ほぼすべて

数学において、「ほぼすべて」という用語は「無視できる量を除くすべて」を意味します。より正確には、 $X$ は集合であり、「ほぼすべての要素 $X$ 「」は「すべての要素 $X$ しかし、ごくわずかなサブセットに属する $X$ 「無視できる」の意味は数学的な文脈によって異なります。たとえば、有限、可算、またはゼロを意味する場合があります。

対照的に、「ほとんどない」とは「無視できる量」を意味します。つまり、「ほとんどない要素 $X$ 「」は「ごくわずかな量の要素 $X$ 「。

数学のさまざまな分野における意味

一般的な意味

数学では、「ほとんどすべて」は「有限個の要素を除くすべての要素（無限集合の要素）」という意味で使われることがある。^[¹^]^[²^]この用法は哲学でも見られる。^[³^]同様に、「ほとんどすべて」は「可算個の要素を除くすべての要素（不可算集合の要素）」という意味にもなり得る。^[^第1節^]

例：

ほとんどすべての正の整数は10より大きい^。12 . ^{[ 4 ]}^{: 293}
素数のほとんどは奇数である（2だけが例外である）。^{[ 5 ]}
多面体のほとんどすべては不規則な形状をしている（例外は9つしかない。5つの正多面体と4つのケプラー・ポアンソ多面体である）。
Pがゼロでない多項式である場合、ほとんどすべてのx (すべてのxではない場合) に対してP(x) ≠ 0 となります。

測度論における意味

実数について話すとき、「ほとんどすべて」は「空集合を除くすべての実数」を意味することがあります。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ sec 2 ]}同様に、S が実数の集合である場合、「Sのほとんどすべての数」は「空集合を除くSのすべての数」を意味することがあります。 ^{[ 8 ]}実数直線は、1 次元のユークリッド空間と考えることができます。n次元空間 (n は正の整数) のより一般的な場合、これらの定義は「空集合を除くすべての点」[sec 3] または「空集合を除く S のすべての点 (この場合、S は空間内の点の集合) ^」に一般化できます。 [ ^{9 ]さらに}一般的に、「ほとんどすべて」は、測度論の「ほとんど至る所」の意味で使われることがあります。[ ¹⁰^]^[¹¹^]^[^sec⁴^]または、確率論の「ほぼ確実に」の密接に関連する意味で使われることがあります。^[¹¹^]^[^第5節^]

例：

実数直線のような測度空間では、可算集合は空集合である。有理数の集合は可算集合であるため、ほとんどすべての実数は無理数である。^{[ 12 ]}
ゲオルク・カントールの最初の集合論の論文は、代数的数の集合も可算であることを証明したので、ほとんどすべての実数は超越数である。^{[ 13 ]}^[第6節]
ほとんどすべての実数は正常である。^{[ 14 ]}
カントール集合も空集合である。したがって、非可算集合であるにもかかわらず、ほとんどすべての実数はカントール集合に含まれない。^{[ 6 ]}
カントール関数の導関数は、単位区間内のほとんどすべての数に対して 0 です。^{[ 15 ]}これは、カントール関数が局所的に定数であるため、カントール集合の外側では導関数が 0 になることから、前の例から導き出されます。

数論における意味

数論において、「ほとんどすべての正の整数」とは、「自然密度が 1 である集合内の正の整数」を意味することがあります。つまり、A が正の整数の集合であり、 n未満のA内の正の整数の割合( n未満のすべての正の整数のうち)がnが無限大に近づくにつれて 1に近づく場合、ほとんどすべての正の整数がAに含まれます。^[¹⁶^]^[¹⁷^]^[^{sec 7}^]

より一般的に、S を正の整数の無限集合、例えば正の偶数の集合や素数の集合とします。AがSの部分集合であり、n 未満の S の要素のうち A に含まれる要素の割合 (n 未満の S のすべての要素のうち) が n が無限大に近づくにつれて 1 に近づく場合、 Sのほとんどすべての要素がAに含まれると言えます。

