ゼロ行列

数学、特に線型代数学において、ゼロ行列またはヌル行列は、すべての要素がゼロである行列である。これは、加法行列群の加法単位行列としても機能し、文脈に応じて行列の次元に対応する添え字が続く記号またはで表されます。 ^{[1] [2] [3]}ゼロ行列の例 としては、${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle O}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

環K内の要素を持つ行列の集合は環 を形成します。の零行列は、すべての要素が に等しい行列です。ここで、はK 内の 加法単位行列です。${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K_{m,n}}$${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$${\displaystyle K_{m,n}\,}$${\displaystyle 0_{K}\,}$${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

零行列は における加法単位行列である。^[4]つまり、すべての に対して、次の式を満たす。 ${\displaystyle K_{m,n}\,}$${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

任意の次元m × nのゼロ行列は 1 つだけ存在します(任意の環からの要素を含む)。そのため、文脈が明確な場合は、ゼロ行列を指すことがよくあります。一般に、環のゼロ要素は一意であり、通常は親環を示す添え字なしで 0 で表されます。したがって、上記の例は任意の環上のゼロ行列を表しています。

ゼロ行列は、すべてのベクトルをゼロベクトルに送る線形変換も表します。^[5]これはべき等性があり、つまり、それ自身を掛け合わせると、結果はそれ自身になります。

ゼロ行列は、ランクが0 である唯一の行列です。

通常の最小二乗回帰では、データに完全に適合する場合、消滅行列はゼロ行列になります。

• 単位行列、行列の乗法単位行列
• 1の行列、すべての要素が1である行列
• べき零行列
• 単項行列、1つの要素を除くすべての要素がゼロである行列