位置表記

小数部分は紀元前1世紀に中国で棒計算の形で初めて開発され使用され、その後世界中に広まった。^{[ 6 ] [ 7 ]} J. レナート・ベルグレンは、 10世紀半ばにダマスカスで数学者アブル・ハサン・アル・ウクリディシが位取り小数を使用していたと指摘している。 ^{[ 8 ]}ユダヤ人数学者イマヌエル・ボンフィルスは1350年頃に小数を使用したが、それを表す記号は開発しなかった。^{[ 9 ]}ペルシャの数学者ジャムシード・アル・カーシーも同様に15世紀にその使用を採用した。^{[ 8 ]}アル・フワーリズミーは9世紀初頭にイスラム諸国に分数を導入した。彼の分数の表現は孫子算経の伝統的な中国の数学的分数に似ていた。^{[ 10 ]}分子が上、分母が下にあり、横棒がないこの形式の分数は、10 世紀のアブル・ハサン・アル・ウクリディシと 15 世紀のジャムシード・アル・カーシーの著作「算術の鍵」でも使用されました。^{[ 10 ] [ 11 ]}

1未満の数を小数で表す方法、すなわち分数表記の採用は、しばしばシモン・ステヴィンの教科書『De Thiende』に帰せられるが^{[ 12 ]、}ステヴィンとEJダイクスターハイスはともに^、レギオモンタヌスがヨーロッパにおける一般的な小数の採用に貢献したと指摘している^{[ 13 ]}：^17、18

ヨーロッパの数学者たちは、ヒンドゥー教徒からアラブ人を経由して整数の位取りの概念を受け継いだ際、この概念を分数にまで拡張することを怠った。数世紀にわたり、彼らは通常の分数と六十進法 のみを用いるにとどまった。この中途半端な姿勢は完全には克服されず、現在でも六十進法は三角法、天文学、そして時間の測定の基礎となっている。

数学者たちは、 半径Rを¹⁰ⁿの形の長さの単位の数に等しくし、 nを非常に大きな整数値と仮定することで分数を避けようとした。そうすることで、発生するすべての量を十分な精度で整数で表すことができる。

この方法を最初に適用したのは、ドイツの天文学者レギオモンタヌスであった。レギオモンタヌスは、角度線分をR /10 ⁿ という単位で表した点で、十進位取り記数法の先駆者と言えるだろう。

ダイクスターハイスの評価によれば、「デ・ティエンデの著作の出版後、十進位取り記数法の完全な体系を確立するにはわずかな進歩しか必要とされず、このステップは多くの著述家によって速やかに実行された…ステヴィンに次いで、この発展において最も重要な人物はレギオモンタヌスであった」。ダイクスターハイスは、ステヴィンが「レギオモンタヌスの先行的貢献を全面的に評価し、このドイツの天文学者の三角関数表には実際には『十進法の数』の理論全体が含まれていると述べている」と指摘している。^{[ 13 ]： 19}

数学の記数法において、基数rは通常、位取り記数法が数値を表すために使用する、ゼロを含む固有の桁数です。負の基数などの場合、基数は絶対値になります。${\displaystyle r=|b|}$基数bの。たとえば、10 進数では、0 から 9 までの 10 個の数字を使用するため、基数 (および基数) は 10 です。ある数が 9 に達すると、次の数は別の記号ではなく、「1」の後に「0」が続きます。2 進数では、1 に達した後、「2」や他の記号ではなく、直接「10」にジャンプし、「11」と「100」が続きます。基数は 2 です。

位取り記数法における最上位の記号は、通常、その記数法の基数の値より1小さい値を持つ。標準的な位取り記数法は、使用する基数のみが互いに異なる。

基数は 1 より大きい整数です。基数が 0 の場合は数字がなく、基数が 1 の場合は 0 の数字しか存在しないためです。負の基数はめったに使用されません。${\displaystyle |b|}$固有の数字で構成され、数字には多くの異なる表現方法が存在する可能性がある。

