実数の完全性

最小上界の性質とは、上界（または上限）を持つ実数の空でない部分集合はすべて、実数の集合の中に最小上界（または上限）を持つという性質である。

有理数直線Q は最小上界の性質を持ちません。例として、有理数の部分集合が挙げられます。

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}.}$

この集合には上限があります。ただし、この集合にはQにおける最小上限はありません。実数の部分集合としての最小上限は√2ですが、 Qには存在しません。任意の上限x ∈ Qに対して、 y < xとなる別の上限y ∈ Qが存在します。

例えば、x = 1.5とすると、x は正であり、x ² = 2.25 ≥ 2であるため、xは確かにSの上限です。つまり、Sのどの要素もxより大きいものはありません。しかし、より小さい上限、例えばy = 1.45を選ぶこともできます。これも同じ理由でSの上限ですが、 xより小さいので、x はSの最小上限ではありません。同様にして、 yより小さいSの上限、例えばz = 1.42などを見つけることができ、 QにSの最小上限が見つからないようにすることができます。

最小上界の性質は、半順序集合の設定にも一般化できる。完全性（順序理論）を参照のこと。

デデキント完全性とは、実数のあらゆるデデキント切断が実数によって生成されるという性質のことである。実数に対する総合的なアプローチにおいては、この完全性のバージョンが公理として最も頻繁に採用される。

有理数直線Qはデデキント完全ではない。例としてデデキント切断がある。

${\displaystyle L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.}$

${\displaystyle R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.}$

Lには最大値がなく、Rには最小値がないため、このカットは有理数によって生成されるものではありません。

実数の構成法には、有理数のデデキント切断を用いて実数を命名するという考え方に基づくものがあります。例えば、上述の切断(L,R)は、実数を命名します。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$. デデキント切断を用いて実数の構成を繰り返す（つまり、可能なすべてのデデキント切断を追加して実数の集合を「閉じる」）と、実数はすでにデデキント完全であるため、追加の数は得られない。

コーシー完全性とは、実数のコーシー列はすべて実数に収束するという命題である。

有理数直線Qはコーシー完全ではありません。例として、次の有理数列が挙げられます。

${\displaystyle 3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.141,\quad 3.1415,\quad \ldots }$

ここで、数列の第 n 項は、円周率 π の小数第 n 位近似値です。これは有理数のコーシー数列ですが、いかなる有理数にも収束しません。（この実数直線上では、この数列は π に収束します。）

コーシー完全性とは、コーシー数列を用いて実数を構成することに関連する概念である。本質的に、この方法は実数を、有理数のコーシー数列の極限として定義する。

数学解析において、コーシー完備性は任意の距離空間の完備性の概念に一般化することができる。完備距離空間を参照のこと。

順序体の場合、コーシー完全性は、このページで説明されている他の完全性の形式よりも弱い。しかし、コーシー完全性とアルキメデス性を組み合わせると、他の完全性と同等になる。

入れ子区間定理は、完全性の別の形式である。I n = [ a _n , b _n ]を空でない閉区間の列とし、すべての に対して が成り立つと仮定する_。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$、${\displaystyle I_{n+1}\subseteq I_{n}}$さらに、n → +∞のときb _n − a _n → 0であると仮定します。入れ子区間定理によれば、すべての区間I _nの共通部分はちょうど 1 つの点を含みます。

任意の順序付きフィールド${\displaystyle F}$有理数など、区間を定義することができます${\displaystyle [a,b]}$である

${\displaystyle [a,b]_{F}=\{x\in F\ |\ a\leq x\leq b\}.}$

したがって、入れ子区間の性質（の自然な一般化）が実数以外の順序体にも成り立つかどうかという問題を検討することができる。

答えはノーです。例えば、有理数は${\displaystyle \mathbb {Q} }$入れ子区間特性を満たさない。数列（その項は、提案された方法で円周率の桁から導出される）

${\displaystyle [3,4]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.1,3.2]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.14,3.15]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.141,3.142]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;\cdots }$

は、有理数における閉区間の入れ子構造であり、その共通部分は空集合である。（実数においては、これらの区間の共通部分は円周率πを含む。）

入れ子区間定理は、完全性の表現のスペクトルにおいて、コーシーの完全性と同じ論理的地位を占める。言い換えれば、入れ子区間定理単独では他の完全性の形式よりも弱いが、アルキメデスの性質と組み合わせると、他の形式と同等になる。

開帰納原理は、空でない開部分集合が${\displaystyle S}$区間の${\displaystyle [a,b]}$任意の場合、区間全体と等しくなければならない。${\displaystyle r\in [a,b]}$我々はそれを持っている${\displaystyle [a,r)\subset S}$暗示する${\displaystyle [a,r]\subset S}$。

開帰納原理は、背理法を用いることで、順序位相の下で任意の順序集合に対するデデキント完全性と同等であることが示される。排中律が成り立たない構成的解析のような弱い基礎においては、デデキント実数に対して最小上界性質の完全な形式は成り立たないが、開帰納性質は（ブロウワーの棒定理から導かれる）ほとんどのモデルにおいて真であり、重要な定理の短い証明を与えるのに十分な強さを持つ。

単調収束定理（ケルナー^{[ 1 ]}によって解析学の基本公理として記述されている）は、単調減少しない有界な実数列はすべて収束することを述べている。これは最小上界の性質の特殊な場合と見なすこともできるが、実数のコーシー完備性を証明するためにもかなり直接的に使用できる。

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理は、有界な実数列には収束する部分列が存在することを述べている。この定理もまた、上述の他の形式の完全性定理と同等である。

中間値の定理は、負の値と正の値の両方をとるすべての連続関数は根を持つと述べています。これは最小上界の性質から導かれる結果ですが、公理として扱えば最小上界の性質を証明するためにも使用できます。（連続性の定義は完全性には依存しないため、循環論法は存在しません。つまり、中間値の定理と最小上界の性質は同値な命題であるということです。）