イースターの日付

イースターは移動祝祭日であるため、^{[1] [2]毎年、}コンピュトゥス（ラテン語で「計算」）と呼ばれる計算によって日付が決定されます。[ ^3]イースターは、過ぎ越しの満月（3月21日以降の最初の天文学的な満月の数学的近似値で、それ自体が3月の春分点の固定近似値です）の後の最初の日曜日に祝われます。この日付を事前に決定するには、太陰月と太陽年との相関関係が必要であり、さらにユリウス暦またはグレゴリオ暦の月、日、曜日も考慮する必要があります。^[4]アルゴリズムが複雑なのは、イースターの日付を、キリスト教徒がイエスが十字架にかけられた日であると信じているユダヤ教の過ぎ越しの祭りの日付と関連付けたいためです。^[5]

もともとキリスト教会全体が、教皇による毎年の発表を通じて毎年イースターの日付を知ることは可能でした。しかし、3世紀初頭までにローマ帝国の通信手段は劣化し、教会は聖職者が独立して一貫して日付を決定できるシステムを非常に重視するようになりました。^{[6]さらに、教会はイースターの日付を3月の春分から直接導き出すことで、}ヘブライ暦 への依存を排除​​したいと考えました。^[7]

ベーダは『時の計算』（725）の中で、コンピュトゥスをあらゆる種類の計算の一般的な用語として使用しているが、テオフィロスの復活祭周期を「復活祭のコンピュトゥス」と呼んでいる。8世紀末までに、コンピュトゥスは特に時間の計算を指すようになった。^[8] 計算は、ユリウス暦を使用するかグレゴリオ暦を使用するかによって結果が異なる。このため、カトリック教会とプロテスタント教会（グレゴリオ暦に従う）は、東方正教会と東方正教会（ユリウス暦に従う）とは異なる日に復活祭を祝っている。観測された春分点から3月21日がずれたことが、グレゴリオ暦の改革につながり、両者を一致させた。

イースターはイエスの復活を祝う祭りで、キリスト教徒はそれが過越祭の開始後3日目（その日も含む）に起こったと信じている。ヘブライ太陰太陽暦では、過越祭はニサン14日の夕暮れに始まる。^{[9] [10]ニサンは}北半球 の春の最初の月で、14日は満月に該当する。2世紀までには、多くのキリスト教徒がイースターを日曜日のみに祝うことを選んでいた。^[11]ヘブライ暦はキリスト教の暦と単純な関係にあるわけではなく、ニサン1日の 太陰暦の新年の前に、2年または3年ごとに閏月を挿入することで太陽年と再同期している。後にユダヤ人はメトン周期を採用し、将来の閏月を予測した。

この閏日挿入の結果、ニサン14日は春分より前に来る可能性があり、3世紀のキリスト教徒の中にはこれを受け入れられないと考える者もいた（これは現在使われている固定暦では起こり得ない）。^[12] その結果、イースターの日付をヘブライ暦から切り離し、3月の春分後の最初の満月を特定することが決定された。第1ニカイア公会議（西暦325年）の頃までに、アレクサンドリア教会は実際の天文観測とは関係なく、3月21日を春分のための教会上の日付に指定していた。395年、テオフィロスはアレクサンドリアの基準を正当化する、将来のイースターの日付表を出版した。^[13] それ以降、コンピュトゥスは3月21日以降に当た​​る 最初の教会上の満月の後の最初の日曜日を決定する手順となった。

最も古いローマ暦は、222年にローマのヒッポリュトスが8年周期に基づいて考案したものです。その後、3世紀末近くにアウグスタリスが84年周期の暦をローマに導入しました。 ^[a] 19年周期のメトン周期に基づく方法は、 277年頃にラオディケアのアナトリオス司教によって初めて提案されましたが、その概念は4世紀後半にアレクサンドリアの方法が権威を持つまで完全には定着しませんでした。^[b]

アレクサンドリアのコンピュトゥスは440年頃にアレクサンドリアでアレクサンドリア暦からユリウス暦に改められ、437年から531年をカバーする復活祭表（アレクサンドリアの教皇キュリロス作とされる）が作成された^。[16]この復活祭表は、 500年頃から540年頃までローマで活動していたディオニュシウス・エクシグスにインスピレーションを与え、 ^[17] 532年から616年をカバーする有名な復活祭表の形でその続きを作成するきっかけとなった。^[18]ディオニュシウスは525年にこの新しい復活祭表を出版し、キリストの受肉から数えるキリスト教紀元を導入した。 ^{[19] [c]}

4世紀前半にローマでは、修正された84年周期が採用されました。 457年にアキテーヌのヴィクトリアスは、532年表の形でアレクサンドリア方式をローマの規則に適応させようとしましたが、重大な誤りをもたらしました。^{[20]これらのヴィクトリア朝の表は、8世紀末にディオニュソス表に取って代わられるまで、}ガリア（現在のフランス）とスペインで使用されていました。

ディオニュシウスとヴィクトリウスの暦は、イギリス諸島で伝統的に使われてきた暦と矛盾していた。イギリスの暦では84年周期が使われていたが、誤りにより満月が次第に早くなっていた。^[21] この矛盾から、ディオニュシウスの暦に従うエアンフレド女王は枝の主日に断食し、夫でノーサンブリア王のオスウィウは復活祭の主日に祝宴を催したという報告が生まれた。^[22]

630年のアイルランドのマグ・レーネ教会会議の結果、南アイルランドではディオニュソス表が使用され始め^[23]、北イングランドでも664年のウィットビー教会会議後に同様の現象が起こりました^[24]。

ディオニュソス暦は725年にベーダによって完全に記述されている。 ^[25]ベーダの信奉者アルクィンから、カール大帝が782年にはフランク教会のために採用した可能性がある。ディオニュソス/ベーダの暦は、グレゴリオ暦の改革まで西ヨーロッパで使用され続け、東方正教会と非カルケドン派教会の大半を含むほとんどの東方教会で現在も使用されている。^[26]このシステムに従わない唯一の東方正教会は、グレゴリオ暦を使用するフィンランド正教会である。

6世紀にアレクサンドリア教会から分岐した旧ビザンチン帝国の東の国境を越えた地域の教会、例えばアッシリア東方教会などは、現在では532年ごとに4回、東方正教会とは異なる日にイースターを祝っている^。 [^要出典]

ローマ帝国の東端にあるこれらの教会は別として、10世紀までにはすべての教会がアレクサンドリアのイースターを採用していた。このイースターでも春分は3月21日とされていたが、ベーダは725年にすでにそのずれに気付いており、16世紀までにはさらにずれていた。^[d]さらに悪いことに、イースターを計算するために使用された月は、19年周期でユリウス暦に固定されていた。この近似値では310年ごとに1日の誤差が生じるため、16世紀までには太陰暦は実際の月と4日ずれていた。グレゴリオ暦のイースターは1583年以来ローマカトリック教会で使用されており、1753年から1845年の間にほとんどのプロテスタント教会で採用された。

ドイツのプロテスタント諸国は、1700年から1776年まで、ヨハネス・ケプラーのルドルフ表に基づいて天文学的なイースターを使用していました。ルドルフ表は、ティコ・ブラーエがヴェン島のウラニボー天文台で観測した太陽と月の天文学的な位置に基づいています。一方、スウェーデンは1739年から1844年までこの方法を使用していました。この天文学的なイースターは、ウラニボー時間（TT + 51 ^m）を使用した春分点の後の満月の瞬間の後の日曜日でした。ただし、その日曜日が現代のユダヤ教の方法に従って計算された過越週の最初の日であるユダヤ暦のニサン15日に当たる場合は、1週間遅れました。^[29] 

