超実数

超実数体系の重要な用途の一つは、微分演算子に正確な意味を与えることである。${\displaystyle d}$ライプニッツが微分と積分を定義するために用いたもの。

任意の実数値関数に対して${\displaystyle f,}$差分${\displaystyle df}$すべての順序ペアを送信するマップとして定義されます${\displaystyle (x,dx)}$（どこ${\displaystyle x}$現実であり${\displaystyle dx}$（ゼロでない無限小）から無限小へ

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

表記自体が「${\displaystyle dx}$「」は、任意の無限小を表すために使用され、上記の演算子の定義と一致しています。${\displaystyle d,}$なぜなら、もし解釈するならば${\displaystyle x}$（一般的に行われているように）関数となる${\displaystyle f(x)=x,}$そして、すべての${\displaystyle (x,dx)}$差分${\displaystyle d(x)}$無限小に等しくなります${\displaystyle dx}$。

実数値関数${\displaystyle f}$ある点で微分可能であると言われている${\displaystyle x}$商が

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

すべての非ゼロの無限小に対して同じです${\displaystyle dx.}$そうであれば、この商は、${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$。

例えば、関数の導関数を求めるには${\displaystyle f(x)=x^{2}}$、 させて${\displaystyle dx}$ゼロでない無限小である。すると、

微分の定義における標準部分の使用は、微小量の二乗を無視するという従来の慣習に対する厳密な代替手段である^{[ 6 ]} 。双対数はこの考えに基づく数体系である。上記の微分式の3行目以降、ニュートンから19世紀までの典型的な方法は、単純にそれを破棄することであっただろう。${\displaystyle dx^{2}}$用語。ハイパーリアルシステムでは、 ${\displaystyle dx^{2}\neq 0}$、 以来${\displaystyle dx}$はゼロではなく、転送原理は、ゼロでない任意の数の二乗はゼロではないという命題に適用できます。ただし、その量は${\displaystyle dx^{2}}$ に比べて極めて小さい${\displaystyle dx}$つまり、超現実システムには無限小量の階層構造が含まれている。

微分に超実数を用いることで、導関数をより代数的に操作しやすい方法で扱うことができる。標準的な微分では、偏微分や高階微分は代数的手法によって独立して操作することはできない。しかし、超実数を用いることで、わずかに異なる表記法ではあるものの、そうした操作を行うための体系を確立することができる。^{[ 7 ]}

超実数系のもう一つの重要な用途は、ライプニッツが定積分を定義するために用いた積分記号∫に正確な意味を与えることである。

任意の微小関数に対して${\displaystyle \varepsilon (x)}$積分を定義することができる${\displaystyle \textstyle \int \varepsilon }$マップとして任意の順序付きトリプルを送信${\displaystyle (a,b,dx)}$（どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$現実であり、${\displaystyle dx}$は、と同じ符号の無限小である${\displaystyle b-a}$）値へ

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right)}$、

どこ${\displaystyle N}$任意のハイパー整数が満たすか

${\displaystyle \operatorname {st} (N\ dx)=b-a}$。

実数値関数${\displaystyle f}$閉区間上で積分可能であると言われる。${\displaystyle \ [a,b]\ }$任意の非ゼロの無限小に対して${\displaystyle \ dx,\ }$積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

選択とは無関係です${\displaystyle \ dx.}$そうであれば、この積分は定積分（または原始関数）と呼ばれます。${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \ [a,b].}$

これは、超実数を用いることで、ライプニッツの定積分の記法が実際に意味のある代数式として解釈できることを示している（導関数が意味のある商として解釈できるのと同様である）。^{[ 8 ]}

ニュートンと（より明確には）ライプニッツが微分を導入したとき、彼らは無限小を用い、これらはオイラーやコーシーといった後世の数学者によっても有用であると見なされていた。しかしながら、これらの概念は当初から疑わしいものと見なされており、特にジョージ・バークレーはそう考えていた。バークレーの批判は、微分の定義における仮説のずれ、すなわち、dx が計算の開始時にゼロでないと仮定され、計算の終了時にゼロになると仮定されるという、無限小（または流率）による定義に集中していた（詳細は「消えた量の幽霊」を参照）。1800 年代にボルツァーノ、コーシー、ワイエルシュトラスらが極限の (ε, δ) 定義を発展させ、微積分が確固たる基盤の上に築かれたとき、無限小はほぼ放棄されたが、アルキメデス以外の分野での研究は続いた（Ehrlich 2006）。

