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M理論は物理学において、すべての矛盾のないバージョンの超弦理論を統一する理論である。エドワード・ウィッテンが1995年に南カリフォルニア大学で開催された弦理論会議で初めてそのような理論の存在を推測した。ウィッテンの発表は、第二次超弦革命として知られる活発な研究活動のきっかけとなった。ウィッテンの発表以前に、弦理論家は5つのバージョンの超弦理論を特定していた。これらの理論は当初非常に異なっているように見えたが、多くの物理学者の研究は、これらの理論が複雑かつ重要な形で関連していることを示した。物理学者は、一見異なる理論がS双対性およびT双対性と呼ばれる数学的変換によって統一できることを発見した。ウィッテンの予想は、これらの双対性の存在と、弦理論と11次元超重力と呼ばれる場の理論との関係に部分的に基づいていた。
M理論の完全な定式化は知られていないが、そのような定式化はブレーンと呼ばれる2次元および5次元の物体を記述し、低エネルギーでの11次元の超重力によって近似されるはずである。M理論を定式化する現代の試みは、通常、行列理論またはAdS/CFT対応に基づいている。ウィッテンによれば、Mは好みに応じて「魔法」、「謎」、「膜」のいずれかを表すべきであり、タイトルの真の意味は理論のより基本的な定式化が判明したときに決定されるべきである。[1]
M 理論の数学的構造の調査は、物理学と数学において重要な理論的成果を生み出しました。より推測的に言えば、M 理論は、自然界のあらゆる基本的な力の統一理論を開発するための枠組みを提供する可能性があります。M 理論を実験に結び付ける試みは、通常、その余分な次元をコンパクト化して4 次元世界の候補モデルを構築することに焦点を当てていますが、これまでのところ、高エネルギー物理学の実験で観測されるような物理学を生み出すことが検証されたものはありません。
背景
量子重力と量子ひも
現代物理学における最も深い問題の一つは、量子重力の問題である。重力に関する現在の理解は、古典物理学の枠組みの中で定式化されたアルバート・アインシュタインの一般相対性理論に基づいている。しかし、非重力の力は、確率に基づいて物理現象を記述する根本的に異なる形式である量子力学の枠組みの中で記述される。[a]一般相対性理論と量子力学の原理を調和させるためには、量子重力理論が必要であるが、[b]量子理論の通常の規定を重力に適用しようとすると困難が生じる。[c]
弦理論は、重力と量子力学を調和させようとする理論的枠組みである。弦理論では、粒子物理学の点状の粒子が、弦と呼ばれる1 次元の物体に置き換えられる。弦理論は、弦が空間を伝播し、互いに相互作用する方法を説明する。弦理論の特定のバージョンでは、弦は 1 種類しかなく、通常の弦の小さなループまたはセグメントのように見え、さまざまな方法で振動する。弦スケールよりも大きな距離スケールでは、弦は通常の粒子のように見え、質量、電荷、およびその他の特性は弦の振動状態によって決定される。このように、さまざまな素粒子はすべて振動する弦と見なすことができます。弦の振動状態の 1 つから、重力を運ぶ量子力学的粒子である重力子が発生します。 [d]
弦理論には、タイプ I、タイプ IIA、タイプ IIB、および 2 種類のヘテロティック弦理論 ( SO (32)とE 8 × E 8 ) という複数のバージョンがあります。異なる理論では異なるタイプの弦が許容され、低エネルギーで発生する粒子は異なる対称性を示します。たとえば、タイプ I 理論には開いた弦 (端点のある線分) と閉じた弦 (閉じたループを形成する) の両方が含まれますが、タイプ IIA と IIB には閉じた弦のみが含まれます。[2]これら 5 つの弦理論はそれぞれ、M 理論の特別な極限ケースとして生じます。この理論は、弦理論の前身と同様に、量子重力理論の一例です。これは、量子力学のルールに従う、よく知られている重力のような力を記述します。 [3]
次元数
日常生活では、高さ、幅、奥行きという3つの次元の空間が一般的です。アインシュタインの一般相対性理論では、時間を3つの空間次元と同等の次元として扱います。一般相対性理論では、空間と時間は別々の実体としてモデル化されるのではなく、3つの空間次元と1つの時間次元からなる4次元時空に統合されます。この枠組みでは、重力現象は時空の幾何学の結果であると見なされます。[4]