このニサン 15日の規則は、1778年と1798年の2つのスウェーデンの年に影響を与え、グレゴリオ暦のイースターの1週間前になる代わりに、1週間遅れてグレゴリオ暦のイースターと同じ日曜日になりました。ドイツの天文学的なイースターは、1724年と1744年にはグレゴリオ暦のイースターの1週間前でした。 ^[29]スウェーデンの天文学的なイースターは、1744年にはグレゴリオ暦のイースターの1週間前でしたが、1805年、1811年、1818年、1825年、1829年には1週間後でした。^[29]

2 つの現代の天文学的なイースターが提案されましたが、どの教会でも採用されませんでした。最初のものは、1923 年にコンスタンチノープルで行われた総会で改訂ユリウス暦の一部として提案され、2 つ目は1997 年にアレッポで行われた世界教会協議会の協議会で提案されました。どちらもドイツ版とスウェーデン版と同じルールを採用していましたが、現代の天文学的計算とエルサレム時間( TT + 2^時間21^分)を採用し、ニサン15 日ルールは採用しませんでした。 1923年版では、1924年、1943年、1962年には天文学的なイースターがグレゴリオ暦のイースターの1か月前に配置され、1927年、1954年、1967年には1週間後に配置されていました。 ^[30] 1997年版では、2000年から2025年までは天文学的なイースターがグレゴリオ暦のイースターと同じ日曜日に配置されていましたが、2019年は1か月早くなっていました。^[31] 

イースターの周期は、日を太陰月に分類します。太陰月は29日または30日です。例外があります。3月に終わる月は通常30日ですが、閏年の2月29日がその期間に含まれる場合は31日になります。これらのグループは太陰周期に基づいているため、長期的には太陰暦の平均月は朔望月と非常によく近似しており、朔望月は29.530 59日間。^[32]

太陰暦の1年は12の朔望月で、合計354日または355日である。太陰暦の1年は、365日または366日である暦の1年よりも約11日短い。太陽暦の1年が太陰暦の1年を超える日数は、エパクト（ギリシャ語：ἐπακταὶ ἡμέραι、翻訳： épaktai hēmérai、文字通り 「閏日」）と呼ばれる。^{[33] [34]}

太陰暦の正しい日数を得るには、太陽暦の日にこれらを加える必要があります。暦日が 30 日に達するかそれを超える場合は、太陰暦に30 日の閏月(または閏月) を追加し、暦日から 30 日を減算する必要があります。チャールズ・ウィートリーが詳細を説明しています。

「このようにして、年は3月から始まり（それが古代の習慣だった）、3月に終わる月には30日、4月に終わる月には29日、5月にまた30日、6月に29日などと、古い詩に従っていた。

Impar luna pari、par fiet in impare mense;
完全にメンシ・ルナティオ・デトゥールを完成させてください。

「第一、第三、第五、第七、第九、第十一の月はimpares mensesまたは不等月と呼ばれ、それぞれ 30 日の計算に従って月があり、したがってpares lunaeまたは等月と呼ばれます。しかし、第二、第四、第六、第八、第十、第十二の月はpares mensesまたは等月と呼ばれ、それぞれ 29 日の月があり、impares lunaeまたは不等月と呼ばれます。」

— ウィートリー 1871、44 ページ

こうして、太陰月は、終了したユリウス暦の月の名前を取った。19年のメトン周期は、19の太陽年が235の朔望月と同じ長さであると仮定している。したがって、19年後には、朔望月は太陽年で同じように落ち、エパクトは繰り返されるはずである。19年間で、エパクトは19 × 11 = 209 ≡ 29 ( mod 30)だけ増加し、0 ( mod 30)だけ増加しない。つまり、209を30で割ると、30の倍数ではなく、余りが29になる。補正が30日の月を追加するだけで行われる場合、これは問題となる。^[e] したがって、19年後には、周期を繰り返すためにエパクトを1日修正する必要がある。これがいわゆるsaltus lunae (「月の閏」) である。ユリウス暦では、周期の最後の年の7月1日に始まる太陰月の長さを29日に短縮することでこれを処理します。これにより、連続する3か月が29日になります。^[f]

サルトゥスと7つの追加の30日間の月は、ユリウス暦と太陰暦がほぼ同時に始まる地点に位置していたため、ほとんど隠されていました。追加の月は、1月1日（3年目）、9月2日（5年目）、3月6日（8年目）、1月3日（11年目）、12月31日（13年目）、9月1日（16年目）、3月5日（19年目）に始まりました。^{[35] [36]} 19年周期の年の数の順序は「黄金数」と呼ばれ、次の式で与えられます。

GN = ( Y mod 19) + 1

つまり、西暦の年数Y を19 で割り、その余りに 1 を加えたものが黄金数です。(一部の資料では、余りを取る前に1 を加えるように指定されていますが、その場合は結果が 0 であっても黄金数 19 として扱う必要があります。上記の式では、最初に余りを取ってから1を加えるので、そのような調整は必要ありません。) ^[g]

19 年の周期は、閏年が 4 回または 5 回あるため、すべて同じ長さではありません。ただし、4 周期の期間である 76 年 (カリピカ周期) の長さは、76 × 365 + 19 = 27,759日です (世紀の区分を超えない場合)。この期間には235 × 4 = 940 の太陰月があるため、平均の長さは 27759  / 940 または約 29.530851 日です。通常の名目上の 30 日太陰月は76 × 6 = 456 か月あり、通常の名目上の 29 日月も同じ数ですが、これらのうち 19 か月は閏日に 1 日長くなり、さらに 30 日の閏月が 24 か月、29 日の閏月が 4 か月あります。これは朔望月の実際の長さである約 29.53059 日よりも長いため、グレゴリオ暦のように修正が行われない限り (以下を参照)、計算された復活祭の満月は天文学的な満月に比べてどんどん遅くなります。

復活祭またはイースターの月は、1 年のうちで最初に 3 月 21 日以降に 14 日目 (正式な満月) を迎える月です。復活祭はその 14 日目の次の日曜日 (または、同じく第 3 週の日曜日) です。復活祭の太陰月は、常に 3 月 8 日から 4 月 5 日までの 29 日間の期間内の日付に始まります。したがって、その 14 日目は常に 3 月 21 日から 4 月 18 日までの間 (西暦ではグレゴリオ暦、東暦ではユリウス暦) に該当し、次の日曜日は必然的に 3 月 22 日から 4 月 25 日までの範囲の日付に該当します。ただし、西暦では、1900 年から 2199 年の 300 年間でイースターが 3 月 22 日に該当することはありません (下記参照)。太陽暦では、イースターの日付が 35 日間の範囲内で変動するため、移動祝日と呼ばれます。しかし、太陰暦では、イースターは常に復活祭の太陰月の第 3 日曜日であり、感謝祭など、月内の特定の曜日や週に固定されている祝日と同様に「移動可能」ではありません。

1582年にグレゴリオ暦が導入された主な動機はコンピュトゥスの改革であったため、対応するコンピュトゥスの方法論が新しい暦とともに導入されました。^{[h]作業の一般的な方法は}クラウィウスの『六つの規範』（1582年）で示され、その後に彼の『解説』（1603年）で詳細が説明されました。 ^[37]