しかし、1960年代にエイブラハム・ロビンソンは、無限大の数と無限小の数を厳密に定義し、非標準解析の分野を発展させるために使用できることを示した。^{[ 11 ]}ロビンソンはモデル理論を用いて非構成的に理論を発展させたが、代数と位相のみを用いて進め、定義の結果として転送原理を証明することも可能である。言い換えれば、超実数自体は、非標準解析での使用を除けば、モデル理論や一階述語論理とは必然的な関係はないが、論理学のモデル理論的手法を適用して発見された。実際、超実数体は、ヒューイット（1948）によって、超冪構成を用いて純粋に代数的手法で最初に導入された。

まず、定数記号を含む言語から始めます。${\displaystyle c_{r}}$すべての標準実数に対して${\displaystyle r}$関数記号${\displaystyle f_{F}}$すべての${\displaystyle n}$-引数関数${\displaystyle F}$標準実数と述語記号${\displaystyle P_{R}}$すべての関係について${\displaystyle R}$実数上でモデルを構築します。${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$その宇宙は${\displaystyle \mathbb {R} }$、そして各記号を明白な方法で解釈します（つまり${\displaystyle c_{r}^{\mathfrak {R}}=r}$、${\displaystyle f_{F}^{\mathfrak {R}}=F}$、${\displaystyle P_{R}^{\mathfrak {R}}=R}$) ^{[ 12 ]}

理論を考えてみよう${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$つまり、すべての文が真である集合は${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$この理論は完全である。つまり、すべての公式に対して${\displaystyle \phi }$、 どちらか${\displaystyle \phi }$または${\displaystyle \neg \phi }$は${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$。 さらに遠く、${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$実数上の任意の関数または関係について一階述語で表現できるすべての事実が含まれています。次に、この理論に一連の公式を追加します。${\displaystyle \Sigma =\{c_{r}P_{<}v_{1}|r\in \mathbb {R} \}}$;ここで各式は本質的に次のことを言っている。${\displaystyle v_{1}}$ある標準的な実数よりも大きい${\displaystyle r}$. さて、文のセットは${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}\cup \Sigma }$は有限に充足可能である。特に、この充足は、その集合の任意の有限断片に対して、単純に割り当てることで達成できる。${\displaystyle v_{1}}$十分に高い値。したがって、コンパクト性定理により、ある構造において充足可能である。${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$。

まず、${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$完了しました。${\displaystyle {\mathfrak {A}}\equiv {\mathfrak {R}}}$（${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$は、​${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$) すべての文またはその否定は、${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$、すべての文は真実です${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$保持する${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$、そしてその逆もまた然り。しかし、${\displaystyle {\mathfrak {A}}\not \cong {\mathfrak {R}}}$なぜなら、構成上、${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$それは、${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$つまり、はどの標準実数よりも大きく、したがって無限大である。しかし、関数は${\displaystyle h(r)=c_{r}^{\mathfrak {A}}}$各標準実数を対応する定数記号の解釈に取り込む${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$これは同型埋め込みである。

そこで、最終段階では、同型埋め込みが存在するという事実を利用します。${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$の中へ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$、各標準実数に対して単純に置き換える${\displaystyle r}$の解釈${\displaystyle c_{r}}$で${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$による${\displaystyle r}$様々な関数記号や述語記号の解釈をそれに応じて固定する。これにより、構造が得られる。${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$これは、${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$そして、これは超実数を表します。

伝達原理はこの定義から直接導き出される。それは単に構造が${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$そして${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$それらは本質的に同等である。

建設中${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$無限小については明示的に言及されていませんが、${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$すべての非ゼロ数には乗法逆数が存在するという事実を、一階述語論理式を用いて次のように表現する。

${\displaystyle \forall x\exists y\{x\neq c_{0}\rightarrow f_{\times }xy=c_{1}\}}$。

したがって、この文は以下において真でなければならない。${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$構成上。したがって、無限の要素${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$乗法逆元を持たなければならない。これらの乗法逆元は、任意の標準実数よりも小さくなければならず、したがって、我々が求める無限小も小さくなければならない。これは、次の性質によるものである。