宇宙は4次元時空でうまく記述されているにもかかわらず、物理学者が他の次元の理論を検討する理由はいくつかあります。場合によっては、異なる次元数で時空をモデル化することで、理論が数学的に扱いやすくなり、計算を実行して一般的な洞察をより簡単に得ることができます。[e]また、2次元または3次元の時空理論が凝縮物質物理学の現象を記述するのに役立つ場合もあります。[5]最後に、実際には4次元を超える時空が存在する可能性があるシナリオが存在しますが、それでも検出を逃れています。[6]
弦理論とM理論の注目すべき特徴の1つは、これらの理論が数学的な一貫性を保つために時空の余分な次元を必要とすることである。弦理論では、時空は10次元（空間次元9つと時間次元1つ）である。一方、M理論では11次元（空間次元10次元、時間次元1次元）である。したがって、これらの理論を使用して実際の物理現象を記述するには、これらの余分な次元が実験で観察されないシナリオを想像する必要がある。[7]
コンパクト化は、物理理論における次元の数を変更する方法の 1 つです。[f]コンパクト化では、余分な次元の一部が「閉じて」円を形成すると想定されます。[8]これらの丸まった次元が非常に小さくなる限界では、時空の次元数が実質的に少なくなる理論が得られます。これに対する標準的な類推は、庭のホースなどの多次元オブジェクトを考えることです。ホースを十分な距離から見ると、長さという 1 つの次元しか持たないように見えます。しかし、ホースに近づくと、ホースには 2 番目の次元、つまり円周が含まれていることがわかります。したがって、ホースの表面を這うアリは 2 次元で動きます。[g]
二重性
M理論の異なる極限として生じる理論は、非常に非自明な方法で関連していることが判明しています。これらの異なる物理理論の間に存在し得る関係の1つは、S双対性と呼ばれます。これは、ある理論で強く相互作用する粒子の集合が、場合によっては、まったく異なる理論で弱く相互作用する粒子の集合として見ることができるという関係です。大まかに言えば、粒子の集合は、頻繁に結合して崩壊する場合は強く相互作用し、まれにしか結合して崩壊しない場合は弱く相互作用すると言われています。タイプIの弦理論は、 S双対性によってSO（32）ヘテロティック弦理論と同等であることが判明しています。同様に、タイプIIBの弦理論は、 S双対性によって非自明な方法でそれ自体と関連しています。[10]
異なる弦理論間のもう 1 つの関係は、T 双対性です。ここでは、円形の余剰次元の周りを伝搬する弦について考えます。T 双対性は、半径Rの円の周りを伝搬する弦は、半径1/ Rの円の周りを伝搬する弦と同等であり、1 つの記述のすべての観測可能な量が双対記述の量と同一視されるという意味で同等であるとしています。たとえば、弦は円の周りを伝搬するときに運動量を持ち、円の周りを 1 回以上巻き付くこともできます。弦が円の周りを巻き付く回数は、巻き数と呼ばれます。1 つの記述で弦が運動量pと巻き数n を持つ場合、双対記述では運動量nと巻き数p を持ちます。たとえば、タイプ IIA 弦理論は、T 双対性を介してタイプ IIB 弦理論と同等であり、2 つのバージョンのヘテロティック弦理論も T 双対性によって関連しています。[10]
一般的に、双対性という用語は、一見異なる 2 つの物理システムが、自明ではない方法で同等であることが判明する状況を指します。2 つの理論が双対性によって関連している場合、それは、一方の理論が何らかの方法で変換され、もう一方の理論とまったく同じように見えることを意味します。この場合、2 つの理論は変換の下で互いに双対であると言われます。言い換えると、2 つの理論は同じ現象を数学的に異なる方法で記述したものです。[11]
超対称性
M理論で重要な役割を果たすもう一つの重要な理論的アイデアは、超対称性である。これは、特定の物理理論において、ボソンと呼ばれる粒子のクラスとフェルミオンと呼ばれる粒子のクラスの間に存在する数学的関係である。大まかに言えば、フェルミオンは物質の構成要素であり、ボソンは粒子間の相互作用を媒介する。超対称性を持つ理論では、各ボソンにはフェルミオンである対応物があり、逆もまた同様である。超対称性が局所対称性として課されると、重力を含む量子力学理論が自動的に得られる。そのような理論は超重力理論と呼ばれる。[12]