復活祭の日曜日は、復活祭の満月の日の次の日曜日です。復活祭の満月の日は、3 月 21 日以降の教会の満月の日です。グレゴリオ暦では、各年のエパクトを決定することによって復活祭の満月の日を導き出します。 ^[38]エパクトは、* (0 または 30) から 29 日までの値を取ることができます。これは、1 月 1 日の月齢 (つまり太陰日) を 1 日減らしたものです。Alden A Mosshammer は著書「復活祭の計算とキリスト教時代の起源」で、誤って^{[誰によると? ]}「理論的には、エパクト 30 = 0 は太陽と合になる新月を表します。エパクト 1 は、月の最初の三日月が理論的に初めて見えることを表します。その時点から 1 日目として月の 14 日目が数えられます」と述べています。^[39]

太陰月の14日目は満月の日とみなされる。^[40]太陰月の14日目は、衝（「満月」）の瞬間が最も起こりやすい日である。「新月」は、太陰月の1日目に（日没後の西の空に細い三日月として）最もよく見える。太陽と月の合（「新月」）は、その前日、つまり「空」（29日）の月の29日目と「満」（30日）の月の30日目に起こる可能性が最も高い。

歴史的には、一年の復活祭の満月の日付は、黄金数と呼ばれるメトン周期の連続番号から求められ、この周期は19年ごとに1月1日に月の満ち欠けを繰り返す。^[41]この方法は、表の日付が約2世紀後に現実と同期しなくなるため、グレゴリオ暦の改革で修正されたが、エパクト法から、1世紀から3世紀の有効性を持つ簡略化された表を作成することができる。^{[42] [43]}

2014 年に始まった現在のメトン周期のエパクトは次のとおりです。

ご覧のとおり、特定の年の復活祭の満月の日付は、通常、前年より 11 日早いか、19 日遅くなります。例外として、周期の 1 年目、6 年目、17 年目は日付が前年より 18 日遅くなるだけ、7 年目と 18 年目は前年より 10 日早くなるだけです。 東洋システム (下記参照) では、復活祭の満月は通常 4 日遅くなります。19 年のうち 5 年では 34 日遅くなり、6 年目と 17 年目では 5 日遅くなります。これは、これらの年には、グレゴリオ暦で復活祭の満月が通常より 1 日早くなるためです。これは、以下で説明するように、イースターを 4 月 26 日より前にするためです。西暦 2100 年には、この差は 1 日大きくなります。

エパクトは、新月の日付を見つけるために次のように使用されます。年間 365 日すべてを表に書き出します (閏日は無視します)。次に、1 月1 日から始めて、ローマ数字ですべての日付にラベルを付けます。「*」(0 または 30)、「xxix」(29)、「i」(1) と下向きに数えます。これを年末まで繰り返します。ただし、このような期間の 2 回目は 29 日だけ数え、その日付に xxv (25) と xxiv (24) をラベルします。したがって、13 番目の期間 (最後の 11 日間) を長いものとして扱い、連続する日付にラベル「xxv」と「xxiv」を割り当てます (それぞれ 12 月 26 日と 27 日)。^[45]

30日間の期間で「xxv」がある日付には「25」というラベルを追加します。ただし、29日間の期間（「xxiv」と「xxv」が一緒にある）では、「xxvi」がある日付に「25」というラベルを追加します。月の長さとエパクト周期の長さの分布は、2月と8月を除いて、各民間暦月が同じエパクトラベルで始まり、終わるようになっています。2月と8月は、二重ラベル「xxv」/「xxiv」で始まり、単一ラベル「xxiv」で終わります。この表はカレンダーと呼ばれます。どの年でも、教会の新月は、その年のエパクトが入力される日付です。^[45]

たとえば、その年のエパクトが 27 であれば、その年のすべての日付にエパクト ラベル「xxvii」(27) を持つ教会の新月があります。エパクトが 25 の場合、メトン周期中に教会の新月が同じ日に 2 回来ないようにするための複雑な仕組みが導入されます。有効なエパクト周期にエパクト 24 が含まれる場合 (1900 年から 2199 年まで使用されている周期と同様に)、エパクト 25 では教会の新月は 4 月 4 日 (ラベル「25」) になり、そうでない場合は 4 月 5 日 (ラベル「xxv」) になります。^[45]

4 月 4 日となるエパクト 25 は、黄金数が 11 より大きい場合にのみ発生します。その場合、エパクト 24 の年から 11 年後になります。したがって、たとえば 1954 年の黄金数は 17、エパクトは 25 で、教会の新月は 4 月 4 日、満月は 4 月 17 日と数えられました。イースターは、黄金数が 6 だった 1886 年のように、本来であれば 4 月 25 日になるはずだったのに、4 月 18 日になりました。このシステムでは、メトン周期ごとに 7 か月が自動的に挿入されます。

表のすべての日付に、1 月 1 日から「A」から「G」までの文字を付け、これを年末まで繰り返します。たとえば、年の最初の日曜日が 1 月 5 日で、文字「E」が付く場合、文字「E」が付くすべての日付はその年の日曜日になります。そして、「E」はその年の主日文字と呼ばれます。これは、 dies dominica (ラテン語で「主の日」) に由来します。主日文字は毎年 1 つずつ逆順に循環します。2 月 24 日以降の閏年では、日曜日はサイクルの前の文字に当たるため、閏年は 2 つの主日文字を持ちます。1 つ目は閏日の前、2 つ目は閏日の後を表します。

実際には、イースターを計算するために、年間 365 日すべてについてこれを行う必要はありません。エパクトの場合、3 月は 1 月とまったく同じ結果になるので、1 月や 2 月を計算する必要はありません。1 月と 2 月の主日文字を計算する必要がないようにするには、3 月 1 日の D から始めます。必要なエパクトは 3 月 8 日から 4 月 5 日までです。これにより、次の表が作成されます。

たとえば、エパクトが 27 (xxvii) の場合、教会法上の新月はxxviiで示されるすべての日付にあたります。教会法上の満月は 13 日後にあたります。上の表から、新月は 3 月 4 日と 4 月 3 日、満月は 3 月 17 日と 4 月 16 日となります。したがって、イースターの日は 3 月 21 日以降の最初の教会法上の満月の後の最初の日曜日となります。(この定義では、「以降」という単語の歴史的な意味との曖昧さを避けるために「3 月 21 日以降」を使用しています。現代語では、このフレーズは単に「3 月 20 日以降」を意味します。「3 月 21 日以降」の定義は、出版物や W​​eb ベースの記事で頻繁に誤って「3 月 21 日以降」と省略され、イースターの日付が不正確になります。) この例では、この復活祭の満月は 4 月 16 日です。主日文字が E の場合、イースターの日は 4 月 20 日です。

ラベル「25」（「xxv」とは区別されます）は、次のように使用されます。メトン周期内で、11 年離れている年は、エパクトが 1 日異なります。ラベル xxiv と xxv が並んで書かれた日付で始まる月は、29 日または 30 日です。エパクト 24 と 25 の両方が 1 つのメトン周期内に発生する場合、新月（および満月）は、この 2 年間同じ日付になります。これは、実際の月^[j]では可能ですが、図式的な太陰暦では洗練されていません。日付は 19 年後にのみ繰り返されます。これを回避するには、エパクト 25 があり、黄金数が 11 より大きい年では、計算された新月は、ラベルxxvではなくラベル25の日付になります。ラベル25とxxvが一緒にある場合は、同じであるため問題はありません。これによって、問題は「25」と「xxvi」のペアに移るわけではありません。なぜなら、最も早いエパクト 26 が出現するのは、19 年しか続かないサイクルの 23 年目だからです。その間にsaltus lunaeがあり、新月が別々の日付になるからです。

