オイラー図

オイラー図を印刷し、テキストで簡単に論じた最初の著者は、Juan Luis Vives (1531 年)、Nicolaus Reimers (1589 年)、Bartholomäus Keckermann (1601 年)、Johann Heinrich Alsted (1614 年) であった。^{[ 5 ]}これらの図の最初の詳細な説明は、この種の図を「logometrum」（論理の測定器）と呼んだErhard Weigel (1625–1699)に遡ることができる。 ^{[ 6 ]} Weigel は、2 次元平面上の図形の助けを借りて、すべての有効な三段論法を証明した最初の人物であった。一般的に肯定的な判断 (すべての文) の場合、主語の幾何学的形状は述語の形状の内側に完全に位置する必要がある。否定的な判断 (文なし) の場合、それは完全に外側に位置する必要がある。特定の判断（「いくつか」、「いくつか…ない」を含む文）の場合、幾何学的図形は部分的に重なり合うべきであり、重なり合ってはなりません。三段論法を証明するには、まず前提となるすべての可能な図形を描き、それからそれらの図形から結論を読み取ることができるかどうかを確認する必要があります。それが可能であれば、三段論法は有効であり、そうでなければ無効です。

エルハルト・ヴァイゲルは図を表すのに頭文字を用いたが、彼の弟子である ヨハン・クリストフ・シュトゥルム（1635–1703）やゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（1646–1716）は円や線を用いた。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}また別の伝統はクリスティアン・ヴァイゼ（1642–1708） に遡ることができ、彼は授業でこれらの図を用いたと言われている。^{[ 6 ]}これは彼の弟子であるザムエル・グローサーとヨハン・クリスティアン・ランゲによって報告されている。特にランゲはこれらの図を用いて三段論法を超え、例えば量化された述語を扱った。^{[ 9 ]}

オイラーは『ドイツの王女への手紙』 の中で、伝統的な三段論法のみに焦点を当てた。^{[ 10 ]}彼はさらにヴァイゲルのアプローチを発展させ、三段論法の妥当性を検証しただけでなく、前提から結論を導き出す方法も開発した。^{[ 11 ]}オイラーと同時期に、ゴットフリート・プルケとヨハン・ハインリヒ・ランベルトも同様の図を使用した。^{[ 5 ] [ 12 ]}しかし、これらの図が広く知られるようになったのは、1790年代にイマヌエル・カント（1724-1804）が論理学の講義で使用し、彼の学生がヨーロッパ中に図の知識を広めたためである。^{[ 13 ] [ 14 ]} 19世紀には、オイラー図は論理学、特に論理学において最も広く使用される表現形式となった。アルトゥール・ショーペンハウアー、カール・クリスティアン・フリードリヒ・クラウゼ、ウィリアム・ハミルトン卿などの「カント主義者」によって。^{[ 15 ] [ 16 ]}

19 世紀には図の歴史が部分的にしか研究されていなかったため、ほとんどの論理学者は図をオイラーに帰属させ、多くの誤解が生じ、その一部は今日まで続いています。右の図に示すように、ウィリアム・ハミルトン卿は、論理の抽象概念を「感覚的に表現する」ために円を最初に用いたのはオイラーではなくヴァイゼであると誤って主張しました^{[ 20 ] [ 21 ]}。しかし、後者の本は実際にはヴァイゼではなくヨハン・クリスティアン・ランゲによって書かれたものです^{[ 17 ] [ 18 ]。}彼はオイラーの『ドイツ王女への手紙』を参照しています^{[ 22 ] [ a ]}。