超対称性の考え方を取り入れた弦理論は、超弦理論と呼ばれます。超弦理論にはいくつかの異なるバージョンがありますが、すべてM理論の枠組みに含まれています。低エネルギーでは、超弦理論は、タイプI、タイプIIA、タイプIIBの超重力として知られる10次元の3つの超重力のいずれかで近似されます。同様に、M理論は、低エネルギーでは11次元の超重力で近似されます。[3]
ブランス
弦理論や超重力理論などの関連理論では、ブレーンは点粒子の概念を高次元に一般化した物理的オブジェクトです。たとえば、点粒子は次元 0 のブレーンと見なすことができますが、弦は次元 1 のブレーンと見なすことができます。高次元のブレーンを考えることもできます。次元pでは、これらはpブレーンと呼ばれます。ブレーンは、量子力学のルールに従って時空を伝播できる動的オブジェクトです。質量や電荷などの他の属性を持つことができます。pブレーンは、その世界体積と呼ばれる( p + 1)次元の体積を時空に広げます。物理学者は、ブレーンの世界体積に存在する電磁場に類似したフィールドを研究することがよくあります。ブレーンという単語は、2 次元ブレーンを指す「膜」という単語に由来しています。[13]
弦理論では、素粒子を生み出す基本的な対象は 1 次元弦です。M 理論で説明される物理現象はまだ十分に理解されていませんが、物理学者はこの理論が 2 次元および 5 次元の膜を説明できることを知っています。M 理論の現在の研究の多くは、これらの膜の特性をより深く理解しようとしています。[h]
歴史と発展
カルツァ＝クライン理論
20世紀初頭、アルバート・アインシュタインやヘルマン・ミンコフスキーなどの物理学者や数学者は、物理世界を記述するために4次元幾何学の使用を開拓しました。[14]これらの努力は、重力を4次元時空の幾何学に関連付けるアインシュタインの一般相対性理論の定式化に至りました。[15]
一般相対性理論の成功は、他の力を説明するために高次元幾何学を適用する取り組みにつながった。1919年、テオドール・カルツァの研究は、5次元時空に移行することで、重力と電磁気を1つの力に統合できることを示した。[15]このアイデアは物理学者オスカー・クラインによって改良され、カルツァによって提案された追加の次元は、半径約10 −30 cmの円の形をとることができると示唆した。[16]
カルツァ＝クラインの理論と、それに続くアインシュタインの統一場理論の試みは、決して完全には成功しなかった。その理由の一部は、カルツァ＝クラインの理論が、存在が証明されたことのない粒子（放射子）を予言したこと、および電子の質量と電荷の比率を正しく予言できなかったことにある。さらに、これらの理論は、他の物理学者が量子力学を発見し始めたのとちょうど同じ時期に開発された。量子力学は、最終的には電磁力などの既知の力や、今世紀中頃に発見された新しい核力を説明するのに成功した。したがって、新しい次元という概念が再び真剣に受け止められるようになるまでには、ほぼ50年かかった。[17]
超重力に関する初期の研究
新しい概念と数学的ツールによって一般相対性理論に新たな洞察がもたらされ、1960年代から1970年代にかけて一般相対性理論の黄金時代として知られる時代が到来しました。[18] 1970年代半ばには、物理学者らは一般相対性理論と超対称性を組み合わせた高次元理論、いわゆる超重力理論の研究を始めました。[19]
一般相対性理論は時空の可能な次元にいかなる制限も設けていない。理論は典型的には4次元で定式化されるが、任意の次元数の重力場について同じ方程式を書くことができる。超重力は次元数に上限を設けるため、より制限的である。[12] 1978年、ヴェルナー・ナームの研究は、一貫した超対称理論を定式化できる最大の時空次元は11であることを示した。[20]同年、エコール・ノルマル・シュペリュールのウジェーヌ・クレマー、ベルナール・ジュリア、ジョエル・シェルクは、超重力は11次元まで許容するだけでなく、この最大次元数で最もエレガントであることを示した。[21] [22]