基数が有限であることが重要であり、それによって桁数が非常に少なくなることが導かれる。そうでなければ、数字の長さは必ずしも対数的に比例するとは限らない。

（全単射記数法を含む、一部の非標準的な位取り記数法では、基数または許容される桁の定義が上記と異なる場合があります。）

標準的な10進数表記では、 10個の10進数^{[ 14 ]}と、

${\displaystyle 5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})}$。

標準的な16進数では、16個の16進数数字（0～9とA～F） ^{[ 15 ]}と数字があります。

${\displaystyle 14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),}$

ここで、Bは11という数字を単一の記号で表す。

一般的に、b を基数とすると、 b 個の数字があります。${\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}$そしてその数

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

もっている${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$ ご了承ください${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$これは数字の並びを表し、乗算を表しません。

数学表記で基数を記述する場合、一般的に文字bがこの概念の記号として使用されるので、2 進数システムではb は2 に等しくなります。基数を表すもう 1 つの一般的な方法は、表される数値の後に10 進数の添え字として書くことです (この表記法はこの記事で使用されています)。1111011 ₂は、数値 1111011 が 2 進数であり、123 ₁₀ ( 10 進数表記)、173 ₈ ( 8 進数)、7B ₁₆ ( 16 進数) に等しいことを意味します。書籍や記事では、最初に数値基数の略語を使用する場合、基数は後から印刷されません。2 進数の 1111011 は 1111011 ₂と同じであると想定されます。

基数bは「基数b 」という表現でも表すことができます。したがって、2進数は「基数2」、8進数は「基数8」、10進数は「基数10」などとなります。

与えられた基数bに対して、数字の集合 {0, 1, ..., b −2, b −1} は標準数字集合と呼ばれます。したがって、2 進数は {0, 1} の数字を持ち、10 進数は{0, 1, 2, ..., 8, 9} の数字を持ちます。以下同様です。したがって、次の表記は誤りです: 52 ₂、2 ₂、1A ₉。（いずれの場合も、1 つ以上の数字が、与えられた基数で許容される数字の集合に含まれていません。）

位取り記数法は、基数のべき乗を用いて計算を行います。桁の値は、その桁の値にその位の値を掛けたものです。位の値は、基数のn乗です。ここで、nは、与えられた桁と小数点の間にある他の桁の数です。与えられた桁が小数点の左側にある場合（つまり、その値が整数の場合）、nは正またはゼロになります。桁が小数点の右側にある場合（つまり、その値が小数の場合）、nは負になります。

使用例として、465という数をその基数b（最大の桁が6なので、少なくとも基数7でなければならない）で表すと次のようになります。

$\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

465という数字を10進数で表すと、次のようになります。

${\displaystyle 465_{10}=4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465_{10}}$

しかし、もしその数が7進数であれば、次のようになる。

${\displaystyle 465_{7}=4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243_{10}}$

10 _b = b は任意の基数bに対して成り立ちます。なぜなら 10 _b = 1× b ¹ + 0× b ⁰だからです。例えば、10 ₂ = 2、10 ₃ = 3、10 ₁₆ = 16 ₁₀となります。最後の「16」は基数 10 であることを示しています。1 桁の数字の場合、基数は関係ありません。

この概念は図を用いて説明できます。1つのオブジェクトは1つの単位を表します。オブジェクトの数が基数b以上になると、 b個のオブジェクトからなるオブジェクトのグループが作成されます。これらのグループの数がbを超えると、 b個のオブジェクトからなるb個のグループのオブジェクトからなるグループが作成されます。以下同様です。したがって、異なる基数では同じ数でも異なる値になります。

5進数で241： 5人ずつのグループが2つ2 (25) 5人ずつのグループが4つ 1人ずつのグループが1つ うわー、うわー うわー、うわー、うわー、うわー うわー、うわー + + o うわー、うわー、うわー、うわー うわー、うわー

8進数で241： 8人ずつのグループが2つ2 (64) 8人ずつのグループが4つ 1人ずつのグループが1つ うわああああああああ うわああああああああ おおおおおおおおおおおおおおお oooooooo oooooooo + + o うわああああああああ おおおおおおおおおおおおおおお うわああああああああ うわああああああああ

表記法は、先頭にマイナス記号を付けることでさらに拡張できます。これにより、負の数を表現できます。与えられた基数に対して、すべての表現は必ず1つの実数に対応し、すべての実数は少なくとも1つの表現を持ちます。有理数の表現とは、有限であるか、バー記号を使用するか、または無限に繰り返される数字のサイクルで終わる表現のことです。

