厳密な2カテゴリ

圏論において、厳密な 2 圏は「射間の射」を持つ圏、つまり各ホム集合自体が圏の構造を持つ圏である。これは、 Cat (圏と関手の圏、圏の積によってモノイド構造が与えられる圏) 上で強化された圏として正式に定義できる。

2-カテゴリーの概念は、1965年にチャールズ・エールスマンがエンリッチド・カテゴリーに関する研究で初めて導入しました^。[1]射の合成が2-同型までしか結合的でない、 より一般的な双カテゴリー（または弱2-カテゴリー）の概念は、1968年にジャン・ベナブーによって導入されました。^[2]

2 カテゴリ C は次のもので構成されます。

• 0セル(またはオブジェクト)のクラスA 、 B 、 ...。
• すべてのオブジェクトAとBに対して、カテゴリが成立します。このカテゴリのオブジェクトは1セルと呼ばれ、その射は2セルと呼ばれます。このカテゴリ内の構成は通常、またはと書かれ、垂直構成または1セルに沿った構成と呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {C} (A,B)}$${\displaystyle f,g:A\to B}$${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle \circ_{1}}$
• 任意のオブジェクト Aに対して、終端カテゴリ(1 つのオブジェクトと 1 つの矢印を持つ)から への関数があり、 A上の単位元1 セル ID _Aとその単位元 2 セル ID _{ID A}を選び出します。実際には、これら 2 つは単にAと表記されることが多いです。 ${\displaystyle \mathbf {C} (A,A)}$
• すべてのオブジェクトA、B、Cに対して、水平合成または0 セルに沿った合成と呼ばれる関数 が存在し、これは結合的で、アイデンティティ_Aの恒等式 1 と 2 セルを恒等式として認めます^{[説明が必要]}。ここで、 の結合性とは、を 2 回水平合成することは、2 つと のどちらを最初に合成するかには依存しないことを意味します。合成記号は省略されることが多く、2 セルと の水平合成は単にと記述されます。${\displaystyle \circ _{0}\colon \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)\to \mathbf {C} (A,C)}$${\displaystyle \circ_{0}}$${\displaystyle \mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)}$${\displaystyle \mathbf {C} (A,D)}$${\displaystyle \mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)}$${\displaystyle \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)}$${\displaystyle \circ_{0}}$${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g\colon A\to B}$${\displaystyle \beta \colon f'\Rightarrow g'\colon B\to C}$${\displaystyle \beta \alpha \colon f'f\Rightarrow g'g\colon A\to C}$

0セル、1セル、2セルという用語は、いくつかの情報源^[3]では0モルフィズム、1モルフィズム、2モルフィズムに置き換えられている（高次圏理論も参照）。

2-カテゴリの概念は、1-セルの合成（水平合成）が厳密に結合的であることが要求される点で、より一般的な双カテゴリの概念とは異なります。一方、双カテゴリでは、2-同型まで結合的であれば十分です。2-カテゴリの公理は、 Cat が豊富なカテゴリとしての定義の結果です。

• 垂直方向の構成は結合的かつ統一的であり、単位は恒等2セルid _fです。
• 水平方向の合成も (厳密に) 結合的かつ単位的であり、単位は単位 1 セルid _A上の単位 2 セルid _{id A}です。
• 交換法則は成り立つ。つまり、合成可能な2セルの場合、${\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta}$

${\displaystyle (\alpha \circ _{0}\beta )\circ _{1}(\gamma \circ _{0}\delta )=(\alpha \circ _{1}\gamma )\circ _{ 0}(\beta \circ _{1}\delta )}$

交換法則は、がホム圏間の関手であるという事実から導かれます。これは次のように貼り付け図として描くことができます。 ${\displaystyle \circ_{0}}$

ここで、左側の図は水平合成の垂直合成を示し、右側の図は垂直合成の水平合成を示し、中央の図は両方の慣例的な表現です。2 セルは二重矢印 ⇒ で、 1 セルは一重矢印 → で、0 セルは点で 描かれます。

順序付けされたセットはカテゴリとして簡単に解釈できるため、カテゴリOrd (順序付けされたセットの) は 2 カテゴリです。

典型的な 2 次元圏は、自然変換が 2 次元射として機能する小さな次元の圏です。このため、 通常、2 次元射はギリシャ文字で表されます (上記など)。${\displaystyle \alpha}$

オブジェクト（0セル）はすべて小さなカテゴリであり、すべてのオブジェクトAとBに対してカテゴリは関数カテゴリです。この文脈では、垂直合成は^[4]自然変換の合成です。 ${\displaystyle \mathbf {C} (A,B)}$

数学において、教義とは単に 2 次元の範疇であり、発見的に理論体系とみなされます。たとえば、ウィリアム・ローヴェアが発明した代数理論は教義の一例であり、多重ソート理論、オペラド、カテゴリ、トポースも教義の一例です。

2-カテゴリの対象は理論と呼ばれ、1-射はBにおけるAのモデルと呼ばれ、2-射はモデル間の射と呼ばれます。${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$

2-カテゴリと教義の区別は、実際には経験的なものです。通常、2-カテゴリには、オブジェクトとしての理論と射としてのモデルが含まれるとは考えられません。この語彙こそが、教義の理論を価値あるものにしているのです。

たとえば、カテゴリ、関数、自然変換の2 カテゴリCat は教義です。すべてのプレシェーフ カテゴリがモデルのカテゴリであることがすぐにわかります。

別の例として、有限積をオブジェクトとして、積保存関数を 1 射として持つカテゴリのみで構成されるCatのサブカテゴリを取り上げます。これは、マルチソート代数理論の教義です。1 ソート代数理論のみが必要な場合は、単一のオブジェクトによって積の下で生成されるカテゴリのみにオブジェクトを制限します。

教義はジョナサン・モック・ベックによって発見されました。

• nカテゴリ
• nラボの2カテゴリー

• 一般化代数モデル、Claudia Centazzo 著。

• ウィキメディア・コモンズの厳密な2カテゴリに関連するメディア