当初、多くの物理学者は、11次元の超重力をコンパクト化することで、4次元世界の現実的なモデルを構築できるのではないかと期待していました。そのようなモデルは、電磁気、強い核力と弱い核力、重力という自然界の4つの基本的な力を統一的に説明できると期待されていました。しかし、この構想にさまざまな欠陥が発見されると、11次元の超重力への関心はすぐに薄れていきました。問題の1つは、物理法則が時計回りと反時計回りを区別しているように見えることであり、これはカイラリティと呼ばれる現象です。エドワード・ウィッテンらは、このカイラリティ特性は11次元からコンパクト化することでは容易に導き出せないことを観察しました。[22]
1984 年の第一次超弦理論革命では、多くの物理学者が素粒子物理学と量子重力の統一理論として弦理論に目を向けた。超重力理論とは異なり、弦理論は標準モデルのカイラリティを考慮でき、量子効果と整合した重力理論を提供した。[22] 1980 年代と 1990 年代に多くの物理学者が魅了された弦理論のもう 1 つの特徴は、その独自性の高さである。通常の素粒子理論では、任意のラグランジアンによって古典的な振る舞いが記述される素粒子の任意の集合を考えることができる。弦理論では、可能性ははるかに制限されている。1990 年代までに、物理学者は、理論の整合した超対称バージョンは 5 つしかないと主張していた。[22]
弦理論間の関係
一貫性のある超弦理論はほんの一握りしかなかったが、なぜ一貫した定式化が一つだけではないのかは謎のままだった。[22]しかし、物理学者が弦理論をより詳しく調べ始めると、これらの理論は複雑かつ重要な方法で関連していることが判明した。[23]
1970年代後半、クラウス・モントーネンとデイヴィッド・オリーブは、ある物理理論の特殊な性質について予想しました。[24]彼らの予想をさらに明確にしたものが、 N = 4超対称ヤン・ミルズ理論と呼ばれる理論に関するものです。これは、原子核を構成するクォークやグルーオンに形式的に類似した理論上の粒子を記述するものです。この理論の粒子が相互作用する強さは、結合定数と呼ばれる数値で測定されます。現在モントーネン・オリーブ双対性として知られているモントーネンとオリーブの結果によると、結合定数gを持つN = 4超対称ヤン・ミルズ理論は、結合定数1/ gを持つ同じ理論と同等です。言い換えれば、強く相互作用する粒子のシステム (大きな結合定数) は、弱く相互作用する粒子のシステム (小さな結合定数) と同等の記述を持ち、その逆もまたスピンモーメントによって成り立ち ます[25] 。
1990年代には、数人の理論家がモントネン・オリーブ双対性を、異なる弦理論を結びつけるS双対性関係に一般化した。アショク・センは、 4次元のヘテロティック弦の文脈でS双対性を研究した。[26] [27] クリス・ハルとポール・タウンゼントは、結合定数が大きいIIB型弦理論は、S双対性を介して、結合定数が小さい同じ理論と同等であることを示した。[28]理論家らはまた、異なる弦理論がT双対性によって関連している可能性があることを発見した。この双対性は、完全に異なる時空ジオメトリ上を伝播する弦が物理的に同等である可能性があることを意味している。[29]
膜と五つの膜
弦理論は、ゼロ次元の点粒子を弦と呼ばれる一次元オブジェクトに置き換えることで、通常の粒子物理学を拡張します。1980年代後半には、理論家が粒子を2次元の超膜またはブレーンと呼ばれる高次元オブジェクトに置き換える他の拡張を定式化しようとするのは自然なことでした。そのようなオブジェクトは、1962年にポール・ディラックによって早くも検討されており、[30] 1980年代に少数ながら熱心な物理学者のグループによって再検討されました。[22]
超対称性は、膜の可能な次元数を厳しく制限します。1987 年、エリック・ベルグショフ、エルギン・セズギン、ポール・タウンゼントは、11 次元の超重力には 2 次元の膜が含まれることを示しまし た。[31]直感的には、これらの物体は 11 次元の時空を伝わるシートまたは膜のように見えます。この発見の直後、マイケル・ダフ、ポール・ハウ、稲見健夫、ケロッグ・ステッレは、次元の 1 つが円形に丸まった 11 次元の超重力の特定のコンパクト化を検討しました。[32]この設定では、膜が円形の次元を包み込むことを想像できます。円の半径が十分に小さければ、この膜は 10 次元時空内の弦のように見えます。実際、ダフと彼の共同研究者は、この構成がタイプ IIA の超弦理論に現れる弦とまったく同じであることを示しました。[25]
