されます。${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}.}$

整数指数による累乗は、代数構造のxとy 、および整数 mとnに対して、次の法則に従います。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if }}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}}$

これらの定義は数学の多くの分野で広く使われており、特に群、環、体、正方行列（環を形成する）に広く使われている。また、関数合成の下でモノイドを形成する集合からそれ自身への関数にも適用される。具体的な例としては、幾何学的変換、および任意の数学的構造の自己準同型写像などがある。

複数の演算が繰り返される場合、その演算記号を指数の前に上付き文字で置いて、繰り返される演算を示すのが一般的です。たとえば、fが実関数で、その値が乗算可能な場合、は乗算に関するべき乗を表し、関数合成に関するべき乗を表すことができます。つまり、 ${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle f^{\circ n}}$

${\displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),}$

そして

${\displaystyle (f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).}$

一般的にはと表され、 と表される。${\displaystyle (f^{n})(x)}$${\displaystyle f(x)^{n},}$${\displaystyle (f^{\circ n})(x)}$${\displaystyle f^{n}(x).}$

乗法群は、乗法として表される結合演算を持ち、単位元を持ち、すべての要素に逆元が存在するような 集合です。

したがって、G が群である場合、すべての整数nに対して が定義されます。 ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x\in G}$

群の元のすべてのべき乗の集合は、部分群を形成します。特定の元xのすべてのべき乗からなる群 (または部分群) は、 xによって生成される巡回群です。 xのすべてのべき乗が別個である場合、群は整数の加法群と同型です。それ以外の場合、巡回群は有限であり(有限個の元を持ちます)、その元の数はxの位数です。 xの位数がnである場合、であり、 xによって生成される巡回群は、xのn番目のべき乗(指数0または1から無差別に開始) で構成されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$

群論では、元の順序が基本的な役割を果たします。たとえば、有限群の元の順序は、常に群の元の数 (群の順序) の約数になります。群の元の可能な順序は、群の構造の研究 (シローの定理を参照) や有限単純群の分類において重要です。

上付き文字の表記は共役にも使用される。つまり、g ^h = h ⁻¹ ghであり、gとhは群の要素である。上付き文字は整数ではないため、この表記は指数法と混同されることはない。この表記法の動機は、共役が指数法則のいくつか、すなわち、およびに従うことである。${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

環では、ある整数nに対して0 以外の元が を満たす場合があります。このような元は、冪零であるといわれます。可換環では、冪零元は、環の 冪基数と呼ばれるイデアルを形成します。${\displaystyle x^{n}=0}$

nilradical が零イデアルに簡約される場合（つまり、すべての正の整数nに対して が成り立つ場合）、可換環は簡約されると言われます。アフィン代数集合の座標環は常に簡約環であるため、簡約環は代数幾何学において重要です。 ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle x^{n}\neq 0}$

より一般的には、可換環RのイデアルIが与えられたとき、 Iに冪を持つRの元の集合はイデアルであり、Iの根基と呼ばれる。零根基は零イデアルの根基である。根基イデアルは、自身の根基に等しいイデアルである。体k上の多項式環において、イデアルが根基となるのは、それがアフィン代数集合上で零であるすべての多項式の集合である場合のみである (これはヒルベルトの零点定理の結果である)。 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Aが正方行列の場合、 Aとそれ自身とのn回の積は行列べき乗と呼ばれる。また、は単位行列として定義され、^[36] Aが逆行列である場合、となる。 ${\displaystyle A^{0}}$${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$

行列のべき乗は離散動的システムの文脈でよく現れ、行列A はあるシステムの状態ベクトルxからシステムの次の状態Ax^{への遷移を表します。 [37]}これは、例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈です。すると、は2 つの時間ステップ後のシステムの状態になり、以下同様に続きます。はn時間ステップ後のシステムの状態です。行列のべき乗は、現在の状態とnステップ後の時点の状態との間の遷移行列です。したがって、行列のべき乗を計算することは、動的システムの進化を解くことと同じです。多くの場合、行列のべき乗は、固有値と固有ベクトルを使用して簡単に計算できます。 ${\displaystyle A^{2}x}$${\displaystyle A^{n}x}$${\displaystyle A^{n}}$

行列以外にも、より一般的な線形演算子も指数化できます。例としては、微積分の微分演算子 があります。これは、関数に作用して新しい関数 を与える線形演算子です。微分演算子のn乗はn次導関数です。 ${\displaystyle d/dx}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

これらの例は線型演算子の離散指数に関するものですが、多くの場合、連続指数を持つそのような演算子のべき乗を定義することも望ましいです。これが半群の数学的理論の出発点です。^[38]離散指数を持つ行列のべき乗を計算すると離散力学系が解けるのと同様に、連続指数を持つ行列のべき乗を計算すると連続力学を持つ系が解きます。例としては、熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式、および時間発展を含むその他の偏微分方程式を解くアプローチがあります。微分演算子を非整数べき乗する特殊なケースは分数微分と呼ばれ、分数積分とともに分数計算の基本的な演算の 1 つです。