ハミルトンの図解^{[ 23 ]}では、三段論法で起こりうる4つの定言命題は、図A、E、I、Oで象徴的に表されており、以下の通りである。

A：普遍的肯定

例：すべての金属は元素である。

E：普遍的な否定

例：金属はどれも化合物ではない。

私：特定の肯定

例：一部の金属は脆い。

O：特定のネガティブ

例：一部の金属は脆くない。^{[ 23 ]}

ジョン・ヴェン（1834年～1923年）は、オイラー図の驚くべき普及について次のように述べている。

「…この目的のために参照された、過去100年ほどの間に出版された最初の60の論理学論文のうち、最も入手しやすいものであったため、やや無作為に選ばれたもののうち、34が図表の助けを借りており、そのほとんどすべてがオイラー図法を使用していた。」^{[ 24 ]}

しかし、彼は「このスキームは真に一般的な論理の目的には適用できない」と主張し^{[ 24 ]（100ページ）}、そして次のように指摘した。

「それは、通常適用される共通論理の4つの命題にも適合するが、うまく適合しない。」^{[ 24 ]（101ページ）}

ヴェンは、以下の例で示されているように、それらの使用は厳密なアルゴリズムに基づくものではなく、実践と直感に基づくものであるという観察で章を締めくくっている。

「実際、これらの図は、それらが説明するために用いられる通常の命題体系に適合しないだけでなく、それらが一貫して関連付けられるような認識された命題体系も存在しないように思われる。」^{[ 24 ]（124～125ページ）}

最後に、ハミルトンのベン図は重要な批判（以下の引用文で斜体で示されている部分）に至ります。ハミルトンの図では、O（特定の否定）とI（特定の肯定）が単に回転しているだけであることに注目してください。

「ここで、オイラーのよく知られた円について見ていきましょう。これは、彼の『ドイツ王女への手紙』（書簡102-105）で初めて記述されました。^{[ 22 ]（102-105頁）}これらの円の弱点は、命題によって私たちが持っている、あるいは伝えたいこれらの関係についての不完全な知識ではなく、クラス間の実際の関係を厳密に図示しているにすぎないという点にあります。したがって、これらは一般的な論理の命題には適合せず、適切な基本命題の新しいグループを構成する必要があります。…この欠陥は、特定の肯定と否定の場合に最初から気付いていたに違いありません。なぜなら、同じ図が両方を表すために一般的に用いられており、どちらも同じようにうまく機能するからです。」[強調追加] ^{[ 26 ] [ 24 ]（100頁、脚注1）[ b ]}

いずれにせよ、これらの観察と批判を武器に、Venn ^{[ 24 ] (pp 100–125)}は、どのようにして「…昔ながらのオイラー図」から、後にVenn図として知られるようになった図を導き出したかを示している 。特にVennは、左に示す例を挙げている。

1914年までに、クチュラ（1868-1914）は右の図に示すように用語にラベルを付けた。[19] さらに、彼は外側の領域（a′b′c ^′と示されている）にもラベルを付けた。彼は図の使い方を簡潔に説明している。消える領域を消さなければならない。

「ベン法は、すべての構成要素を表す幾何学的図に翻訳されるため、結果を得るには、問題のデータによって消滅するものを（陰影をつけて）消去するだけでよい。」[強調追加] ^{[ 19 ]（73ページ）}

ベン図の割り当てを考慮すると、円の内側の網掛けされていない領域を合計することで、ベン図の例に対して次の式が得られます。

「yはzではなく、すべてのxはyである。したがって、xはzではない」という式は、円の中の網掛けされていない領域に対してx ′ y z ′ + x y z ′ + x ′ y ′ zという方程式を持っています（ただし、これは完全に正しいわけではありません。次の段落を参照してください）。

ベン図では、円を囲む背景は表示されません。つまり、「0」とマークされた項、x ′ y ′ z ′ は表示されません。 どこにも議論もラベル付けもされていませんが、クチュラは自身の図でこれを修正しています。^{[ 19 ]}正しい方程式には、太字で示されているこの影のない領域を含める必要があります。

「yはzではなく、すべてのxはyである。したがって、xはzではない」という式は、x ′ y z ′ + x y z ′ + x ′ y ′ z + x ′ y ′ z ′という方程式を持つ。

