逆要素

数学において、逆元の概念は数の反対( − x ) と逆数( 1/ x )の概念を一般化します。

ここで∗で表される演算と e で表される単位元が与えられ、x ∗ y = e であれば、 xはyの左逆であり、y は x の右逆であると言えます。(単位元とは、左辺が定義されているすべてのxとyに対して、 x * e = xかつe * y = y と^{なる元のことです。 [1]} )

演算∗が結合的である場合、元x に左逆と右逆の両方がある場合、これら 2 つの逆は等しく一意です。これらは逆元または単に逆元と呼ばれます。多くの場合、加法逆元、乗法逆元、関数逆元などのように、演算を特定するために形容詞が追加されます。この場合 (結合演算)、 可逆元は逆元を持つ元です。環では、可逆元(単位元とも呼ばれる) は乗法で可逆な元です (すべての元は加法で可逆なので、これはあいまいではありません)。

逆写像は、すべての元が可逆な群や、可逆な元が単位とも呼ばれる環でよく使用されます。また、逆行列や逆関数など、すべての可能なオペランドに対して定義されていない演算にもよく使用されます。これはカテゴリ理論に一般化されており、定義により、同型写像は可逆写像です。

「逆」という単語はラテン語のinversusに由来し、「ひっくり返した」、「ひっくり返した」という意味です。これは分数の場合に、分子と分母を交換することで（乗法の）逆数が得られることに由来していると考えられます（ の逆数はです）。 ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$

逆元と可逆元の概念は、どこでも定義されている二項演算（つまり、演算はその定義域の任意の2つの要素に対して定義されている）に対して一般的に定義されています。ただし、これらの概念は、部分演算、つまりどこでも定義されていない演算でもよく使用されます。一般的な例としては、行列の乗算、関数の合成、カテゴリ内の射の合成などがあります。したがって、結合性と単位元の一般的な定義は部分演算に拡張する必要があります。これが最初のサブセクションの目的です。

この節では、Xは集合（適切なクラス）であり、その上に部分演算（全体演算でもよい）が定義され、${\displaystyle *.}$

部分演算が結合的であるのは、

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z}$

Xの任意のx、y、zについて、等式の要素の 1 つが定義されています。等式は、等式の他の要素も定義される必要があることを意味します。

非全結合演算の例としては、任意のサイズの行列の乗算や関数の合成などが挙げられます。

集合X上の部分的な結合演算があるとします。 ${\displaystyle *}$

単位元、または単に単位元とは 、

${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*y=y}$

等式の左辺が定義されている すべてのxとyに対して。

eとf がが定義されている2つの単位元である場合、(これは の定義から直ちに導かれる。) ${\displaystyle e*f}$${\displaystyle e=f.}$${\displaystyle e=e*f=f.}$

したがって、全演算には最大で 1 つの単位元があり、eとf が異なる単位元である場合は定義されません。 ${\displaystyle e*f}$

たとえば、行列の乗算の場合、すべての正の整数nに対して 1 つのn × n 単位行列が存在し、異なるサイズの 2 つの単位行列を乗算することはできません。

同様に、恒等関数は関数合成の恒等元であり、2 つの異なる集合の恒等関数の合成は定義されていません。

eが単位元で ある場合、 x はyの左逆であり、y はxの右逆であると言えます。 ${\displaystyle x*y=e,}$

左逆と右逆は、演算が全結合的であっても常に存在するとは限りません。たとえば、加算は非負整数に対する全結合演算であり、0は加法単位元であり、0 は加法逆を持つ唯一の要素です。この逆がないことが、自然数を整数に拡張する主な動機です。

要素は、演算が完全かつ結合的である場合でも、複数の左逆と複数の右逆を持つことができます。たとえば、整数から整数への関数を考えてみましょう。倍増関数は、 関数合成の下で無限に多くの左逆を持ちます。これは、偶数を 2 で割り、奇数に任意の値を与える関数です。同様に、n をまたは にマップするすべての関数は、nが偶数か奇数かに応じてn をまたはにマップする床関数の右逆です。 ${\displaystyle x\mapsto 2x}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n+1}$${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$${\textstyle {\frac {n}{2}}}$${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$