グレゴリオ暦では、400 年 (常に 1 世紀) に 3 日の閏日を省くことで、太陽年を補正します。これは太陽年の長さの補正ですが、年と月齢のメトン関係には影響しません。したがって、epact では、これらの 1 世紀年に 1 日を減算することで、これを補正します (部分的に – epact を参照)。これは、いわゆる太陽補正または「太陽方程式」です (「方程式」は中世の「補正」の意味で使用されています)。

しかし、補正されていない 19 のユリウス年は、235 の朔望月よりも少し長くなります。この差は約 308 年で 1 日、つまり 1 年あたり 0.00324 日に蓄積されます。1 サイクルでは、太陽補正により朔望月は平均 19 × 0.0075 = 0.1425 減少するため、1 サイクルは 235−0.1425/30 = 234.99525 か月に相当しますが、実際には 19 × 365.2425 / 29.5305889 ≈ 234.997261 の朔望月があります。19 年サイクルあたり 0.002011 の朔望月、つまり 1 年あたり 0.003126 日の差があるため、朔望月を時々月によって補正する必要があります。グレゴリオ暦では、これは 2,500 (グレゴリオ暦) 年に 8 回 (2500 × 0.003126 をわずかに超える、つまり約 7.8) 1 を加算することで行われます。これは常に 1 世紀ごとに行われます。これはいわゆる太陰暦補正(歴史的には「太陰方程式」と呼ばれています) です。最初の補正は 1800 年に適用され、次は 2100 年に適用され、3900 年から 4300 年までの 400 年間を除いて 300 年ごとに適用されます。この期間に新しいサイクルが始まります。改革の時点では、新月のタイミングを 3 日間補正するために、10 日がスキップされたにもかかわらず、エパクトは 7 だけ変更されました。^[45]

太陽と月の補正は逆方向に作用し、世紀のいくつかの年 (たとえば、1800 年と 2100 年) では、互いに打ち消し合います。その結果、グレゴリオ暦では、100 年から 300 年の期間に有効な epact テーブルが使用されます。上記の epact テーブルは、1900 年から 2199 年の期間に有効です。

後述するように、復活祭の日付は570万年ごとに繰り返され、この期間の教会暦の月の平均長さは2,081,882,250/70,499,183 ≈ 29.5305869日である^[46] 。これは、現在の実際の平均月齢（29,5305889日：太陰月#朔望月を参照）とは小数点第6位が異なっている。これは、4万年間の月の位相の誤差が1日未満であることに相当するが、実際には1日の長さは変化しており（朔望月の長さも変化している）、そのような期間ではこのシステムは正確ではない。日の長さの累積的な変化については、 ΔT（計時）の記事を参照のこと。

この計算方法にはいくつかの微妙な点があります。

他の太陰月は 29 日しかないため、1 日には (30 のうちの) 2 つのエパクト ラベルが割り当てられている必要があります。他のエパクト ラベルではなく「xxv/25」のエパクト ラベルが移動する理由は、次のようです。ディオニュシウス (ペトロニウスへの紹介状) によると、ニカイア公会議はエウセビオスの権威に基づいて、教会の太陰暦年の最初の月 (復活祭の月) は 3 月 8 日から 4 月 5 日の間に始まり、14 日目は 3 月 21 日から 4 月 18 日の間にあるため、期間は (わずか) 29 日間であると定められました。エパクト ラベル「xxiv」を持つ 3 月 7 日の新月は、14 日目 (満月) が 3 月 20 日であり、早すぎます (3 月 20 日の次ではありません)。したがって、エパクトが「xxiv」の年は、3 月 7 日に始まる太陰月が 30 日の場合、復活祭の新月が 4 月 6 日になりますが、これは遅すぎます。満月は 4 月 19 日になり、イースターは 4 月 26 日まで遅れる可能性があります。ユリウス暦では、イースターの最終日は 4 月 25 日で、グレゴリオ暦の改革でもその制限が維持されました。したがって、復活祭の満月は 4 月 18 日までに、新月は 4 月 5 日になり、エパクト ラベルは「xxv」になります。したがって、4 月 5 日には、エパクト ラベル「xxiv」と「xxv」が 2 つ必要です。したがって、エパクト「xxv」は、上記の段落で説明したように、別の方法で処理する必要があります。

イースターの日付の頻度分布は不明確です。黄金数からエパクトへのマッピングは 100 年から 300 年ごとに変化し、長期頻度分布は数百万年 (下記参照) の期間にのみ有効ですが、このシステムがそれほど長期間使用されることはまずありません。現在のマッピングは 1900 年から 2199 年まで有効ですが、イースターの日付の頻度は大きく異なります。3 月 22 日は絶対に起こりませんが、3 月 31 日はこの 300 年間で 13 回起こります。

長期的には、つまり日付が繰り返される 570 万年間全体では、分布がどうなるかという疑問が生じた場合、この分布はかなり簡単に見つけることができ、1900 年から 2199 年の期間の分布や、改革以来現在までの期間の分布とはまったく異なります。特定の年のイースターの日付は、その年のエパクト、その黄金数、および日曜日が何曜日であるかを示す主日文字(より正確には、2 月の後の年の部分の主日文字で、閏年には 1 月と 2 月の文字とは異なります) のみによって決まります。 (黄金数は、前述のようにエパクトが 25 の場合にのみ重要です。) ある特定の年から 3,230,000 年進むと、400 年のグレゴリオ暦の同じ時点で同じ黄金数を持ちますが、エパクトが 1 増加した年が見つかります。したがって、長期的には、30 のエパクトすべてが同じ確率で発生します。 一方、ドミニカル文字はすべて同じ頻度ではありません。文字 A と C (年末) の年はそれぞれ 14% の確率で発生し、E と F は 14.25% の確率で発生し、B、D、G は 14.5% の確率で発生します。エパクト 25 に関連する複雑さを考慮すると、2 番目のグラフに示す分布が得られます。 4月19日が最も一般的である理由は、エパクトが25のとき、教会法上の満月は4月17日または18日（黄金数による）に当たり、エパクトがそれぞれ26または24のときも、これらの日に当たるからである。イースターが4月19日となるためには、4月17日と4月18日を含めて、満月が当たる可能性がある日は7日ある（これは、教会法上の満月が土曜日に当たる可能性がある最も遅いイースターの日付でもある。教会法上の満月が最も遅い日付は4月18日であり、教会法上の満月が土曜日であれば、イースターはその翌日となる）。^[45]結果として、4月19日はグレゴリオ暦でイースターが最も頻繁に当たる日付であり、その頻度は年間の約3.87％である。最も頻度が低いのは3月22日で、0.48％である。^{[47] [45]}

太陰暦と太陽暦の日付の関係は、太陽年の閏日制度とは無関係です。基本的に、グレゴリオ暦は依然としてユリウス暦を使用しており、4年に1回閏日があるため、19年のメトン周期は6,940日または6,939日で、閏日は5日または4日です。現在、太陰周期は19 × 354 + 19 × 11 = 6,935日しかカウントしません。閏日をエパクト番号でラベル付けしてカウントせず、次の新月を閏日がない場合と同じ暦日にすることで、現在の朔望月は1日延長され、^[k]、235の朔望月は19年と同じ日数になります（1900年のような「太陽補正」が19年に含まれない限り）。したがって、暦を月と同期させる負担 (中期的精度) は、19 太陽年 = 235 朔望月という仮定の下で、適切な閏日方式を使用できる太陽暦に移行します (「朔望月補正」によって修正されない場合は、長期的な不正確さが生じます)。その結果、計算された月齢が 1 日ずれる可能性があり、また、閏日を含む朔望月が 31 日間になる可能性もあります。これは、実際の月を基準にした場合、決して起こりません (短期的不正確さ)。これが、太陽暦に定期的に合わせることの代償です。