数字とは位取り記数法に用いられる記号であり、数とは位取り記数法を用いて数を表すために用いられる1つ以上の数字から構成されるものです。今日最も一般的に用いられる数字は、 10進数の「0」、「1」、「2」、「3」、「4」、「5」、「6」、「7」、「8」、「9」です。数字と数の違いは、基数という概念において最も顕著に現れます。

複数の桁を持つゼロ以外の数字は、異なる基数では異なる数字を意味しますが、一般的には、桁は同じ意味になります。^{[ 16 ]}例えば、基数8の数字23 ₈は、「2」と「3」の2つの数字と、基数（添え字）「8」を含みます。基数10に変換すると、23 _{8は19 10}と等価になります。つまり、23 ₈ = 19 ₁₀です。ここでの表記では、数字23 _{8の添え字「 8} 」は数字の一部ですが、常にそうとは限りません。

数字「23」の基数が曖昧であると想像してみてください。そうすると、「23」は4進数からそれ以上のどの基数にもなり得ます。4進数では、「23」は11 ₁₀、つまり23 ₄ = 11 ₁₀を意味します。60進数では、「23」は123 ₁₀、つまり23 ₆₀ = 123 ₁₀を意味します。この場合、数字「23」は10進数の集合{11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123}に対応し、数字の「2」と「3」は常に元の意味を保持します。「2」は「2つ」、「3」は「3つ」を意味します。

特定の用途において、固定桁数の数字でより大きな数を表す必要がある場合、桁数の多い上位の基数を使用できます。3桁の10進数では、最大999までしか表現できません。しかし、例えば数字「A」を追加して基数を11に増やすと、同じ3桁で最大「AAA」まで増やすことができ、1330という大きな数を表すことができます。基数をさらに増やして「B」を11に割り当てるなど、同様に続けることができます（ただし、数字-桁-数字の階層構造では、数字と桁の間に暗号化が存在する可能性もあります）。基数60の3桁の数字「ZZZ」は、215 999。英数字の全コレクションを使用すれば、最終的には62進数体系を実現できますが、数字の「1」と「0」との混同を減らすために、大文字の「I」と大文字の「O」の2桁を削除します。 ^{[ 17 ]} 62個の標準英数字のうち60個を使用する60進数体系、つまり六十進数体系が残ります。（ただし、下記の六十進数体系を参照してください。）一般に、で表現できる可能な値の数は、${\displaystyle d}$基数での桁数${\displaystyle r}$は$\displaystyle r^{d}}$。

コンピュータサイエンスで一般的に使用される数字体系は、2進数（基数2）、8進数（基数8）、16進数（基数16）です。2進数では、数字は「0」と「1」のみです。8進数では、0～7の8つの数字が使用されます。16進数は0～9、A～Fで、10の数字は通常の意味を持ち、アルファベットは10～15の値に対応し、合計16の数字が使用されます。数字の「10」は、2進数では「2」、8進数では「8」、16進数では「16」となります。

この表記法は、底bの負の指数にも拡張できます。その際、非負の指数を持つ位置と負の指数を持つ位置を区切るために、いわゆる基数小数点 (主に ».«) が使用されます。

整数でない数は、小数点より後の桁を使用します。小数点より後ろ（つまり一の位より後）の桁ごとに、b ⁿの指数n は1 ずつ減少し、指数は 0 に近づきます。たとえば、2.35 は次のようになります。

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

基数と桁のすべてが非負である場合、負の数を表現することはできません。この問題を解決するために、数字体系にマイナス記号（ここでは −）が追加されます。通常の表記では、非負の数を表す数字列の先頭にマイナス記号が付けられます。

ベースへの変換${\displaystyle b_{2}}$基数で表された整数nの${\displaystyle b_{1}}$ユークリッド分割の連続によって実行できます。${\displaystyle b_{2}:}$基数の右端の数字${\displaystyle b_{2}}$nを で割った余り${\displaystyle b_{2};}$右から2番目の数字は、商をで割った余りです。${\displaystyle b_{2},}$など。一番左の桁は最後の商です。一般に、右からk番目の桁は、で割った余りです。${\displaystyle b_{2}}$( k -1)番目の商の。

例：A10Bの_16進数を10進数に変換する（41227）：

0xA10B/10 = Q: 0x101A、R: 7 (一の位) 0x101A/10 = Q: 0x19C、R: 2 (十の位) 0x19C/10 = Q: 0x29、R: 2 (百の位) 0x29/10 = Q: 0x4、R: 1 ... 4