より一般的には、関数が単射である場合に限り、関数合成の左逆関数が存在し、関数が射影である場合に限り、右逆関数が存在します。

圏論では、右逆はセクションとも呼ばれ、左逆は撤回とも呼ばれます。

要素が左逆と右逆を持つ場合、その要素は演算によって 逆変換可能です。

結合的な演算が行われる一般的なケースでは、要素の左逆と右逆は等しく一意である。実際、lとrがそれぞれxの左逆と右逆であれば、

${\displaystyle l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.}$

可逆要素の 逆は、その要素の唯一の左逆または右逆です。

演算が加算として表記される場合、要素xの逆、つまり加法逆はと表記されます。それ以外の場合、 xの逆は一般に と表記されるか、または可換乗算の場合にはと表記されます。 複数の演算が混同される可能性がある場合は、 のように、指数の前に演算の記号を追加できます。 は乗法逆に対して使用できるため、という表記法は関数合成にはあまり使用されません。 ${\displaystyle -x.}$${\displaystyle x^{-1},}$${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$${\displaystyle x^{*-1}.}$${\displaystyle f^{\circ -1}}$${\textstyle {\frac {1}{f}}}$

xとyが可逆で、が定義されている場合、は可逆であり、その逆は${\displaystyle x*y}$${\displaystyle x*y}$${\displaystyle y^{-1}x^{-1}.}$

可逆準同型は同型性と呼ばれます。 圏論では、可逆射は同型性とも呼ばれます。

群とは、単位元を持ち、すべての要素に逆元が存在する 結合演算を持つ集合です。

したがって、逆関数は、群からそれ自身への関数であり、引数が 1 の演算とも考えられます。元の逆関数の逆関数は元自体であるため、逆 関数は反転でもあります。

グループは、集合に対して、この集合の変換として作用することがあります。この場合、グループ要素の逆は、定義される変換の逆である変換を定義します。つまり、定義される変換を「元に戻す」変換です。${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g,}$${\displaystyle g.}$

たとえば、ルービックキューブ群は、基本的な動きの有限シーケンスを表します。このようなシーケンスの逆は、各動きの逆を逆の順序で適用することで得られます。

モノイドは、結合演算を持ち、単位元を持つ集合です。

モノイド内の可逆な要素は、モノイド演算によってグループを形成します。

環は環乗法のモノイドです。この場合、可逆な元は単位とも呼ばれ、環の 単位群を形成します。

モノイドが可換でない場合、左逆または右逆を持つ非可逆な要素が存在する可能性があります (両方が存在すると、要素は可逆になります)。

たとえば、集合からそれ自身への関数の集合は、関数合成の下でモノイドです。このモノイドでは、可逆な元は全単射関数、左逆を持つ元は単射関数、右逆を持つ元は全射関数です。

モノイドが与えられた場合、いくつかの要素に逆元を追加することでモノイドを拡張したい場合があります。これは一般に非可換モノイドでは不可能ですが、可換モノイドでは、キャンセル特性を持つ要素に逆元を追加することができます(要素xは、が を意味し、を意味する場合、キャンセル特性を持ちます)。このモノイドの拡張は、グロタンディーク群の構成によって可能になります。これは、自然数から整数を構築したり、整数から有理数を構築したり、より一般的には、整域の分数体や可換環の局所化を構築したりするためによく使用される方法です。 ${\displaystyle xy=xz}$${\displaystyle y=z,}$${\displaystyle yx=zx}$${\displaystyle y=z}$

環は、数値に対する通常の演算として表される 加算と乗算という2 つの演算を持つ代数構造です。

加法の下では、環はアーベル群であり、これは加法が可換かつ結合的であることを意味します。環には、加法単位元と呼ばれる恒等元があり、0と表記されます。また、すべての元x には、加法逆元と呼ばれる逆元があり、 − xと表記されます。可換性のため、左逆元と右逆元の概念は、逆元と異ならないため無意味です。

乗法の下では、環はモノイドである。これは、乗法が結合的であり、乗法単位元と呼ばれる恒等元を持ち、1 と表記されることを意味する。乗法の可逆元は単位元と呼ばれる。単位元xの逆元または乗法逆元（加法逆元との混同を避けるため）は、または乗法が可換な場合は、次のように表記される。${\displaystyle x^{-1},}$${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