グレゴリオ暦のイースター周期を一年のカレンダーとして使いたいと考える人々の観点から見ると、グレゴリオ暦にはいくつかの欠陥があります^[48]（ただし、復活祭の月やイースターの日付には影響しません）。

1. 月齢は 31 日（場合によっては 28 日）です。
2. 黄金数 19 の年にエパクト 19 がたまたまある場合、最後の教会の新月は 12 月 2 日になります。次の新月は 1 月 1 日になります。しかし、新年の初めに、saltus lunaeによってエパクトがもう 1 単位増加し、新月は前日に発生するはずでした。そのため、新月が失われます。ミサレ ロマヌムの暦では、このような年の 12 月 31 日に「xx」ではなくエパクト ラベル「19」を割り当て、その日を新月とすることで、この点を考慮しています。これは、元のグレゴリオ暦のエパクト テーブルが有効だったときは 19 年ごとに発生し (最後に発生したのは 1690 年)、次は 8511 年です。
3. 1 年のエパクトが 20 の場合、教会の新月は 12 月 31 日にあたります。その年が 1 世紀年より前に当たる場合、ほとんどの場合、太陽補正によって新しい年のエパクトが 1 つ減ります。結果として生じるエパクト「*」は、別の教会の新月が 1 月 1 日にカウントされることを意味します。したがって、正式には、1 日の月齢が経過しています。次に起こるのは 4199 年から 4200 年です。
4. その他の境界ケースは（かなり）後になって発生し、ルールが厳密に守られ、これらのケースが特別に扱われない場合、1、28、59、または（非常にまれに）58日離れた連続した新月の日付が生成されます。

注意深く分析すると、グレゴリオ暦での使用と修正方法を通じて、エパクトは実際には⁠1/30⁠満月であり、1 日ではありません。詳細については、 epact を参照してください。

太陽と月の補正は4 × 25 = 100世紀ごとに繰り返されます。その期間に、与えられた黄金数のエパクトは合計で−1 × ⁠変化します。3/4⁠ × 100 + 1 × ⁠8/25⁠ × 100 = −43 ≡ 17 mod 30。これは 30 の可能なエパクトと素数なので、エパクト マッピングが繰り返されるまでに100 × 30 = 3,000 世紀かかり、同じ黄金数で繰り返されるまでに3,000 × 19 = 57,000世紀かかります。この 5.7 Myr 期間に、教会の新月がいくつ数えられるかは明らかではありません。メトン周期は、 (5,700,000/19) × 235 = 70,500,000 の朔望日になります。しかし、エパクトには正味−43 × (5,700,000/10,000)の修正があり、これを 30 で割ると −817 の朔望日の修正になり、合計で 70,499,183 の朔望日になります。、1837年にマグヌス・ゲオルク・パウカーによって初めて導き出されたようです。 ^[49]これは、1931年の航海年鑑の暦の章（p. 744） ^[50]と1992年の解説補足（p. 582）にも記載されています。 ^{[51] [l]} したがって、グレゴリオ暦のイースターの日付がまったく同じ順序で繰り返されるのは、5,700,000年後、つまり70,499,183の朔望月、つまり2,081,882,250日後であり、平均朔望月の長さは2,081,882,250/70,499,183 = 29.53058690日です。もちろん、太陽年、朔望月、日の長さが変化するため、数千年後には暦を調整する必要があります。

すると、なぜグレゴリオ暦には太陽暦と太陰暦の補正が別々に存在し、それらが互いに打ち消し合うことがあるのか​​という疑問が湧いてくる。リリウスの原著は保存されていないが、彼の提案は1577年に頒布された『暦法改革新理論要綱』に記述されており、その中で、彼が考案した補正システムは、太陽暦と太陰暦が相互干渉することなく補正できるため、将来の暦改革者にとって完全に柔軟なツールとなるはずだったと説明されている。^[52]この柔軟性の例は、コペルニクスの理論から派生した代替の挿入シーケンスと、それに対応するエパクト補正によって提供された。^[53]

「太陽補正」は、グレゴリオ暦による太陽暦の閏日の変更が太陰暦に与える影響をほぼ解消します。つまり、エパクト周期を、ユリウス年と太陰月の間の元のメトン関係に (部分的に) 戻します。この基本的な 19 年周期における太陽と月の固有の不一致は、エパクトに対する「太陰補正」によって 3 世紀または 4 世紀ごとに修正されます。ただし、エパクト修正はユリウス世紀ではなくグレゴリオ世紀の初めに行われるため、元のユリウス メトン周期は完全には復元されません。

正味4 × 8 − 3 × 25 = 43 エパクトの減算は 10,000 年間にわたって均等に分散できますが (たとえば Lichtenberg 2003、pp. 45–76 で提案されているように)、修正を組み合わせると、2 つのサイクルの不正確さも追加され、個別に修正することはできません。

年間（平均太陽）日数と月齢あたりの日数の比率は、軌道の長期的な変化と、潮汐減速による地球の自転の減速の両方によって変化するため、グレゴリオ暦のパラメータはますます時代遅れになります。

これは春分点の日付に影響を及ぼしますが、北半球の春分点の間隔は、特に平均太陽時で測定した場合、歴史的にかなり安定しています。^{[54] [55]}

また、グレゴリオ暦法で計算された教会の満月と実際の満月とのずれは、予想されるほど影響は小さくなります。これは、潮汐ブレーキによって地球の自転の角運動量が月の公転角運動量に変換されるため、日の長さの増加が月の長さの増加によってほぼ正確に補正されるためです。

紀元前4世紀頃にバビロニア人によって確立されたプトレマイオス朝の平均朔望月の長さは29日12時間44分である⁠3+1/3⁠秒（ Kidinnuを参照）。現在の値は 0.46 秒短くなっています（新月を参照）。同じ歴史的期間に、平均熱帯年の長さは約 10 秒減少しました（すべての値は太陽時を意味します）。

上記の表形式の方法のセクションの一部では、16 世紀後半にカトリック教会がイースターの日曜日の現在の日付を決定した歴史的な議論と方法について説明しています。当時ユリウス暦がまだ使用されていた英国では、イースターの日曜日は、1662 年から 1752 年まで (以前の慣例に従って)、英国国 教会の祈祷書(統一法 1662で制定) の簡単な日付表によって定義されていました。表は、黄金比と日曜日の文字で直接索引付けされており、それらは (本のイースターのセクションで) すでに知られているものと想定されていました。

大英帝国と植民地では、復活祭の日曜日の日付の新しい決定は、現在では暦法（新様式）1750年とその付属文書と呼ばれているものによって定義されました。この方法は、他の場所ですでに使用されていたグレゴリオ暦の規則と一致する日付を指定するために選択されました。この法律では、これを祈祷書に記載することが義務付けられていたため、これは英国国教会の一般的な規則となっています。元の法律は、1765年の英国法典で見ることができます。^[56]この法律の付属文書には、「復活祭の日（残りの定義はこれに基づく）は常に、 3月21日またはその翌日の満月の後の最初の日曜日である。また、満月が日曜日に当たる場合、復活祭はその次の日曜日である」という定義が含まれています。この付属文書ではその後、「復活祭の満月」と「教会の満月」という用語が使用され、実際の満月に近いことが明確にされています。