1990年、アンドリュー・ストロミンガーは、 10次元で強く相互作用する弦は、5次元の弱く相互作用する膜で同等の記述ができるかもしれないという同様の結果を発表しました。[33]当初、物理学者は2つの重要な理由からこの関係を証明できませんでした。1つは、モントネン-オリーブの双対性はまだ証明されておらず、ストロミンガーの予想はさらに根拠が薄かったことです。もう1つは、5次元膜の量子特性に関連する多くの技術的な問題がありました。[34]これらの問題の最初のものは、1993年にアショク・センが、モントネンとオリーブの研究によって予測された電荷と磁荷の両方を持つ物体の存在を必要とする物理理論を確立したときに解決されました。[35]
この進歩にもかかわらず、弦と 5 次元ブレーンの関係は、理論家がブレーンを量子化できなかったため、推測の域を出ませんでした。1991 年から、マイケル ダフ、ラムジ クリー、ジャンシン ルー、ルーベン ミナシアンを含む研究者チームは、10 次元のうち 4 次元が丸まる弦理論の特別なコンパクト化を検討しました。これらの余分な次元を 5 次元ブレーンが包み込むと考えると、ブレーンは 1 次元弦のように見えます。このようにして、弦とブレーンの推測された関係は、弦と弦の関係に縮小され、後者は既に確立された理論的手法を使用してテストできるようになりました。[29]
第二次超弦革命
1995 年に南カリフォルニア大学で開催された弦理論会議で、高等研究所のエドワード・ウィッテンは、5 つの超弦理論はすべて、実は 11 次元時空における単一の理論の異なる極限ケースにすぎないという驚くべき提案を行った。ウィッテンの発表は、弦理論における S および T 双対性と 2 次元および 5 次元の膜の出現に関するこれまでの結果をすべてまとめたものである。[36]ウィッテンの発表から数か月の間に、インターネット上には、この新しい理論が膜を重要な方法で含んでいることを確認する何百もの新しい論文が登場した。[37]今日、この一連の研究は第二次超弦革命として知られている。[38]
ウィッテンの発表後の重要な進展の一つは、弦理論家ペトル・ホラヴァと1996年にウィッテンが行った研究である。[39] [40]ウィッテンとホラヴァは、2つの10次元境界要素を持つ特殊な時空幾何学上のM理論を研究した。彼らの研究は、M理論の数学的構造を明らかにし、M理論を現実世界の物理学に結び付ける可能性のある方法を示唆した。[41]
用語の由来
当初、一部の物理学者はこの新しい理論は膜の基礎理論であると主張したが、ウィッテンは膜の理論における役割に懐疑的だった。1996年の論文で、ホラヴァとウィッテンは次のように書いている。
11次元理論は超膜理論であると提案されているが、その解釈を疑う理由がいくつかあるため、我々はそれをM理論と呼び、Mと膜の関係については将来に委ねることにする。[39]
M理論の真の意味と構造が理解されていないため、ウィッテンは、Mは好みに応じて「魔法」、「神秘」、「膜」のいずれかを表すべきであり、タイトルの真の意味は理論のより基本的な定式化が判明したときに決定されるべきだと示唆した。[1]数年後、彼は「同僚はそれが実際には膜を表していることを理解してくれるだろうと思った。残念ながら、それは人々を混乱させた」と述べた。[42]
行列理論
BFSSマトリックスモデル
数学において、行列とは数値やその他のデータの長方形の配列である。物理学において、行列モデルとは、数学的定式化において行列の概念が重要な意味を持つ特定の種類の物理理論である。行列モデルは、量子力学の枠組み内で行列の集合の挙動を記述する。[43] [44]
行列モデルの重要な例の 1 つは、1997年にTom Banks、Willy Fischler、Stephen Shenker、Leonard Susskindによって提案されたBFSS 行列モデルです。この理論は、9 つの大きな行列の集合の挙動を記述します。最初の論文では、これらの著者は、この行列モデルの低エネルギー限界が 11 次元の超重力によって記述されることなどを示しました。これらの計算により、BFSS 行列モデルは M 理論とまったく同じであると提案されました。したがって、BFSS 行列モデルは、M 理論の正しい定式化のプロトタイプとして、また比較的単純な設定で M 理論の特性を調査するためのツールとして使用できます。[43] [説明が必要]