加法単位元0は、環が0 を一意の元として 持つ零環である場合を除き、単位元になることはありません。

0 が唯一の非単位である場合、乗算が可換であれば環は体であり、そうでない場合は除算環です。

非可換環（つまり、乗法が可換でない環）では、非可逆元は 1 つまたは複数の左逆または右逆を持つことがあります。これは、たとえば、無限次元ベクトル空間からそれ自身への線型関数の場合です。

可換環（つまり、乗法が可換な環）は、零因子でない元（つまり、零でない元との積が0にならない元）に逆元を加えることによって拡張できる。これが局所化の過程であり、特に整数環から有理数体、より一般的には整域の分数体を生成する。局所化は零因子にも用いられるが、この場合、元の環は局所化の部分環ではなく、局所化に非単射に写像される。

行列の乗算は、一般的に体上の行列に対して定義され、環、乱数、半環上の行列に直接拡張されます。ただし、このセクションでは、階数と行列式の概念を使用するため、可換環上の行列のみを検討します。

Aがm × n行列（つまり、m行n列の行列）で、Bがp × q行列である場合、 n = p の場合にのみ積ABが定義されます。単位行列、つまり行列乗算の単位元は、主対角要素がすべて1で、他のすべての要素が0である正方行列（行と列の数が同じ）です。

可逆行列は、行列の乗算において可逆な要素です。可換環R上の行列は、その行列式がRの 単位行列である場合（つまり、Rで可逆である場合）に限り、可逆です。この場合、その逆行列はクラメールの規則を使用して計算できます。

Rが体の 場合、行列式が逆行列であるのは、それがゼロでないときだけです。体の場合の方が一般的であるため、逆行列は非ゼロの行列式を持つ行列として定義されることがよくありますが、これは環上では正しくありません。

整数行列（つまり、整数要素を持つ行列）の場合、可逆行列とは、逆行列も整数行列である行列のことです。このような行列は、実数上で可逆な行列と区別するためにユニモジュラ行列と呼ばれます。正方整数行列は、その行列式が1または−1である場合にのみユニモジュラです。これは、これら 2 つの数が整数環の唯一の単位であるためです。

行列の階数が列数に等しい場合にのみ、行列には​​左逆行列が存在します。この左逆行列は、左逆行列が逆行列に等しい正方行列を除いて一意ではありません。同様に、階数が行数に等しい場合にのみ右逆行列が存在します。これは長方形行列の場合は一意ではなく、正方行列の場合は逆行列に等しくなります。

合成は、代数構造の準同型とカテゴリの射を合成とも呼ばれる演算に一般化する部分演算であり、関数合成と多くの特性を共有します。

いずれの場合も、合成は結合的です。

かつ の場合、合成はまたは の場合に限り定義されます。関数および準同型の場合、これはの余域がに等しいか、 gの定義域に含まれることを意味します。射の場合、これは の余域がgの定義域に等しいことを意味します。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y'\to Z,}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle Y'=Y}$${\displaystyle Y\subset Y'.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

すべてのオブジェクトX (集合、代数構造、またはオブジェクト) には恒等関数 があり、関数の場合は 恒等関数とも呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X}$

関数が可逆なのは、それが全単射である場合に限ります。可逆な準同型または射は同型と呼ばれます。代数構造の準同型は、それが全単射である場合に限り同型です。全単射の逆は逆関数と呼ばれます。その他の場合は、逆同型と呼ばれます。

関数が左逆関数または右逆関数を持つのは、それぞれ単射または全射である場合に限ります。左逆関数または右逆関数を持つ代数構造の準同型は、それぞれ単射または全射ですが、その逆は一部の代数構造では成り立ちません。たとえば、逆はベクトル空間では成り立ちますが、環上の加群では成り立ちません。つまり、右逆関数の左逆関数を持つ加群の準同型は、それぞれ分割エピモーフィズムまたは分割モノモーフィズムと呼ばれます。この用語は、任意のカテゴリの射にも使用されます。