この方法は、上で述べた § グレゴリオ暦のコンピュトゥスの改革 で述べた方法とはまったく異なります。一般的な年については、まず黄金数 を決定し、次に 3 つの表を使用して日曜日の文字、"サイファー"、復活祭の満月の日付を決定します。この日付からイースターの日曜日の日付が決定されます。エパクトは明示的には表示されません。サイファー (太陽と月の補正の影響を表す) が変化しない限られた期間 (1900 年から 2199 年など) には、より単純な表を使用できます。クラウィウスの詳細がこの方法の構築に採用されましたが、その後の使用には役立ちません。^{[57] [58]}

JRストックトンは、祈祷書と暦法の表にたどることができる効率的なコンピュータアルゴリズムの導出を示し（表の使用方法の説明が手元にあると仮定）、一致する表を計算することでそのプロセスを検証しています。^[59]

グレゴリオ暦の改革以前の西方教会の標準であり、今日でもほとんどの東方キリスト教徒が使用している、教会の満月の日付を計算する方法は、19年のメトン周期の修正されていない繰り返しをユリウス暦と組み合わせて使用​​していました。上で説明したエパクトの方法に関しては、エパクト0から始まる単一のエパクト表を事実上使用しており、これは修正されていませんでした。この場合、エパクトは3月22日とカウントされ、これはイースターの最も早い許容される日付です。これは19年ごとに繰り返されるため、復活祭の満月の可能性のある日付は、3月21日から4月18日までの19日しかありません。

グレゴリオ暦のような修正がないため、教会の満月は1000年ごとに3日以上、真の満月からずれていきます。すでに数日遅れています。その結果、東方教会は西方教会よりも1週間遅れてイースターを祝いますが、これは約44%、同じ日に祝います。(東方教会のイースターは、ユリウス暦が1900年から2099年までグレゴリオ暦より13日遅れているため、4週間または5週間遅れることがあります。そのため、グレゴリオ暦の復活祭の満月は、ユリウス暦の3月21日よりも前になることがあります。)

19 年周期における 1 年の連続番号は、黄金数と呼ばれます。この用語は、1200 年にアレクサンダー・デ・ヴィラ・デイが書いた計算詩「Massa Compoti」で初めて使用されました。その後の筆写者が、988 年にアボ・オブ・フルーリが最初に作成した表に黄金数を追加しました。

1582年にグレゴリオ暦を公布した教皇勅書「インター ・グラヴィッシマス」でカトリック教会は「ニカイア公会議で定められた規則に従ってイースターを祝う」^[60]を復活させたと主張したが、これはディオニュシウス・エクシグス（525）の「我々はイースターの日付を、ニカイア公会議で318人の教父が合意した提案に従って決定する」^{[61]という誤った主張に基づいていた。}

しかし、第1ニカイア公会議（325年）では、その日付を決定する明確な規則は示されておらず、「かつてユダヤ人の慣習に従っていた東方のすべての同胞は、今後、ローマ人、あなた方自身（アレクサンドリア教会）、そして初めからイースターを守ってきたすべての人々と同時に、前述の最も神聖なイースターの祭りを祝う」とだけ記されている。^[62]中世のコンピュトゥスは、アレクサンドリアのコンピュトゥスに基づいており、アレクサンドリアのコンピュトゥスは、 4世紀の最初の10年間にアレクサンドリア教会がアレクサンドリア暦を使用して開発しました。^[63]

東ローマ帝国は、コンピュトゥスをユリウス暦に改めた380年直後にこれを受け入れた。 ^[64]ローマは6世紀から9世紀の間にこれを受け入れた。ブリテン諸島は、いくつかの修道院を除いて8世紀にこれを受け入れた。^[要出典] フランク王国（スカンジナビア（異教）を除く西ヨーロッパ全域、ブリテン諸島、イベリア半島、南イタリア）は、8世紀最後の四半期にこれを受け入れた。^[要出典]

これを受け入れた最後のケルト修道院は、アイオナで、716 年に受け入れました。^{[引用が必要] これを受け入れた最後のイングランドの修道院は、931 年に受け入れました。[引用が必要]}これら^の日付より前は、他の方法でイースターの日曜日の日付が最大 5 週間異なることがありました。^{[引用が必要]}

これは、931 年以降のすべてのユリウス暦の復活祭の満月の日付の表です。

前述のように、これらの復活祭の満月は、西洋のシステムよりも 4、5、または 34 日遅く、天文学的な満月よりも約 3 日遅くなります。(たとえば、2015 年 4 月の月食は、グレゴリオ暦では 4 月 4 日、ユリウス暦では 3 月 22 日でしたが、その年の復活祭の満月 (黄金の数字 2) は、ユリウス暦では 3 月 25 日でした。) 月の修正があるたびに、西洋と東洋の教会の満月の差は 1 日増えるため、2100 年から 2399 年までは、差は 5 日、6 日、または 35 日になります。グレゴリオ暦の東洋の復活祭の満月の日付範囲は、太陽の修正があるたびに 1 日遅くなるため、2100 年から 2199 年までは 4 月 5 日から 5 月 9 日になります。現在、東のイースターが西のイースターより数週間遅れる年は、黄金数 3、8、11、14、19 の 5 年間で、1 周期あたり 5 回あります。これは、2200 年には 1 周期あたり 6 回に増え (黄金数 6 を追加)、2300 年には 7 回に増え (黄金数 17 を追加)、その後 2400 年には 6 回に戻り (月による補正があり、太陽による補正はありません)、2500 年には 7 回に戻り、2900 年のみ 8 回になります (黄金数 9 を追加)。^{[引用が必要]}

この表を使用した計算例:

1573 の黄金数は 16 です ( 1573 + 1 = 1574、1574 ÷ 19 = 82 余り 16 )。表によると、黄金数 16 の復活祭の満月は 3 月 21 日です。週表によると、3 月 21 日は土曜日です。復活祭の日曜日は、次の日曜日、3 月 22 日です。

したがって、教会の満月の特定の日付に対して、イースターの日付は 7 つ考えられます。日曜日の文字のサイクルは 7 年で繰り返されません。4 年ごとに閏日が中断されるため、カレンダーで平日が同じように繰り返される完全なサイクルは4 × 7 = 28年、つまり太陽周期です。したがって、イースターの日付は4 × 7 × 19 = 532年後に同じ順序で繰り返されます。この復活祭のサイクルは、457 年にローマで導入したアキテーヌのヴィクトリアスにちなんで、 ヴィクトリア朝サイクルとも呼ばれます。

5 世紀初頭にアレクサンドリアのアンニアヌスが最初に使用したことが知られています。また、532 年に始まる復活祭の表を作成したディオニュシウス・エクシグウスにちなんで、誤ってディオニュソス周期と呼ばれることもあります。エクシグウスは、自分が記述し​​たアレクサンドリアのコンピュトゥスが 532 年周期であることに気付いていなかったようですが、95 年表が実際の周期ではないことは認識していました。聖ベーダ(7 世紀) は、太陽周期を特定し、メトン周期と太陽周期から復活祭周期を説明した最初の人物であると思われます。