より大きな基数に変換する場合（例えば、2進数から10進数へ）、余りは${\displaystyle b_{2}}$1桁の数字として、${\displaystyle b_{1}}$例えば、0b11111001（2進数）を249（10進数）に変換する場合：

0b11111001/10 = 問: 0b11000、答: 0b1001 (0b1001 は一の位を表す「9」です) 0b11000/10 = Q: 0b10、R: 0b100 (0b100 = 10の位を表す「4」) 0b10/10 = Q: 0b0、R: 0b10 (0b10 = 百の位を表す「2」)

小数部分については、基数小数点以下の桁（分子）を取り出し、それを変換先の基数における分母で割ることで変換できます。ただし、簡約された分数の分母が、変換先の基数の素因数以外の素因数を持つ場合、桁が終わらなくなる可能性があるため、近似が必要になる場合があります。例えば、10進数の0.1（1/10）は2進数では0b1/0b1010となり、これを2進数で割ると、結果は0b0.0 0011となります（10の素因数の1つが5であるため）。より一般的な分数と基数については、正の基数のアルゴリズムを参照してください。

あるいは、ホーナー法は、繰り返し乗算を使用して基数変換に使用でき、繰り返し除算と同じ計算複雑度を持ちます。^{[ 18 ]}位置表記の数値は、各桁が係数である多項式と考えることができます。係数は1桁より大きい場合があるので、基数を変換する効率的な方法は、各桁を変換してから、ホーナー法を使用して目的の基数内で多項式を評価することです。各桁の変換は単純なルックアップテーブルであり、高価な除算や剰余演算は不要です。また、xによる乗算は右シフトになります。ただし、1桁または疎な桁の繰り返し二乗など、他の多項式評価アルゴリズムも機能します。例:

0xA10Bを41227に変換します A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

ルックアップテーブル: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 したがって、0xA10Bの10進数の各桁は10、1、0、11です。

数字をこのように並べます。最上位桁（10）は「削除」されます。 10 1 0 11 <- 0xA10B の数字

 --------------- 10 次に、ソース基数（16）の分母の数を掛け、その積をソース値の次の桁の下に配置し、その後加算します。 10 1 0 11 160 --------------- 10 161

最後の加算が完了するまで、これを繰り返します。 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227

そしてそれは10進数で41227です。

0b11111001を249に変換します ルックアップテーブル: 0b0 = 0 0b1 = 1

結果： 1 1 1 1 1 0 0 1 <- 0b11111001 の数字 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

有限表現を持つ数は半環を形成する

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

より具体的に言うと、${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$は の因数分解です${\displaystyle b}$素数へ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$指数付き${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$[ ^{19 ]}空でない分母の集合^で${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$ 我々は持っています

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

どこ${\displaystyle \langle S\rangle }$は、${\displaystyle p\in S}$そして${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$いわゆるローカライズ​${\displaystyle \mathbb {Z} }$に関して${\displaystyle S}$。

要素の分母${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$最小項に還元すると、素因数のみが含まれる${\displaystyle S}$.すべての終止分数を基数とするこの環${\displaystyle b}$有理数の分野では密集している${\displaystyle \mathbb {Q} }$通常の（アルキメデス）計量に対するその完成は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$すなわち実数${\displaystyle \mathbb {R} }$だから、もし${\displaystyle S=\{p\}}$それから${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$混同してはならない${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$プライムの離散評価リング${\displaystyle p}$これは、${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$と${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$。

もし${\displaystyle b}$分ける${\displaystyle c}$、 我々は持っています${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

¹⁰進法（基数10）のヒンドゥー・アラビア数字体系では、右から順に各桁が10のべき乗を表します。最初の桁は10⁰（1）、2番目の桁は10¹ （ ^{10 ）、 3}番目の桁は10²（10×10または100）、4番目の桁は^10³（ 10 ×10×10または1000）などとなります。

小数値は区切り文字で示され、その位置は異なる場合があります。通常、この区切り文字はピリオドまたはコンマです。区切り文字の右側の数字は^、 10の負のべき乗または指数で乗算されます。区切り文字の右側の最初の位置は10⁻¹（0.1）、2番目の位置は10⁻² （0.01）^を示し、以降も同様です。

