代数関数

多項式関数と有理関数は代数関数である。${\displaystyle y=p(x)}$満たす

${\displaystyle yp(x)=0.}$

有理関数${\displaystyle y=p(x)/q(x)}$満たす

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0,}$

零点に極を持つ${\displaystyle q}$より一般的には、${\displaystyle n}$多項式または有理関数の 番目の根は、次のような方程式を満たすため、代数的です。

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

多くの基本的な代数関数は、有理関数から代数演算と根の抽出によって得ることができます。しかし、代数関数は根号で表せる関数よりも一般的です。ガロア理論によれば、5次以上の一般的な多項式方程式の根は根号で表すことはできません。

代数関数の局所逆分岐が存在する場合、それは再び代数関数である。より一般的には、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$多項式関係を満たす${\displaystyle P(x,y)=0}$役割を入れ替えて${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$局所逆分岐を含む分岐を持つ代数的対応を与える。解集合${\displaystyle P(x,y)=0}$は代数曲線であり、例外点を除けば、その局所的な枝はグラフとして表すことができる。${\displaystyle x}$-ライン。

代数的な観点から見ると、複素数は代数関数の研究にごく自然に取り入れられます。まず、代数学の基本定理により、複素数は代数的に閉じた体です。したがって、各値に対して、${\displaystyle x}$そのために${\displaystyle p(x,y)}$は次数が の非定数多項式です${\displaystyle n}$で${\displaystyle y}$方程式${\displaystyle p(x,y)=0}$もっている${\displaystyle n}$重複度を考慮して数えられる複雑な根。${\displaystyle x}$主係数や判別式の零点などは、極、多重根、分岐点の原因となります。

さらに、最終的に実数代数関数に興味がある場合でも、複素数を用いずに加算、乗算、除算、 n乗根を用いて関数を表現する手段がない場合もある（既約ケースを参照）。例えば、次の式で定義される代数関数を考えてみよう。

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

立方方程式の公式を用いると、

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

のために${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$平方根は実数であり、したがって立方根は明確に定義され、唯一の実根が得られます。一方、${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$平方根は実数ではないため、平方根には実数でない平方根のいずれかを選択する必要があります。したがって、立方根は3つの実数でない数の中から選択する必要があります。この式における2つの項で同様の選択を行うと、立方根の3つの選択肢から、添付の図に示す3つの分岐が得られます。

結果として得られる関数は、図示されたグラフの定義域において実数値であるにもかかわらず、実数のみを用いてこの関数をn乗根で表現する方法は存在しないことが証明されるかもしれない。

より重要な理論的レベルでは、複素数を用いることで、複素解析の強力な手法を用いて代数関数を論じることができる。特に、偏角原理を用いることで、任意の代数関数は、少なくとも多価関数の意味で、解析関数であることを示すことができる。

形式的には、p ( x , y )を複素変数xとyに関する複素多項式とする。x₀ ∈ C が、 _yの多項式p(x₀,y)が n 個の異なる零点を持つようなものであると仮定する。代数_関数がx₀の近傍で解析的であることを示す。これらの零点をそれぞれ含むn 個の重なり合わない円盤 Δi_のシステムを選択する。すると、偏角原理により_、

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

連続性により、これはx ₀の近傍にあるすべてのxに対しても成り立つ。特に、p ( x , y ) は Δ _iにおいて、留数定理によって与えられるただ一つの根を持つ。

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

これは解析関数である。

臨界値では、局所分岐は単一値関数である必要はない。${\displaystyle x}$代わりに、ローカルパラメータを導入した後${\displaystyle t}$と${\displaystyle x-x_{0}=t^{e}}$分岐は収束するピュイズー級数で表すことができる^{[ 1 ]}$${\displaystyle y=\sum _{j=j_{0}}^{\infty }a_{j}t^{j}=\sum _{j=j_{0}}^{\infty }a_{j}(x-x_{0})^{j/e}.}$$ 整数${\displaystyle e}$分岐の広がりを記述する。代数関数には、極と代数分岐点以外の特異点は存在しない。

上記の解析性の証明は、 n 個の異なる関数要素f _i ( x )のシステムに対する式を導出したことに注意してください。ただし、xは、${\displaystyle x}$-線。臨界値は、${\displaystyle x}$異なるゼロの数${\displaystyle p(x,y)}$度よりも小さい${\displaystyle p}$で${\displaystyle y}$これは、先頭係数が${\displaystyle y}$または判別式がゼロになる。したがって、そのような値は有限個しか存在しないc ₁、 ...、c _m。

関数要素f _iの臨界値付近における 性質を詳細に分析することで、モノドロミー被覆が臨界値（および場合によっては無限遠点）上で分岐していることを示すことができる。したがって、f _iの正則拡張は、臨界値上で最悪の場合、代数的極と通常の代数的分岐を持つことになる。

臨界値から離れたところでは、次のようになります。

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

f _{i は}定義によりpの異なる零点であるため、臨界値を避けたループの周りの局所分岐の解析接続によって分岐が置換されます。これらの置換によって代数関数のモノドロミー群が形成されます。（普遍被覆空間上のモノドロミー作用は、リーマン面理論における関連するものの異なる概念です。）

代数的に、もし${\displaystyle L}$は分割フィールドです${\displaystyle p(x,y)}$以上${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$等価的に、1つの分岐によって生成される拡張のガロア閉包、そしてガロア群${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {C} (x))}$ルートを置換することによって作用する${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$リーマン球面の有限分岐被覆と有限拡張との間の対応関係の下で${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$このガロア群は被覆のモノドロミー群と同一視される。したがって、モノドロミー作用は、分割体のガロア群を枝上の置換群として実現する。