中世西ヨーロッパでは、上記の復活祭の満月の日付（ニサン14日）は、ラテン語の19行の頭韻詩の助けを借りて記憶することができました：^{[65] [66]}

各行の最初の半行には、19年周期の各年の上記の表の復活祭の満月の日付が示されています。2番目の半行には、その年の復活祭の満月の日が、同時期の3月24日の平日から何日目かを示す、週日規則が示されています。^[67]週日規則は、3列目にローマ数字で繰り返されています。

平均（北半球）の春分点と月の満ち欠けのコンピューターによる概算値と、天文学の原理に従って計算された真の値との間の不一致により、コンピューターによる計算によるイースターの日付と、教父に帰せられる原理を用いた天文学的方法によって計算されたイースターの仮説上の日付との間に相違が生じることがあります。これらの不一致は「逆説的な」イースターの日付と呼ばれます。^[68]

レギオモンタヌスは1474年の『暦』で、アルフォンソ表に基づいて、1475年から1531年までの期間のニュルンベルクの経度における太陽と月の合の正確な時刻をすべて計算した。その著作の中で、ユリウス暦のイースターが天文学的な新月を使って計算したイースターと一致しない30の例を一覧表にまとめた。18のケースでは日付が1週間、7のケースでは35日、5のケースでは28日異なっていた。^[68]

ルートヴィヒ・ランゲは、グレゴリオ暦のコンピュトゥスを用いて、イースターの逆説的な日付を様々なタイプで調査し、分類した。^[69]天文学的計算による最初の春分の満月が日曜日で、コンピュトゥスがイースターと同じ日曜日を示している場合、祝われるイースターは、仮定上の「天文学的に」正しいイースターと比較して1週間早く起こる。ランゲはこのケースを負の週（ヘブドマダル）パラドックス（H-パラドックス）と呼んだ。天文学的計算により最初の春分の満月が土曜日であり、イースターが直後の日曜日ではなく1週間後に祝われる場合、コンピュトゥスによれば、イースターは天文学的結果と比較して1週間遅れて祝われる。彼はこのようなケースを正の週（ヘブドマダル）パラドックス（H+パラドックス）に分類した。^[69]

天文学上の春分点と計算春分点の近似値に差がある場合、食い違いはさらに大きくなります。天文学上の春分点の満月が計算春分点の満月より前になると、イースターは4週間または5週間遅れて祝われることになります。このようなケースは、ランゲによれば、正の春分点のパラドックス（A+パラドックス）と呼ばれます。逆に、計算春分点の満月が天文学上の春分点の満月より1か月前になると、イースターは4週間または5週間早く祝われることになります。このようなケースは、負の春分点のパラドックス（A−パラドックス）と呼ばれます。^[69]

春分と満月の順序は地理的な経度に依存しないため、春分と満月の順序は常に地球全体に当てはまります。対照的に、週ごとのパラドックスはほとんどの場合局所的であり、土曜日と日曜日の間の日付の変化は地理的な経度に依存するため、地球の一部にのみ当てはまります。コンピューターによる計算は、ランゲがグレゴリオ経度と呼んだヴェネツィアの経度に有効な天文表に基づいています。^[69]

21世紀と22世紀には^{[69] [70]、}負の週次逆説的イースターの日付は2049年、2076年、2106年、2119年（世界）、2133年、2147年、2150年、2170年、2174年に発生します。正の週次逆説的日付は2045年、2069年、2089年（世界）、2096年に発生します。正の春分逆説的日付は2019年、2038年、2057年、2076年、2095年、2114年、2133年、2152年、2171年、2190年に発生します。^[70]

2076年と2133年には、二重のパラドックス（正の春分点と負の週）が発生する。負の春分点のパラドックスは非常にまれである。西暦4000年までに、イースターが5週間早すぎる2353年とイースターが4週間早すぎる2372年の2回のみ発生する。^[70]

表を使わずにイースターアルゴリズムを表現する場合、単純な機械式または電子式計算機の使用と互換性があるため、整数演算の加算、減算、乗算、除算、剰余、代入のみを使用するのが通例でした。この制限は、条件演算子と条件文、および参照表が使用できるコンピュータプログラミングには望ましくありません。3 月の日 (22 日から 56 日) から日と月 (3 月 22 日から 4 月 25 日) への変換が として実行できることは容易にわかりますif (DoM > 31) {Day=DoM-31, Month=Apr} else {Day=DoM, Month=Mar}。さらに重要なことは、このような条件を使用すると、グレゴリオ暦の計算の核心も簡素化されることです。

1800年、数学者カール・フリードリヒ・ガウスは、ユリウス暦またはグレゴリオ暦のイースターの日付を計算するためのこのアルゴリズムを発表しました。^{[71] [72]}彼は1816年に変数pを計算する式を修正しました。^[73] 1800年に、彼は誤ってp = floor（⁠け/3⁠ ) = ⌊ ⁠け/3⁠ ⌋。1807年に彼は条件(11 M + 11) mod 30 < 19をより単純なa > 10に置き換えた。1811年に彼はアルゴリズムを18世紀と19世紀だけに限定し、前述の状況では4月26日は常に4月19日に、4月25日は4月18日に置き換えられると述べた。1816年に彼は元のバージョンでpが間違っていることを指摘してくれた学生のピーター・パウル・ティッテルに感謝した。 ^[74]

ガウスのイースター アルゴリズムの分析は2 つの部分に分かれています。最初の部分は月の軌道のおおよその追跡で、2 番目の部分は満月の次の日曜日を取得するための正確な決定論的オフセットです。

最初の部分は、変数d、つまり満月の翌日までの日数 (3 月 22 日から数える) を決定することです。dの式には、19 aと定数Mという項が含まれます。a は、19 年周期の月の満ち欠けサイクルにおける年の位置です。このサイクルでは、地球に対する月の動きが 19 暦年ごとに繰り返されると仮定します。昔は、19 暦年は 235 太陰月 (メトン周期) に等しく、235 太陰月は約 6939.6813 日で、19 年は平均 6939.6075 日なので、これは驚くほど近い値です。

式 (19 a + M ) mod 30 は、M が世紀ごとに決定されるため、各世紀内で 19 年ごとに繰り返されます。19 年周期は 19 aの「19」とは何の関係もありません。別の「19」が現れるというのは単なる偶然です。19 aの「19」は、暦年と太陰月の整数との不一致を修正することによって生じます。

暦年（うるう年以外）は 365 日で、太陰月の整数で最も近いのは12 × 29.5 = 354日です。差は 11 日で、翌年の満月の発生を 11 日戻すことで修正する必要があります。しかし、モジュロ 30 の計算では、11 を引くことは 19 を加えることと同じなので、追加された年ごとに 19 が追加され、つまり 19 aになります。

19 a + MのMは、各世紀の初めに正しい開始点を設定するために役立ちます。これは、その世紀までの閏年の数を計算することによって決定されます。ここで、k は100 年ごとに閏日を禁止し、q は400 年ごとに閏日を再インストールし、4 年ごとに閏日パターンを禁止する合計数として( k − q )を生成します。したがって、発生しなかった閏日を修正するには、( k − q )を追加します。 p は、月の軌道が整数で完全に記述できないことを修正します。

イースターを決定するために満月と見なされる日数の範囲は、3 月 21 日 (春分の日) から 4 月 18 日までの 29 日間です。ただし、変数dと定数Mはどちらも 0 から 29 までの範囲の整数値を取ることができるため、30 を法とする計算では範囲は 30 になります。したがって、重要な場合には調整が行われます。d が決定したら、これは 3 月 22 日 (春分の日と一致する、許容される最も早い満月の翌日) に加算する日数となり、満月の翌日の日付が算出されます。