例えば、10進数表記における2674は次のようになります。

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

または

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

六十進法、または60進法は、バビロニア数字やその他のメソポタミアの数字体系の整数部分と小数部分に使用され、ヘレニズム時代の天文学者は小数部分のみにギリシャ数字を使用し、現在でも時間や角度を表すのに使用されていますが、分と秒に限って使用されています。ただし、これらの使用法すべてが位置関係に基づくものではありませんでした。

現代の時刻表記では、各位置をコロンまたはプライム記号で区切ります。たとえば、時刻は 10:25:59 (10 時間 25 分 59 秒) のようになります。角度も同様の表記法を使用します。たとえば、角度は10° 25 ′ 59 ″ (10度25分59秒) のようになります。どちらの場合も、分と秒のみが 60 進法表記を使用します。角度は 59 より大きい値になることもあります (円を 1 周すると 360°、2 周すると 720° など)。また、時刻と角度の両方で秒の小数部分を使用します。これは、より細かい増分に3 分の1、4 分の1 などを使用していたヘレニズム時代およびルネサンス時代の天文学者が使用していた数値とは対照的です。私たちが10° ‍ 25 ′ ‍ 59.392 ″と書くところを、彼らは10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ′′ ‍ 23 ′′′ ‍ 31 ′′′′ ‍ 12 ′′′′′または10° ‍ 25ⁱ ‍ 59ⁱⁱ ‍ 23ⁱⁱⁱ ‍ 31^iv ‍ 12^vと書いたでしょう。

大文字と小文字のアルファベットを組み合わせた数字セットを使用すると、60進数を短く表記できます。たとえば、10:25:59 は「ARz」になります (I と O は省略しますが、i と o は省略しません)。これは URL などで使用するのに便利ですが、人間にとってはあまり理解しやすいものではありません。

1930年代に、オットー・ノイゲバウアーは、バビロニアとヘレニズムの数に、各桁に0から59までの現代の十進表記を代入し、整数部分と小数部分をセミコロン(;)で区切り、各桁内の桁をコンマ(,)で区切る現代的な表記システムを導入しました。^{[ 22 ]}例えば、バビロニアとヘレニズムの天文学者が使用し、現在もヘブライ暦で使用されている朔望月の平均は29;31,50,8,20日であり、上記の例で使用されている角度は10;25,59,23,31,12度と表記されます。

コンピューティングでは、2進数（基数2）、8進数（基数8）、16進数（基数16）が最も一般的に使用されます。コンピュータは、最も基本的なレベルでは、従来の0と1のシーケンスのみを扱うため、この意味では2のべき乗を扱う方が容易です。16進数は2進数の「略記法」として使用され、4つの2進数（ビット）ごとに1つの16進数に対応します。16進数では、9の次の6つの数字はA、B、C、D、E、F（場合によってはa、b、c、d、e、f）で表されます。

8進数表記は、2進数を表す別の方法として用いられます。この場合、基数は8であるため、0、1、2、3、4、5、6、7の7桁のみが使用されます。2進数から8進数に変換する際、3ビットごとに1つの8進数桁が対応します。

バイナリからテキストへのエンコード、任意精度演算の実装、その他のアプリケーションには、16進数、10進数、8進数、その他さまざまな基数が使用されてきました。

基数とその応用例の一覧については、「数体系の一覧」を参照してください。

12進法（十二進法またはダズン法）は、乗算と除算が10進法よりも簡単で、加算と減算も同様に簡単なため、広く普及しています。12は多くの約数を持つため、便利な基数です。1、2、3、4、6の最小公倍数です。英語には今でも「dozen」を表す特別な単語があり、10の2乗を表す単語「hundred」に倣って、商業では12の²乗を表す単語「gross 」が生まれました。標準的な12時間制の時計と、英語の単位で12がよく使われることは、この基数の有用性を強調しています。さらに、^{10進法への変換以前の旧英国通貨}ポンドスターリング（GBP）は、部分的に12進法を使用していました。1シリング（s）は12ペンス（d）、1ポンド（£）は20シリングだったので、1ポンドは240ペンスでした。そのため、LSD、より正確には£sdという用語が使われています。

マヤ文明をはじめとするコロンブス以前のメソアメリカの文明は20進法（20進法）を使用しており、北米のいくつかの部族（南カリフォルニアの2つの部族を含む）も同様であった。20進法の計数体系の証拠は、中央アフリカおよび西アフリカの言語にも見られる。