体とは、乗算、加算、減算、除算が定義され、乗算は結合法則で、すべての非ゼロ要素には逆元が存在するという特性を満たす代数構造です。これは、 0の非正の累乗を除いて、整数指数による累乗が明確に定義されていることを意味します。一般的な例としては、この記事の前半で取り上げた複素数、実数、有理数の体があり、これらはすべて無限大です。

有限体とは、有限個の元を持つ体である。この元数は素数か素数のべき乗である。つまり、p が素数でkが正の整数であるときの形をとる。このようなqに対して、 q個の元を持つ体が存在している。q 個の元を持つ体はすべて同型であり、一般に、 q個の元を持つ体が 1 つだけあるかのように扱うことができる。この体は次のようになる。${\displaystyle q=p^{k},}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$

一つは

${\displaystyle x^{q}=x}$

すべての${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}$

の原始元とは、 gのq − 1 次の最初の累乗の集合(つまり、) が の非ゼロ元の集合に等しいような元gのことです。には原始元があり、 はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$${\displaystyle \varphi (p-1)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$${\displaystyle \varphi }$

新入生の夢のアイデンティティ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

は指数pに対して真である。従って、写像 ${\displaystyle x^{p}=x}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}}$

は上で線型であり、 は体自己同型であり、フロベニウス自己同型と呼ばれます。体がk 個の自己同型を持つ場合、それはFのk次の（合成の下での）べき乗です。 言い換えると、のガロア群は、フロベニウス自己同型によって生成される、 k位の巡回群です。${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$${\displaystyle q=p^{k},}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

ディフィー・ヘルマン鍵交換は有限体におけるべき乗の応用であり、安全な通信に広く使用されています。べき乗は計算コストがかからないのに対し、逆演算である離散対数は計算コストが高いという事実を利用しています。より正確には、g がの原始元である場合、 qが大きくても、任意の e について を 2 乗することでべき乗を効率的に計算できますが、qが十分に大きい場合にからe を取得できる計算上実用的なアルゴリズムは知られていません。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$${\displaystyle g^{e}}$${\displaystyle g^{e}}$

2つの集合SとTの直積は、およびとなる順序付きペアの集合である。この演算は、厳密には可換でも結合的でもないが、標準同型までこれらの性質を持ち、例えば、およびを識別できる。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle y\in T.}$ ${\displaystyle (x,(y,z)),}$ ${\displaystyle ((x,y),z),}$${\displaystyle (x,y,z).}$

これにより、集合Sのn乗を、Sの要素のすべてのn組の集合として定義できるようになります。 ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Sが何らかの構造を備えている場合、も自然に同様の構造を備えていることがよくあります。この場合、「直積」という用語は一般に「直積」の代わりに使用され、累乗は積構造を表します。たとえば、 (ここで、 は実数を表します) は、 のn個のコピーの直積、およびベクトル空間、位相空間、環など としての直積を表します。${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Sの n 個の要素の組は、次の関数として考えることができます。これは次の表記法に一般化されます。 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}.}$

2 つの集合SとT が与えられたとき、 TからSへのすべての関数の集合はと表記されます。この指数表記は、次の標準同型によって正当化されます (最初の同型については、カリー化 を参照してください)。 ${\displaystyle S^{T}}$

${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},}$

${\displaystyle S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},}$

ここで、は直積、 は直交和を表します。 ${\displaystyle \times }$${\displaystyle \sqcup }$

集合は、集合に対する他の演算、典型的にはアーベル群、ベクトル空間、または加群の直和の指数として使用できます。直和と直積を区別するために、直和の指数は括弧内に置かれます。たとえば、 は実数の無限列のベクトル空間、 は有限個の非ゼロ要素を持つ列のベクトル空間を表します。後者は、ちょうど1に等しい非ゼロ要素を 1 つ持つ列からなる基底を持ちますが、前者のハメル基底は明示的に記述できません (その存在にはゾルンの補題が含まれるため)。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}}$

この文脈では、2 は集合を表すことができるので、はSの冪集合、つまり、各関数を1の逆像にマッピングすることによって、 Sからへの関数の集合をSのサブセットの集合と同一視できる集合を表すことができる。 ${\displaystyle \{0,1\}.}$${\displaystyle 2^{S}}$${\displaystyle \{0,1\},}$

これは、 | S ^T | = | S | ^{| T |}という意味で基数の累乗に適合します。ここで、| X | はXの基数です。

集合のカテゴリでは、集合XとYの間の射はXからYへの関数である。その結果、前のセクションで示したXからYへの関数の集合は、次のようにも表すことができる。同型は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle \hom(X,Y).}$${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U}}$