${\displaystyle 1<a<b\;\;\rightarrow \;\;{\frac {1}{b}}<{\frac {1}{a}}<1}$

これは、私たちの言語では一階述語論理の文として表現できます。

実数の列を用いて超実数体を構築します。^{[ 13 ]}実際、列を成分ごとに加算および乗算することができます。例えば、次のようになります。

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

そして乗法についても同様です。これにより、このような数列の集合は可換環となり、実際には実代数Aとなります。自然な埋め込みがあります。${\displaystyle \mathbb {R} }$Aでは、実数rを数列 ( r , r , r , …) と同一視することで、この同一視によって実数の対応する代数演算が保持されます。直感的な動機としては、例えば、ゼロに近づく数列を使用して無限小数を表現することが挙げられます。このような数列の逆数は無限数を表します。後述するように、このような数列を比較するための規則を定義する必要があるため、困難が生じます。この規則は、必然的に多少恣意的ではありますが、自己矛盾がなく、明確に定義されていなければなりません。例えば、最初のn個の要素は異なるが、それ以降は等しい 2 つの数列があるかもしれません。このような数列は明らかに同じ超実数を表すものとみなされるべきです。同様に、ほとんどの数列は永遠にランダムに振動する ため、このような数列を取り、例えば次のように解釈する方法を見つける必要があります。${\displaystyle 7+\epsilon }$、 どこ${\displaystyle \epsilon }$は、ある極めて小さな数である。

したがって、シーケンスの比較はデリケートな問題である。例えば、シーケンス間の関係をコンポーネントごとに定義しようと試みることができる。

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

しかし、ここで問題が生じます。最初の数列のエントリの中には、2 番目の数列の対応するエントリよりも大きいものもあれば、小さいものもあるからです。このように定義された関係は、単なる部分順序に過ぎません。これを回避するには、どの位置が重要かを指定する必要があります。インデックスは無限に存在するため、有限個のインデックスの集合が重要になるのは望ましくありません。重要なインデックス集合の一貫した選択は、自然数上の任意の自由超フィルターUによって与えられます。これらは、有限集合を含まない超フィルターとして特徴付けられます。 （良いニュースは、ゾルンの補題によりそのようなUが多数存在することが保証されることです。悪いニュースは、それらを明示的に構成できないことです。）U は「重要な」インデックスの集合を選別するものと考えます。自然数の集合 { n : a n ≤ b n } が Uに含まれる場合に限り、( a 0 , _a 1 , _a 2 , _... ) ≤ ₍ b 0 _, b 1 _, b 2 _, ... )_と書きます。 

これは全順序であり、 a ≤ bかつb ≤ aの場合に2 つのシーケンスaとbを区別しないことに同意すれば、全順序になります。この識別により、順序付きフィールドは${\displaystyle *\mathbb {R} }$超実数の構成が行われます。代数的な観点から、U は可換環Aにおける対応する極大イデアルI (すなわち、 Uの何らかの要素で消滅する数列の集合) を定義し、次に定義することを可能にします。${\displaystyle *\mathbb {R} }$A / Iとして、可換環を極大イデアルで割った商として、${\displaystyle *\mathbb {R} }$は体である。これは自由超フィルターUを用いて直接A / Uと表記され、両者は同値である。I の極大性は、数列aが与えられたとき、 aの非零要素を反転させ、零要素を変更しない数列bを構成できる可能性から導かれる。aがゼロになる集合がUに含まれていない場合、積abは数 1 と同一視され、1 を含むイデアルはすべてAでなければならない。結果として得られる体では、これらのaとbは逆元である。

フィールドA / Uは超パワーです${\displaystyle \mathbb {R} }$このフィールドには${\displaystyle \mathbb {R} }$それは少なくとも連続体の濃度を持つ。Aは濃度を持つので

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

また、それよりも大きくはない${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$、したがって と同じ濃度を持つ。${\displaystyle \mathbb {R} }$。

一つの疑問は、もし別の自由超フィルターVを選んだ場合、商体A / U が順序体としてA / Vと同型になるかどうかである。この疑問は連続体仮説と同等であることが判明している。連続体仮説を用いたZFCでは、この体が順序同型を除いて一意であることを証明でき、連続体仮説の否定を用いた ZFC では、実数の可算添え字付き超冪である非順序同型の体のペアが存在することを証明できる。^{[ 14 ]}

この構築方法の詳細については、ultraproductを参照してください。

以下は、超実数を理解するための直感的な方法です。ここで採用されているアプローチは、ゴールドブラットの著書^{[ 15 ]}のアプローチと非常に近いものです。ゼロに収束する数列は、無限に小さいと呼ばれることがあることを思い出してください。これらはある意味でほぼ無限小です。真の無限小には、ゼロに収束する数列を含む特定の数列のクラスが含まれます。