現代では、ベン図にはすべての円を囲む「箱」が含まれており、これは議論領域または議論範囲と呼ばれます。

クチュラ^{[ 19 ]}は、直接的なアルゴリズム的（形式的、体系的）な方法では、簡約ブール方程式を導出することはできず、「 xはzではない」という結論に至る方法も示せないと指摘した。クチュラは、このプロセスは「論理問題を解決する方法として深刻な不便さがある」と結論付けた。

「それは、特定の構成要素を消去することによってデータがどのように表現されるかを示しておらず、また、残りの構成要素を組み合わせて求められる結果を得る方法も示していません。要するに、それは議論のたった一つのステップ、すなわち問題の方程式を示すだけであり、前のステップ、つまり「問題を方程式に投げ込む」ことと前提の変換、そしてその後のステップ、つまり様々な結果につながる組み合わせを省略していません。したがって、構成要素は平面領域と同様に代数記号でも表現でき、この形式の方がはるかに扱いやすいため、それはほとんど役に立ちません。」^{[ 19 ]（75ページ）}

こうしてこの問題は、モーリス・カルノー（1924～2022）がエドワード・W・ヴェイチが提案した方法を応用・拡張した1952年まで棚上げされた。この研究は、エミール・ポスト^{[ 27 ]}によって正確に定義された真理値表法と、シャノン、スティビッツ、チューリング（その他）によるスイッチング論理への命題論理の適用に基づいていた。^{[ c ]} 例えば、ヒルとピーターソン（1968）^{[ 28 ]}は、ベン図を網掛けも含めて提示している。彼らは、スイッチング回路の例題を解決するためのベン図の例を示しているが、最終的には次の記述に至っている。

「3つ以上の変数については、ベン図の基本的な図解形式は不十分である。しかし、拡張は可能であり、最も便利なのはカルノー図であり、第6章で説明する。」^{[ 28 ]（64ページ）}

第6章、6.4節「ブール関数のカルノー図表現」では、次のように始まります。

「カルノー図¹ [ ¹カルノー 1953]は、論理設計者のレパートリーの中で最も強力なツールの1つです。…カルノー図は、真理値表の図式形式、またはベン図の拡張と見なすことができます。」^{[ 28 ]（103～104ページ）}

カルノーが「チャート」または「マップ」法を開発した経緯は不明瞭である。引用の連鎖は「功績、功績、誰が功績を得たのか？」という学術的なゲームになっている。カルノー（1953）はヴェイチ（1952）を参照し、ヴェイチはシャノン（1938）を参照し、^{[ 29 ]}シャノン（1938）は（論理学のテキストの他の著者たちの中で）クチュラ（1914）を参照している。ヴェイチの方法では、変数は長方形または正方形に配置される。カルノー図で説明されているように、カルノーは自身の方法で変数の順序を変更し、超立方体の（頂点）として知られるようになったものに対応するようにした。

1990年代には、オイラー図が論理システムとして開発されました。^{[ 30 ]}図の認知上の利点はすぐに明らかになりました。^{[ 31 ] [ 32 ]}そのため、図は集合図としてだけでなく、人工知能やソフトウェア工学、情報技術、生命科学、医学、経済学、統計学など、コンピュータ科学のさまざまな方法や機能で使用されてきました。 ^{[ 33 ]}また、その哲学や歴史についても議論されています。^{[ 34 ] [ 35 ]} 2000年には、オイラー図に関する最新の研究などを定期的に取り上げる国際会議シリーズ「The Theory and Application on Diagrams: An International Conference Series」が始まりました。

この例では、オイラー図、ベン図、カルノー図を用いて、「 XはZではない」という推論を導出し、検証しています。図と表では、以下の論理記号が使用されています。

• 1は「真」、0は「偽」と解釈できます。
• ~ は NOT を表し、最小項を示す際には ′ と略記されます。例: x′ =_{定義された}NOT x、
• + はブール論理ORを表します（ブール代数より：0  +  0  =  0、0  +  1  =  1  +  0  =  1、1  +  1  =  1）
• 命題間の論理積 (&)。最小項では、算術乗算と同様に AND は省略されます。例: x′y′z =_定義~x & ~y & z (ブール代数より: 0 ⋅ 0  =  0、0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 0 = 0、1 ⋅ 1 = 1。ここで「⋅」は分かりやすくするために表示されています)
• →（論理的含意）：IF ... THEN ...、または「IMPLIES」と読みます。P → Q = NOT P OR Qと_{定義されます。} 