${\displaystyle \hom(U,S^{T})\cong \hom(T\times U,S).}$

これは、関数「 T 乗の累乗」が関数「 Tとの直積」の右随伴関数であることを意味します。  

これは、有限の直積が存在するカテゴリにおける指数の定義に一般化されます。このようなカテゴリでは、関数が存在する場合、関数 A は関数 A の右随伴になります。直積が存在し、関数がすべてのTに対して右随伴を持つ場合、カテゴリはカルティシアン閉カテゴリと呼ばれます。 ${\displaystyle X\to X^{T}}$${\displaystyle Y\to T\times Y.}$${\displaystyle Y\to X\times Y}$

自然数の累乗が乗算の繰り返しによって行われるのと同様に、累乗の繰り返しに基づく演算を定義することも可能である。この演算はハイパー 4 またはテトレーションと呼ばれることもある。テトレーションを繰り返すと別の演算が実行されるなど、ハイパー演算と呼ばれる概念が続く。この演算のシーケンスは、アッカーマン関数とクヌースの上矢印表記法によって表現される。累乗が乗算よりも速く増加し、乗算が加算よりも速く増加するのと同様に、テトレーションは累乗よりも速く増加する。(3, 3)で評価すると、関数加算、乗算、累乗、テトレーションはそれぞれ 6、9、27、および 10 になる。それぞれ7 625 597 484 987 ( =3 ²⁷ = 3 ^{3 3} = ³ 3 ) です。

ゼロのゼロ乗は、不定形式0 ⁰の極限の例をいくつか与えます。これらの例の極限は存在しますが、値が異なり、2 変数関数x ^{y は}点(0, 0)で極限を持たないことを示しています。この関数がどの点で極限を持つかを検討することができます。

より正確には、上で定義された関数を考えます。すると、D はR ²（つまり、積位相を備えた拡張された実数直線 R = [−∞, +∞] に属するすべてのペア ( x 、 y ) の集合）のサブセットとして見ることができ、関数fが極限を持つ点が含まれます。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x>0\}}$

実際、f は、 (0, 0)、(+∞, 0)、(1, +∞)、(1, −∞)を除くDのすべての集積点で極限を持ちます。^{[39]したがって、これにより、} 0 ≤ x ≤ +∞、−∞ ≤ y ≤ +∞の場合はいつでも連続性によって累乗x ^{y を}定義することができます。ただし、0 ⁰、(+∞) ⁰、1 ^+∞、1 ^−∞は不定形式のままです。

この連続性による定義によれば、次のようになります。

• 1 < x ≤ +∞ のとき、 x ^+∞ = +∞かつx ^−∞ = 0。
• 0 ≤ x < 1のとき、 x ^+∞ = 0かつx ^−∞ = +∞。
• 0 ^y = 0かつ(+∞) ^y = +∞ （0 < y ≤ +∞の場合）
• 0 ^y = +∞かつ(+∞) ^y = 0、ただし−∞ ≤ y < 0の場合。

これらのべき乗は、 xの正の値に対してx ^yの極限を取ることによって得られます。この方法では、 x < 0の場合のx ^yの定義は許可されません。これは、x < 0のペア( x , y )がDの累積点ではないためです。

一方、nが整数の場合、x ⁿのべき乗は、負の値も含め、 xのすべての値に対してすでに意味を持ちます。これにより、負のnに対して上で得られた定義0 ⁿ = +∞は、 nが奇数の場合には問題になる可能性があります。これは、この場合、x は正の値では0に近づくものの、負の値では近づかないため、 x ⁿ → +∞となるためです。

反復乗算を使用してb ^{n を}計算するにはn − 1 回の乗算操作が必要ですが、次の例に示すように、それよりも効率的に計算できます。2 ^{100 を}計算するには、2 進数で書かれた指数 100 に ホーナーの規則を適用します。

${\displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))}$。

次に、ホーナーの規則を右から左に読みながら、次の項を順番に計算します。

この一連の手順では、99 回の乗算ではなく 8 回の乗算のみが必要です。

一般に、 b ^{n を}計算するために必要な乗算回数は、を二乗するべき乗法 を使用することでまで減らすことができます。ここで、 はnの2進表現における1の数を表します。いくつかの指数（100はその中に含まれません）については、 を計算して最小加算チェーンべき乗法を使用することで、乗算回数をさらに減らすことができます。b ⁿの乗算の最小シーケンス（指数の最小長加算チェーン）を見つけることは難しい問題であり、現在効率的なアルゴリズムは知られていませんが（部分集合和問題を参照）、多くのかなり効率的なヒューリスティックアルゴリズムが利用可能です。^[40]ただし、実際の計算では、 を二乗するべき乗法は十分に効率的であり、実装がはるかに簡単です。 ${\displaystyle \sharp n+\lfloor \log _{2}n\rfloor -1,}$${\displaystyle \sharp n}$