を単位マグマ、つまり二項演算と単位元を持つ集合とします。 に対して が成り立つ場合、はの左逆、は の右逆と呼ばれます。元が の左逆と右逆の両方である場合、 は の両側逆、または単に逆と呼ばれます。 に両側逆を持つ元は、で可逆と呼ばれます。 片側にのみ逆元を持つ元は、左可逆または右可逆です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle a,b\in S}$${\displaystyle a*b=e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

単位マグマの要素は、複数の左、右、または両側の逆元を持つ場合があります。たとえば、ケーリー表で示されるマグマでは、 ${\displaystyle (S,*)}$

要素 2 と 3 にはそれぞれ 2 つの両側逆元があります。

すべての要素が逆行列を持つ単位マグマはループである必要はない。例えば、ケーリー表で与えられるマグマでは${\displaystyle (S,*)}$

すべての要素には一意の両側逆元（つまりそれ自身）がありますが、ケーリー表はラテン方陣ではないためループにはなりません。 ${\displaystyle (S,*)}$

同様に、ループは両側逆関数を持つ必要はありません。例えば、ケーリー表で示されるループでは、

両側逆元を持つ唯一の元は単位元 1 です。

演算が結合的である場合、要素に左逆と右逆の両方がある場合、それらは等しい。言い換えると、モノイド（結合的単位マグマ）では、すべての要素には最大で 1 つの逆（このセクションで定義）がある。モノイドでは、可逆な要素の集合はグループであり、の単位群と呼ばれ、またはH ₁で表されます。 ${\displaystyle *}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U(S)}$

前のセクションの定義は、単位元の概念に関連して、群における逆の概念を一般化しています。また、あまり明白ではありませんが、単位元を削除して結合性を維持することにより、つまり半群において逆の概念を一般化することも可能です。

半群Sにおいて、元xが(フォン・ノイマン) 正則であるとは、 Sに元z が存在してxzx = xとなる場合を指します。zは擬似逆元と呼ばれることもあります。元y が(単に) xの逆元であるとは、xyx = xかつy = yxyとなる場合です。すべての正則元には少なくとも 1 つの逆元があります。つまり、x = xzxであれば、 y = zxz がこの節で定義されているxの逆元であることは簡単に検証できます。証明しやすいもう 1 つの事実は、y がxの逆元であれば、e = xyおよびf = yxはべき等元、つまりee = eおよびff = fとなることです。したがって、 (相互に) 逆元のすべてのペアから 2 つのべき等元が生成され、ex = xf = x、ye = fy = yとなり、e はxに対して左恒等元として機能し、f は右恒等元として機能し、yについては左/右の役割が逆になります。この単純な観察は、グリーンの関係式を使って一般化することができます。任意の半群内のすべての冪等元eは、 R _eの左恒等元であり、 L _eの右恒等元です。^[2]この事実の直感的な説明は、互いに逆元であるすべてのペアが、それぞれ局所左恒等元と局所右恒等元を生成するということです。

モノイドでは、前のセクションで定義した逆の概念は、このセクションで定義するよりも厳密に狭いものです。グリーンクラス H ₁の要素のみが単位マグマの観点から逆を持ちますが、任意の冪等元eに対して、 H _eの要素にはこのセクションで定義する逆があります。このより一般的な定義では、任意の半群またはモノイドにおいて逆は一意である（または存在する）必要はありません。すべての要素が正則である場合、半群（またはモノイド）は正則と呼ばれ、すべての要素には少なくとも 1 つの逆があります。すべての要素にこのセクションで定義する逆が 1 つだけある場合、半群は逆半群と呼ばれます。最後に、冪等元が 1 つだけの逆半群は群です。逆半群は 000 = 0 なので吸収元0を持つことがありますが、群にはないことがあります。

半群論以外では、このセクションで定義される一意の逆は、準逆と呼ばれることがあります。ほとんどのアプリケーション (たとえば、この記事のすべての例) では結合性が成り立つため、これは一般的に正当化され、この概念は単位元に対する左/右逆の一般化になります (一般化逆を参照)。