これらのクラスがどこから来るのか見てみましょう。まず、実数列を考えます。実数列は環を形成します。つまり、乗算、加算、減算はできますが、必ずしもゼロ以外の要素で除算できるとは限りません。実数は定数列とみなされ、 すべてのnに対してa _n  =  0であるとき、その列はゼロ列となります。

我々の数列の環では、a = 0 でもb = 0 でもない場合でもab  =  0を得ることができます。したがって、2 つの数列に対して    ${\displaystyle a,b}$ab  = 0の場合 、少なくともどちらか一方をゼロと宣言する必要があります。驚くべきことに、これを実行する一貫した方法があります。結果として、ゼロと宣言された数列によって異なる数列の同値類は、ハイパーリアル体と呼ばれる体を形成します。ハイパーリアル体には、通常の実数に加えて無限小、および無限大の数 (無限小の逆数、無限に発散する数列で表されるものを含む) が含まれます。また、無限大でないすべてのハイパーリアルは、通常の実数に無限に近くなります。言い換えれば、通常の実数と無限小の和になります。

この構成は、カントールが有理数から実数を構成した構成と並行している。彼は有理数のコーシー列の環から始め、ゼロに収束するすべての列をゼロと宣言した。その結果が実数である。超実数の構成を続けるために、我々の列のゼロ集合、すなわち、${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$つまり、${\displaystyle z(a)}$インデックスの集合${\displaystyle i}$そのために${\displaystyle a_{i}=0}$明らかに、${\displaystyle ab=0}$すると、${\displaystyle z(a)}$そして${\displaystyle z(b)}$は${\displaystyle \mathbb {N} }$（すべての自然数の集合）なので、次のようになります。

1. 2つの相補集合上で消滅する数列のうち、1つはゼロと宣言されるべきである。
2. もし${\displaystyle a}$ゼロと宣言されています。${\displaystyle ab}$どのような場合でも、ゼロと宣言されるべきです${\displaystyle b}$は。
3. 両方${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$ゼロと宣言された場合、${\displaystyle a+b}$ゼロと宣言されるべきである。

ここでの考え方は、 の部分集合の集合 U を選択することです。${\displaystyle \mathbb {N} }$そして宣言する ${\displaystyle a=0}$かつその場合に限り${\displaystyle z(a)}$Uに属する。上記の条件から、次のことがわかる。

1. 2 つの相補集合のうち、1 つはUに属します。
2. Uに属する部分集合を持つ任意の集合は、 Uにも属する。
3. Uに属する任意の 2 つの集合の共通部分はUに属する。
4. 最後に、空集合がUに属することは望ましくありません。なぜなら、すべての集合が空集合を部分集合として持つことになるため、すべてがUに属することになるからです。

(2)～(4)を満たす集合の族はフィルターと呼ばれます（例：有限集合の補集合。フレシェフィルターと呼ばれ、通常の極限定理で使用されます）。(1)も成り立つ場合、Uは超フィルターと呼ばれます（超フィルターを壊さずにこれ以上集合を追加できないため）。超フィルターの明示的に知られている唯一の例は、与えられた要素（この場合は、例えば10）を含む集合の族です。このような超フィルターは自明と呼ばれ、構成にこれを使用すると、通常の実数に戻ります。有限集合を含む超フィルターはすべて自明です。任意のフィルターを超フィルターに拡張できることは知られていますが、証明には選択公理を使用します。非自明な超フィルターの存在（超フィルター補題）は、選択公理よりも弱いため、追加の公理として追加できます。

ここで、非自明な超フィルター（フレシェフィルターの拡張）を取り、構成を行うと、結果として超実数が得られます。

もし${\displaystyle f}$は実変数の実関数である ${\displaystyle x}$それから${\displaystyle f}$合成によって、超実数変数の超実数関数へと自然に拡張される。

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

どこ${\displaystyle \{\dots \}}$は「数列の同値類」を意味する${\displaystyle \dots }$我々の超フィルターに関して」、2つのシーケンスが同じクラスに属するのは、それらの差のゼロ集合が我々の超フィルターに属する場合に限る。

すべての算術式と公式は超実数に対して意味を持ち、通常の実数に対して真であれば真である。任意の有限（つまり、${\displaystyle |x|<a}$普通の現実${\displaystyle a}$) 超現実的${\displaystyle x}$形式は次のようになります${\displaystyle y+d}$どこ${\displaystyle y}$は普通の（標準と呼ばれる）実数で、${\displaystyle d}$は無限小である。ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明に用いられる二分法によって証明できるが、超フィルターの性質（1）が極めて重要であることがわかる。