フランス語にもガリアの20進法の名残が見られ、60から99までの数字の名称にその名残が表れています。例えば、65はsoixante-cinq（文字通り「60と5」）、75はsoixante-quinze（文字通り「60と15」）です。さらに、80から99までの数字は、10の位の数字が20の倍数で表されます。例えば、82はquatre-vingt-deux（文字通り「20が4つと2」）、92はquatre-vingt-douze（文字通り「20が4つと12」）です。古フランス語では、40は20を2つ、60は20を3つと表され、53は20を2つと13と表された。

英語でも、同じ20進法は「 scores 」という表現に見られます。これは主に歴史的な表現ですが、時折口語的にも使われます。欽定訳聖書の詩篇90篇10節は、「わたしたちの年月は70年。もし力によって80年になるとしても、その力は労苦と悲しみである」で始まります。ゲティスバーグ演説は「87年前」で始まります。

アイルランド語も過去には基数 20 を使用しており、20 はfichid、40 dhá fhichid、60 trí fhichid、および 80 ceithre fhichidでした。このシステムの名残は、40 を表す現代語「daoichead」に見られるかもしれません。

ウェールズ語では、特に人の年齢、日付、日常会話などで、 20進法が引き続き用いられています。15も重要な数字で、16～19は「15分の1」、「15分の2」などと表現されます。18は通常「9が2つ」となります。10進法も一般的に用いられています。

イヌイット語は20進法を使用します。アラスカ州カクトヴィクの学生たちは1994年に20進法を発明しました^{[ 23 ]}

デンマークの数字も同様に20進法の構造を示している。

ニュージーランドのマオリ語にも、20進法の根底にある証拠が見られます。例えば、戦士集団を指す「Te Hokowhitu a Tu」 （文字通り「Tuの7つの20」）や、偉大な戦士を指す「Tama-hokotahi」（「20に等しい1人の男」）といった表現が挙げられます。

二進法は 、紀元前3000年から紀元前2050年のエジプト古王国時代に使用されていました 。これは、1より小さい有理数を1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64に丸め、1/64の項を捨てることで、筆記体で表されていました（このシステムはホルスの目と呼ばれていました）。

オーストラリアのアボリジニ言語の多くは、二進数または二進数に似た数え方システムを採用しています。たとえば、Kala Lagaw Yaでは、1 から 6 までの数字はurapon、ukasar、ukasar-urapon、ukasar-ukasar、ukasar-ukasar-urapon、ukasar-ukasar-ukasarです。

北米および中央アメリカの先住民は、四方位を表すために4進法（四元数）を用いていた。メソアメリカの人々は、それに加えて5進法をもう一つ加えることで、修正された20進法を作り出した。

5進法（五進法）は、多くの文化圏で数を数えるために用いられてきました。これは、人間の手の指の数に基づいています。また、10進法、20進法、60進法などの他の基数の下位基数とみなすこともできます。

北カリフォルニアのユキ族は、指の間のスペースを1から8までの数字に対応させて数える8進法（8進数）を考案した。 ^{[ 24 ]}また、青銅器時代のインド・ヨーロッパ祖語話者（ほとんどのヨーロッパ語とインド語の祖先）が8進法（または8までしか数えられないシステム）を10進法に置き換えたことを示唆する言語学的証拠もある。その証拠として、9を表す単語newmは、「新しい」を意味する単語newo-に由来すると考えられており、9という数字が最近発明され、「新しい数字」と呼ばれていたことを示唆している。^{[ 25 ]}

多くの古代の数体系は、5を基本基数として使用しており、これはほぼ間違いなく人の手の指の数に由来しています。これらの体系には、10や20といった二次基数がしばしば追加されます。アフリカの言語の中には、5を表す単語が「手」や「拳」と同じであるものもあります（ギニアビサウのディオラ語、中央アフリカのバンダ語）。5の組み合わせに1、2、3、または4を加えて、二次基数に達するまで数え続けます。20の場合、この単語はしばしば「完全な人間」を意味します。この体系は52進法と呼ばれ、スーダン地域の多くの言語に見られます。

パプアニューギニアで話されているテレフォル語は、27進法の数体系を持つことで知られている。