非可換幾何学
幾何学では、座標を導入すると便利な場合が多い。例えば、ユークリッド平面の幾何学を研究するためには、平面上の任意の点と一対の軸の間の距離として座標xとy を定義する。通常の幾何学では、点の座標は数値であるため、掛け算することができ、2 つの座標の積は掛け算の順序に依存しない。つまり、xy = yxである。この掛け算の性質は交換法則として知られており、幾何学と座標の交換代数との関係は、現代の幾何学の多くにとって出発点となっている。[45]
非可換幾何学は、この状況を一般化しようとする数学の一分野である。通常の数を扱うのではなく、乗算が交換法則を満たさない行列などの類似のオブジェクト（つまり、xyがyxに必ずしも等しくないオブジェクト）を考慮する。これらの非可換オブジェクトは、より一般的な「空間」の概念上の座標であると想定し、通常の幾何学との類似性を利用して、これらの一般化された空間に関する定理を証明する。[46]
1998年の論文で、アラン・コネス、マイケル・R・ダグラス、アルバート・シュワルツは、行列モデルとM理論のいくつかの側面が、時空上の座標が可換性を満たさない特殊な物理理論である非可換量子場理論によって記述されることを示した。 [44]これにより、一方では行列モデルとM理論、他方では非可換幾何学とのつながりが確立された。これはすぐに、非可換幾何学とさまざまな物理理論との間の他の重要なつながりの発見につながった。[47] [48]
AdS/CFT通信
概要
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量子力学を、空間と時間に広がる電磁場などの物理的対象に適用することを量子場理論といいます。[i]素粒子物理学では、量子場理論は、基本場の励起としてモデル化される素粒子を理解するための基礎となります。量子場理論は、凝縮物質物理学のあらゆる分野で、準粒子と呼ばれる粒子のような対象をモデル化するためにも使われています。[j]
M理論を定式化し、その特性を研究するための1つのアプローチは、反ド・ジッター/共形場理論（AdS/CFT）対応によって提供される。 1997年後半にフアン・マルダセナによって提案されたAdS/CFT対応は、M理論が場合によっては量子場理論と同等であることを意味する理論的結果である。[49]弦理論とM理論の数学的構造への洞察を提供することに加えて、AdS/CFT対応は、従来の計算手法が効果を発揮しない領域における量子場理論の多くの側面に光を当てた。[50]
AdS/CFT 対応では、時空の幾何学は反ド・ジッター空間と呼ばれるアインシュタイン方程式の真空解によって記述されます。[51]非常に基本的な言葉で言えば、反ド・ジッター空間は、点間の距離の概念 (計量)が通常のユークリッド幾何学の距離の概念とは異なる時空の数学モデルです。これは、左に示すように円盤として見ることができる双曲空間と密接に関連しています。 [52]この画像は、三角形と正方形による円盤のモザイクを示しています。この円盤の点間の距離は、すべての三角形と正方形が同じサイズで、円形の外側の境界が内部のどの点からも無限に離れているように定義できます。[53]
ここで、各ディスクが特定の時間における宇宙の状態を表す双曲ディスクのスタックを想像してください。結果として得られる幾何学的オブジェクトは、3次元の反ド・ジッター空間です。 [52]これは、任意の断面が双曲ディスクのコピーである固体シリンダーのように見えます。この図では、時間は垂直方向に沿って流れています。このシリンダーの表面は、AdS/CFT対応で重要な役割を果たします。双曲面と同様に、反ド・ジッター空間は、内部のどの点も実際にはこの境界面から無限に離れるように湾曲しています。 [53]
この構成は、2つの空間次元と1つの時間次元のみを持つ仮想宇宙を記述しているが、任意の数の次元に一般化することができる。実際、双曲空間は2つ以上の次元を持つことができ、双曲空間のコピーを「積み重ねる」ことで、反ド・ジッター空間の高次元モデルを得ることができる。[52]