逆半群の自然な一般化は、S内のすべてのaに対して ( a °)° = aとなるような (任意の) 単項演算 ° を定義することである。これにより、 S は⟨2,1⟩ 型代数を持つ。このような演算を持つ半群はU半群と呼ばれる。 a ° はaの逆であると思われるかもしれないが、必ずしもそうではない。興味深い概念を得るためには、単項演算は半群演算と何らかの形で相互作用する必要がある。U半群の 2 つのクラスが研究されている: ^[3]

• I -半群、相互作用公理はaa ° a = a
• *-半群では、相互作用公理は ( ab )° = b ° a ° です。このような操作は反転と呼ばれ、通常はa *

明らかに、群はI半群と * 半群の両方です。半群論で重要な半群のクラスは、完全に正則な半群です。これらは、さらにaa ° = a ° aを持つI半群です。言い換えると、すべての要素には可換な擬似逆元a ° があります。ただし、このような半群の具体的な例はほとんどなく、ほとんどは完全に単純な半群です。対照的に、* 半群のサブクラスである* 正則半群(Drazin の意味での) は、(一意の) 擬似逆元の最もよく知られた例の 1 つであるムーア–ペンローズ逆元をもたらします。ただし、この場合、反転a * は擬似逆元ではありません。むしろ、xの擬似逆元は、 xyx = x、yxy = y、 ( xy )* = xy、 ( yx )* = yxとなる一意の元yです。 *-正則半群は逆半群を一般化するため、*-正則半群でこのように定義された一意の要素は、一般化逆またはムーア-ペンローズ逆と呼ばれます。

このセクションのすべての例には結合演算子が含まれます。

(単調な)ガロア接続における下側および上側の随伴関数LおよびGは、互いに準逆関数です。つまり、LGL = LおよびGLG = Gであり、一方が他方を一意に決定します。ただし、これらは互いの左逆関数または右逆関数ではありません。

体に要素を持つ正方行列は 、その行列式が 0 と異なる場合に限り、逆行列 (同じサイズのすべての正方行列の集合において、行列乗算) になります。 の行列式が 0 の場合、片側逆行列を持つことは不可能です。したがって、左逆行列または右逆行列が存在するということは、もう一方が存在することを意味します。詳細については、 逆行列を参照してください。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

より一般的には、可換環 上の正方行列が逆行列となるのは、その行列式が において逆行列となる場合のみです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

フルランクの非正方行列にはいくつかの片側逆行列が存在する: ^[4]

• 逆の例は残してあります。例えば、${\displaystyle A:m\times n\mid m>n}$${\displaystyle \underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}}$
• なぜなら、正しい逆が存在するからである。例えば、${\displaystyle A:m\times n\mid m<n}$${\displaystyle A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}}$

左逆関数は の最小ノルム解を求めるのに使うことができ、これは回帰の最小二乗式でもあり、次のように与えられる。${\displaystyle Ax=b}$${\displaystyle x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.}$

ランク落ち行列には、逆行列 (片側逆行列も含む) はありません。ただし、ムーア-ペンローズ逆行列はすべての行列に存在し、存在する場合は左逆行列または右逆行列 (または真の逆行列) と一致します 。

逆行列の例として、次のものを考えてみましょう。

${\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$

したがって、 m < nなので、右逆があり、成分によって次のように計算されます。 ${\displaystyle A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}}$

左逆は存在しない。なぜなら

${\displaystyle A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}$

これは特異行列であり、逆行列をとることはできません。

• 分割リング
• ラテン方陣の性質
• ループ（代数）
• 単位（環理論）

• M. Kilp、U. Knauer、AV Mikhalev、「モノイド、行為、カテゴリ、およびリース積とグラフへの応用」、De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29、Walter de Gruyter、2000 年、ISBN 3-11-015248-7、p. 15 (unital magma での定義) および p. 33 (semigroup での定義) 
• ハウイー、ジョン・M（1995）。半群論の基礎。クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-851194-9。*-正則半群を除く、ここでの半群の資料がすべて含まれています。
• Drazin, MP,反転を伴う正則半群、正則半群に関するシンポジウム (DeKalb, 1979)、29–46
• 山田美幸「正則半群のP-システム」、半群フォーラム、24(1)、1982年12月、pp. 173–187
• Nordahl、TE、および HE Scheiblich、「レギュラー * セミグループ」、セミグループ フォーラム、16(1978)、369–377。