例：

正の整数の有限集合の自然密度は1であるため、それぞれの集合はほぼすべての正の整数を含む。
ほとんどすべての正の整数は合成数である。^[第7節]^{[証明1 ]}
ほとんどすべての偶数の正の数は、2つの素数の和として表すことができる。^{[ 4 ]}^{： 489}
ほとんどすべての素数は孤立している。さらに、すべての正の整数 $g$ に対して、ほとんどすべての素数は、その左と右の両方に $g$ より大きい素数ギャップを持つ。つまり、 $p$ $-$ $g$ と $p$ $+$ $g$ の間に他の素数は存在しない。^[¹⁸^]

グラフ理論における意味

グラフ理論では、A が(有限個のラベル付き)グラフの集合である場合、 n 個の頂点を持つグラフのうちAに含まれるものの割合がn が無限大に近づくにつれて 1 に近づくならば、A はほとんどすべてのグラフを含むと言えます。 ^{[ 19 ]}しかし、確率を扱う方が簡単な場合もあるため、^{[ 20 ]}定義は次のように再定式化されます。n 個の頂点を持つグラフのうち A に含まれるものの割合は、n個の頂点を持つランダムなグラフ(一様分布で選択) がAに含まれる確率に等しく、このようにグラフを選択することは、頂点のペアごとにコインを投げて接続するかどうかを決定することでグラフを生成することと同じ結果になります。^{[ 21 ]}したがって、前述の定義と同等に、n 個の頂点を持つコイン投げで生成されたグラフがAに含まれる確率がn が無限大に近づくにつれて 1 に近づくならば、集合A はほとんどすべてのグラフを含みます。^[²⁰^]^[²²^]時には、後者の定義が変更され、グラフが別の方法でランダムに選択されるようになり、 n個の頂点を持つすべてのグラフが同じ確率を持つわけではなく、^[²¹^]これらの変更された定義は、必ずしも主要な定義と同等ではありません。

グラフ理論における「ほぼすべて」という用語の使用は標準的ではなく、この概念には「漸近的にほぼ確実に」という用語の方が一般的に使用されている。^{[ 20 ]}

例：

ほとんどすべてのグラフは非対称である。^{[ 19 ]}
ほぼすべてのグラフの直径は2である。 ^{[ 23 ]}

トポロジーにおける意味

位相幾何学^{[ 24 ]}、特に力学系理論^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} (経済学への応用を含む) ^{[ 28 ]}では、位相空間の点の「ほぼすべて」は、「わずかな集合に含まれる点を除く空間のすべての点」を意味することがあります。より限定的な定義を使用するものもあり、部分集合が空間の点のほぼすべてを含むのは、それが何らかの開稠密集合を含む場合のみです。^{[ 26 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

例：

既約代数多様体が与えられたとき、その多様体のほとんどすべての点に対して成り立つ性質は、まさに一般的な性質である。^{[ sec 8 ]}これは、ザリスキ位相を備えた既約代数多様体では、すべての空でない開集合が稠密であるという事実によるものである。

代数における意味

抽象代数学や数理論理学では、集合X上の超フィルターUの場合、「 Xのほぼすべての要素」は、「 Uの何らかの要素」を意味することがあります。 [ ³¹^]^[³²^]^[³³^]^[³⁴^]^Xを互いに素な2 つの集合に分割すると、そのうちの 1 つは必ずXのほぼすべての要素を含みます。フィルターが超フィルターでなくても、 X上のフィルターの要素がXのほぼすべての要素を含んでいると考えることができます。^[³⁴^]

証明

↑素数定理によれば、 n以下の素数の数は漸近的にn /ln( n )に等しくなります。したがって、素数の割合はおおよそln( n )/ nであり、 nが無限大に近づくにつれて0に近づきます。したがって、n以下の合成数の割合はnが無限大に近づくにつれて1に近づきます。^{[ 17 ]}

参考文献

一次資料

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[25] 素数定理によれば、 n以下の素数の数は漸近的にn /ln( n )に等しくなります。したがって、素数の割合はおおよそln( n )/ nであり、 nが無限大に近づくにつれて0に近づきます。したがって、n以下の合成数の割合はnが無限大に近づくにつれて1に近づきます。^{[ 17 ]}

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