反ド・ジッター空間の重要な特徴は、その境界（3次元反ド・ジッター空間の場合は円筒のように見える）である。この境界の特性の1つは、任意の点の周りの表面上の小さな領域内では、非重力物理学で使用される時空のモデルであるミンコフスキー空間とまったく同じように見えることである。 [54]したがって、「時空」が反ド・ジッター空間の境界によって与えられる補助理論を検討することができる。この観察は、反ド・ジッター空間の境界が量子場理論の「時空」と見なすことができると述べているAdS/CFT対応の出発点である。この量子場理論は、一方の理論の実体と計算をもう一方の理論の対応するものに翻訳するための「辞書」があるという意味で、バルク反ド・ジッター空間上の重力理論と同等であるという主張である。たとえば、重力理論の単一の粒子は、境界理論の粒子の集合に対応する可能性がある。さらに、2つの理論の予測は定量的に同一であるため、重力理論で2つの粒子が衝突する確率が40％であれば、境界理論の対応する集合も衝突する確率が40％になります。[55]
6D (2,0) 超共形場理論
AdS/CFT 対応の特定の実現では、積空間 AdS 7 × S 4上の M 理論は、6 次元境界上のいわゆる(2,0) 理論と同等であると述べられています。 [49]ここで、「(2,0)」は、理論に現れる特定のタイプの超対称性を指します。この例では、重力理論の時空は実質的に 7 次元であり (したがって、AdS 7と表記されます)、さらに 4 つの「コンパクトな」次元があります( S 4因子によってエンコードされます)。現実の世界では、時空は少なくともマクロ的には 4 次元であるため、この対応バージョンは重力の現実的なモデルを提供しません。同様に、双対理論は 6 つの時空次元を持つ世界を記述するため、現実世界のシステムの有効なモデルではありません。[k]
それにもかかわらず、(2,0)理論は量子場の理論の一般的な性質を研究する上で重要であることが証明されている。実際、この理論は数学的に興味深い多くの有効量子場の理論を包含し、これらの理論を関連付ける新しい双対性を示している。例えば、ルイス・アルデイ、ダヴィデ・ガイオット、および立川裕司は、この理論を表面上でコンパクト化することで4次元の量子場の理論が得られ、この理論の物理を表面自体に関連する特定の物理的概念に関連付けるAGT対応と呼ばれる双対性があることを示した。 [56]最近では、理論家たちはこれらのアイデアを拡張して、3次元にコンパクト化することで得られる理論を研究している。[57]
量子場の理論への応用に加えて、(2,0)理論は純粋数学においても重要な成果を生み出している。例えば、ウィッテンが(2,0)理論の存在を利用して、幾何学的ラングランズ対応と呼ばれる数学における推測上の関係を「物理的に」説明した。 [ 58]その後の研究で、ウィッテンは(2,0)理論が数学におけるコバノフホモロジーと呼ばれる概念を理解するために使用できることを示した。[59] 2000年頃にミハイル・コバノフによって開発されたコバノフホモロジーは、結び目のさまざまな形状を研究し分類する数学の分野である結び目理論にツールを提供している。 [60]数学における(2,0)理論の別の応用は、ダヴィデ・ガイオット、グレッグ・ムーア、アンドリュー・ナイツケの研究であり、物理的なアイデアを使用してハイパーケーラー幾何学における新しい結果を導き出した。[61]
ABJM 超共形場理論
AdS/CFT対応の別の実現では、AdS 4 × S 7上のM理論は、3次元のABJM理論と呼ばれる量子場理論と同等であると述べられています。この対応バージョンでは、M理論の7つの次元が丸まり、4つの非コンパクトな次元が残ります。私たちの宇宙の時空は4次元であるため、この対応バージョンは重力のより現実的な説明を提供します。[62]
このバージョンの通信に登場するABJM理論も、さまざまな理由で興味深い。アハロニー、バーグマン、ジャフェリス、マルダセナによって導入されたこの理論は、チャーン・サイモンズ理論と呼ばれる別の量子場理論と密接に関連している。後者の理論は、結び目理論への応用により、1980年代後半にウィッテンによって普及した。[63]さらに、ABJM理論は、凝縮物質物理学で生じる問題を解決するための半現実的な単純化モデルとして役立つ。[62]