「 XはZではない」といった結論が提示された場合、真理値表を用いてそれが正しい推論であるかどうかを検証することができる。最も簡単な方法は、開始式を左側に置き（Pと略記）、（考えられる）推論を右側に置き（Qと略記）、論理的含意で 2 つを結び付けることである。つまり、P → Qと読み、「IF P THEN Q」とする。真理値表の評価で含意記号（→、いわゆる大論理結合子）の下がすべて 1 になる場合、P → Qは同義反復である。この事実を踏まえ、真理値表の下に説明されている方法で、右側の式（Qと略記）を「分離」することができる。

上記の例に基づくと、オイラー図とベン図の公式は次のようになります。

「YはZではない」および「XはすべてYである」：（~(y & z) & (x → y) ）=_定義済みP

そして、提案されている控除額は以下のとおりです。

「XはZではない」: ( ~ (x & z) ) =_{定義された}Q

したがって、評価対象となる式は次のように簡略化できます。

( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ): P → Q

IF ( " YはZではない" かつ " XはすべてYである" ) THEN ( " XはZではない" )

この時点では、上記の含意P → Q (すなわち ~(y & z) & (x → y) ) → ~(x & z) ) はまだ式であり、演繹、つまりP → QからQを「分離」することはまだ行われていません。しかし、 P → Qがトートロジーであることが証明されたので、モーダス・ポネンスの手続きを使用してQ を「分離」し、「 XはZではない」として左側の項を消去する準備が整いました。^{[ nb 1 ]}  

モーダス・ポネンス（または「推論の基本規則」^{[ 36 ]}）は、しばしば次のように記述されます。左側の 2 つの項、P → QとPは前提と呼ばれ（慣例としてコンマで結ばれています）、記号 ⊢ は「導く」（論理的演繹の意味で）を意味し、右側の項は結論と呼ばれます。

P → Q、P ⊢ Q

モーダス・ポネンスが成功するためには、前提P → QとPの両方が真でなければなりません。なぜなら、上で示したように、前提P → Qはトートロジーであるため、x、y、z の値に関係なく常に「真」となりますが、P が「真」と評価される状況(例えば、行0 OR 1 OR 2 OR 6 : x′y′z′ + x′y′z + x′yz′ + xyz′ = x′y′ + yz′) においてのみ、「真」となるからです。[ ^{nb 2 ]}

P → Q、P ⊢ Q

• 例: ( ~(y & z) & (x → y) ) → ( ~ (x & z) ), ( ~(y & z) & (x → y) ) ⊢ ( ~ (x & z) )
• つまり、「YはZではない」かつ「XはすべてYである」ならば、「XはZではない」、「YはZではない」かつ「XはすべてYである」⊢「XはZではない」

これで「 XはZではない」という結論を「切り離す」ことが可能になり、おそらくそれを後続の推論に利用したり（あるいは会話の話題として）することができる。

トートロジー含意の使用は、「XはZではない」以外の可能な推論が存在することを意味します。推論が成功するための基準は、右側のサブメジャー結合子の下の 1 が、左側のサブメジャー結合子の下のすべての 1 を含むことです (メジャー結合子はトートロジーをもたらす含意です)。たとえば、真理値表では、含意 (→、メジャー結合子記号) の右側で、サブメジャー結合子記号 " ~ "の下の太字の列には、左側のサブメジャー結合子 & の下の太字の列 (行 0、1、2、6 )に現れるすべての 1 に加えて、さらに2つ (行3、4 )が​​あります。