したがって、イースターの最初の許容される日付は3 月 22 日 + d + 0です。イースターは教会の満月の後の日曜日に祝われるためです。つまり、満月が 3 月 21 日の日曜日に当たる場合、イースターはその 7 日後に祝われ、満月が 3 月 21 日の土曜日に当たる場合、イースターは翌週の 3 月 22 日になります。

2 番目の部分は、 e を見つけることです。これは、日付オフセットdに追加して日曜日にするために追加する必要があるオフセット日数です。1 週間は 7 日なので、オフセットは 0 から 6 の範囲で、7 を法とする計算によって決定する必要があります。e は、 2 b + 4 c + 6 d + N mod 7を計算することで決定されます。これらの定数は最初は奇妙に思えるかもしれませんが、 mod 7 計算で操作することを思い出せば、非常に簡単に説明できます。まず、2 b + 4 cにより、平日が毎年ずれるという事実に対処できます。

通常の 1 年は 365 日ですが、52 × 7 = 364なので、52 週間では 1 日足りません。したがって、毎年、曜日は「1 日ずつ進みます」。つまり、ある年の 5 月 6 日が水曜日だった場合、翌年は木曜日になります (閏年は考慮しません)。bとc はどちらも 1 つずつ増え、1 年進みます (モジュロ効果は考慮しません)。したがって、式2 b + 4 cは6 ずつ増えますが、これは 1 mod 7 を引くことと同じであることに注意してください。

1 を引くことは、通常の年に必要なこととまったく同じです。曜日が 1 日進むため、正しい曜日 (つまり日曜日) に到達するには 1 日少なく補正する必要があります。閏年の場合、b は0 になり、2 b は8 ではなく 0 になります。これは mod 7 では、さらに 1 を引くことになり、その年の閏日後の曜日が 2 日進むため、合計で 2 を引くことになります。

6 dという式も同様に機能します。d を何らかの数値yだけ増やすと、今年は満月が y 日遅くなるため、 y 日少なく補正する必要があります。 6 d を加算することは、 d を減算することと同じ mod 7 であり、目的の操作です。したがって、ここでも、剰余算術の下で加算することによって減算を行います。全体として、変数eには、満月の日の翌日から最も近い次の日曜日までのステップが、0 日から 6 日先まで含まれます。定数N は、各世紀の計算の開始点を提供し、グレゴリオ暦の作成時に 1 年 1 月 1 日が暗黙的にどこに位置していたかによって異なります。

式d + e は、3 月 22 日から 4 月 26 日の可能性のあるイースターの日曜日を指す 0 から 35 の範囲のオフセットを生成できます。歴史的互換性のため、オフセット 35 のすべてと 34 の一部は 7 で減算され、満月の日に 1 つ前の日曜日に戻ります (実質的に負のeとして -1 を使用します)。つまり、4 月 26 日はイースターの日曜日ではなく、4 月 19 日は過剰に表されます。これらの後者の修正は歴史的理由のみによるもので、数学的アルゴリズムとは関係ありません。オフセット 34 は、19 年周期の他の場所で d = 28 およびd = 29 の場合 (その場合のみ) に調整されます。

1583 年以前のイースターにガウスのイースター アルゴリズムを使用することは、歴史的に無意味です。なぜなら、その年以前はグレゴリオ暦がイースターの決定に使用されていなかったからです。遠い将来にこのアルゴリズムを使用することは疑問です。遠い将来にさまざまな教会がイースターをどのように定義するかは私たちには何も分からないからです。イースターの計算は、実際の天体の動きや歴史上の明白な事実ではなく、合意と慣習に基づいています。

「ニューヨーク特派員」が1876年にグレゴリオ暦のイースターを決定するこのアルゴリズムをネイチャー^{誌に提出した。 [74] [75]} このアルゴリズムは何度も再版されており、例えば1877年にサミュエル・ブッチャーが『The Ecclesiastical Calendar』、^[76] 1916年にアーサー・ダウニングが『The Observatory』、^[77] 1922年にH・スペンサー・ジョーンズが『General Astronomy』、^[78] 1977年に『Journal of the British Astronomical Association』、^[79] 1977年に『The Old Farmer's Almanac』、1988年にピーター・ダフェット・スミスが『Practical Astronomy with your Calculator』、1991年にジーン・メーウスが『Astronomical Algorithms 』で発表している。^[80] Meeusの本の引用により、これは「Meeus/Jones/Butcher」アルゴリズムとも呼ばれます。

このアルゴリズムでは、変数n は月（n = 3 の場合は 3 月、n = 4 の場合は 4 月）を示し、日は ( o + 1) として取得されます。 1961 年にNew Scientist 誌は、いくつかの変更を組み込んだNatureアルゴリズムのバージョンを発表しました。 ^[81]変数g は、ガウスの 1816 年の補正を使用して計算され、変数fが削除されました。 いくつかの整理の結果、変数o（イースターの日付を取得するには 1 を追加する必要があります）が、日付を直接示す 変数pに置き換えられました。

Jean Meeus は、著書「天文学アルゴリズム」 (1991 年、69 ページ) で、ユリウス暦でユリウス暦イースターを計算する次のアルゴリズムを紹介しています。ユリウス暦は、現代世界のほとんどの地域で民間暦として使用されているグレゴリオ暦ではありません。後者の暦で東方正教会のイースターの日付を取得するには、ユリウス暦の日付に 13 日 (1900 年から 2099 年まで) を追加して、最後の行の日付を作成する必要があります。(西暦 2099 年までは、ユリウス暦 3 月 21 日はグレゴリオ暦 4 月 3 日に相当します。)

• クリスティアン・ツェラー – ドイツの数学者
• 十字架刑の闇 – 暗い空のキリスト教福音書のエピソード
• イースターの日付の改革 – 祭りの日付を変更する提案

• イースターを計算するための Excel スプレッドシートの数式と関数
• ベーデ尊者全集 Vol. 6 ( De TemporibusおよびDe Temporum Rationeを含む)
• 1911年のカトリック百科事典におけるエパクトに関する項目
• グレゴリオ暦改革の原文（ラテン語）とロドルフ・オーデットによるフランス語訳
• 豊富な参考文献と便利なリンクを備えたイースター計算機
• イースター計算機を備えた経度局の暦サイト（325 から 2500 まで有効）
• Holger Oertel によるカレンダー ページと計算機
• Clive Feather による、簡単な説明、いくつかの表、別のアルゴリズムが記載されたページ
• (ドイツ語) Nikolaus A. Bär による広範なカレンダー サイトとカレンダーおよびイースター計算機。Wayback Machineで 2003 年 9 月 6 日にアーカイブされました。
• グレゴリオ暦と太陰暦の説明（表形式よりも改良された手順）デビッド・マドーレ著
• ディオニシウス・エクシグウスのイースターテーブル
• 大英図書館の写本から引用した手形記憶術コンピュータス図
• サンガレン、Stiftsbibliothek、Codex Sangallensis 378 (11 世紀) p. 28. 詩「ノナエ・アプリリス・ノルント・キノス」が収録されている。
• ロナルド・W・マレンによる、326年から4099年までのイースターの日付を決定するための簡略化された方法
• 1750 年のカレンダー (新様式) 法のテキスト。これは、現在までに修正されたグレゴリオ暦を導入する英国議会の法律です。8599 年までのイースターを計算するための表が含まれています。可決された法律と比較してください。
• Computuslat ラテン語の計算アルゴリズム、テキスト、表、図、カレンダーを含む中世の写本のデータベース。

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