現象学
概要
M理論は理論的に非常に興味深いアイデアであるだけでなく、一般相対性理論と素粒子物理学の標準モデルを組み合わせた現実世界の物理学のモデルを構築するための枠組みを提供します。現象学は理論物理学の一分野であり、物理学者はより抽象的な理論的アイデアから自然の現実的なモデルを構築します。弦現象論は弦理論の一部であり、弦とM理論に基づいて素粒子物理学の現実的なモデルを構築しようとします。[64]
通常、このようなモデルはコンパクト化の考え方に基づいています。[l]弦理論または M 理論の 10 次元または 11 次元時空から始めて、物理学者は余剰次元の形状を仮定します。この形状を適切に選択することで、追加の未発見の粒子[65] （通常は既知の粒子の類似体の超対称パートナー）とともに、素粒子物理学の標準モデルにほぼ類似したモデルを構築できます。弦理論から現実的な物理学を導き出す一般的な方法の 1 つは、10 次元のヘテロティック理論から始めて、6 つの余剰時空次元が 6 次元のカラビ・ヤウ多様体のような形状であると仮定することです。これは、数学者のエウジェニオ・カラビとシン・トン・ヤウにちなんで名付けられた特殊な種類の幾何学的オブジェクトです。[66]カラビ・ヤウ多様体は、弦理論から現実的な物理学を抽出する多くの方法を提供します。他の同様の方法を使用して、M 理論に基づく 4 次元世界の物理学にある程度似たモデルを構築できます。[67]
理論的、数学的な困難さ、そしてこれらの理論を実験的に検証するために必要な極めて高いエネルギー（近い将来に技術的に可能な範囲を超える）のため、これらのモデルのいずれかが自然の基本的記述として正しいことを明確に示す実験的証拠は今のところ存在しない。このため、コミュニティの一部はこれらの統一へのアプローチを批判し、これらの問題に関する継続的な研究の価値に疑問を呈している。[68]
コンパクト化について2位多様体
M理論の現象論への一つのアプローチとして、理論家はM理論の7つの余剰次元がG 2多様体のような形をしていると仮定する。これはオックスフォード大学の数学者ドミニク・ジョイスによって構築された特殊な7次元形状である。[69]これらのG 2多様体はまだ数学的に十分に理解されておらず、この事実により物理学者が現象論へのこのアプローチを完全に開発することが困難になっている。[70]
例えば、物理学者や数学者は、空間が滑らかさと呼ばれる数学的性質を持っていると仮定することが多いが、 4次元世界の物理学を回復したい場合、この性質はG 2多様体の場合には仮定できない。もう1つの問題は、 G 2多様体は複素多様体ではないため、理論家は複素解析と呼ばれる数学の分野のツールを使用できないことである。最後に、 G 2多様体の存在、一意性、およびその他の数学的性質については未解決の問題が多く、数学者はこれらの多様体を体系的に探す方法を欠いている。[70]
異質M理論
G 2多様体の難しさのため、M 理論に基づいて現実的な物理学の理論を構築しようとする試みのほとんどは、11 次元時空をコンパクト化するために、より間接的なアプローチをとってきた。ウィッテン、ホラヴァ、バート・オヴルートらが開拓したアプローチの 1 つは、ヘテロティック M 理論として知られている。このアプローチでは、M 理論の 11 次元のうちの 1 つが円のような形をしていると想定する。この円が非常に小さい場合、時空は実質的に 10 次元になる。次に、10 次元のうちの 6 次元がカラビ・ヤウ多様体を形成すると仮定する。このカラビ・ヤウ多様体も小さいとすると、4 次元の理論が残る。[70]
ヘテロティックM理論は、観測可能な宇宙が高次元の周囲空間のブレーン上に存在すると考えられるブレーン宇宙論のモデルを構築するために使用されてきた。また、宇宙インフレーション理論に依存しない初期宇宙の代替理論も生み出した。[70]
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注記
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参照
外部リンク
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