関数合成は、関数の右側に書かれた関数の共役領域が左側に書かれた関数の領域に含まれるように関数に対して定義される二項演算である。これは次のように表記され、定義される。 ${\displaystyle g\circ f,}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

fの定義域内のすべてのxに対して。

関数fの定義域が共役域に等しい場合、関数を任意の回数だけ合成することができ、これは合成された関数のn乗を定義し、一般に関数のn回目の反復と呼ばれる。したがって、 は一般にfのn回目の反復を表す。たとえば、は^[41]を意味する。${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle f^{3}(x)}$${\displaystyle f(f(f(x))).}$

関数の共役領域で乗算が定義されている場合、これは関数の乗算、つまり点ごとの乗算を定義し、これは別の累乗を誘導します。関数表記を使用する場合、2 種類の累乗は一般に、関数の反復の指数を関数の引数を囲む括弧の前に配置し、点ごとの乗算の指数を括弧の後に配置することで区別されます。したがって、 および関数表記が使用されていない場合は、多くの場合、合成記号を指数の前に置くことで曖昧さを解消します。たとえば、 および歴史的な理由から、反復乗算の指数は、特定の関数、通常は三角関数 の引数の前に置かれます。したがって、および はどちらも でありではなく、いずれにせよ、これはほとんど考慮されません。歴史的に、これらの表記法のいくつかの変種がさまざまな著者によって使用されていました。^{[42] [43] [44]}${\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),}$${\displaystyle f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).}$${\displaystyle f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,}$${\displaystyle f^{3}=f\cdot f\cdot f.}$${\displaystyle \sin ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$${\displaystyle \sin(\sin(x)),}$

この文脈では、指数は、もし存在するならば、常に逆関数を表します。したがって、乗法逆数の場合、分数は一般に次のように使用されます。${\displaystyle -1}$${\displaystyle \sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.}$${\displaystyle 1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.}$

プログラミング言語では、一般的に指数は中置演算子か関数適用のいずれかで表現されます。これは上付き文字をサポートしていないためです。指数を表す最も一般的な演算子記号はキャレット( )^です。ASCII のオリジナル版には指数を表す上矢印記号 ( ↑) が含まれていましたが、 1967 年にキャレットに置き換えられたため、プログラミング言語ではキャレットが一般的になりました。^[45] 表記法には次のものがあります。

• x ^ y: AWK、BASIC、J、MATLAB、Wolfram Language ( Mathematica )、R、Microsoft Excel、Analytica、TeX (およびその派生言語)、TI-BASIC、bc (整数指数用)、Haskell (非負整数指数用)、Lua、およびほとんどのコンピュータ代数システム。
• x ** yFortranの文字セットには、と+-*/()&=.,'以外の小文字や句読点が含まれていなかったため、**指数計算に使用されました^{[46] [47]}a xx b （代わりに使用された初期バージョン。 ^[48]）。他の多くの言語もこれに倣いました：Ada、Z shell、KornShell、Bash、COBOL、CoffeeScript、Fortran、FoxPro、Gnuplot、Groovy、JavaScript、OCaml、F#、Perl、PHP、PL/I、Python、Rexx、Ruby、SAS、Seed7、Tcl、ABAP、Mercury、Haskell（浮動小数点指数用）、Turing、VHDL。
• x ↑ y: Algolリファレンス言語、Commodore BASIC、TRS-80レベルII/III BASIC。^{[49] [50]}
• x ^^ y: Haskell (分数の底、整数の指数)、D。
• x⋆y: APL。

中置指数演算子を持つほとんどのプログラミング言語では、これは右結合であり、つまり はa^b^cと解釈されますa^(b^c)。^[51](a^b)^cこれは、が と等しいため、それほど有用ではないためですa^(b*c)。一部の言語では、これは左結合であり、特にAlgol、MATLAB、およびMicrosoft Excel数式言語では顕著です。

他のプログラミング言語では関数表記法が使用されます。

• (expt x y): Common Lisp。
• pown x y: F# (整数基数、整数指数)。

さらに他のものは、指数演算を標準ライブラリの一部としてのみ提供します。

• pow(x, y): C、C++ (ライブラリ内math)。
• Math.Pow(x, y): C#。
• math:pow(X, Y):アーラン。
• Math.pow(x, y): Java。
• [Math]::Pow(x, y): PowerShell。

Rustなどの型の安全性を優先する静的型付け言語では、指数演算はさまざまな方法で実行されます。

• x.pow(y)および整数xとしてy
• x.powf(y)および浮動小数点数xとしてy
• x.powi(y)x浮動小数点数とy整数として