基本行列

数学において、基本行列とは、単位行列に単一の基本行操作を適用することによって得られる正方行列のことです。基本行列は、 $F が$ 体である場合、一般線形群 $GL$ $n$ $($ $F$ $)$ を生成します。基本行列による左乗算（前乗算）は対応する基本行操作を表し、右乗算（後乗算）は対応する基本列操作を表します。

ガウス消去法では、基本行操作を用いて行列を行階段形に変換します。また、ガウス・ジョルダン消去法では、さらに簡約行階段形に変換するために基本行操作を用います。

基本行演算

基本行列には3種類あり、それぞれ3種類の行操作（列操作）に対応しています。

列切り替え: 行列内の行は、別の行と入れ替えることができます。; $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

行乗算: 行内の各要素は、ゼロ以外の定数を乗算することができます。これは行のスケーリングとも呼ばれます。; $kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{ただし}}k\neq 0$

行の追加: ある行は、その行と別の行の倍数の合計で置き換えることができる。; $R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{ただし}}i\neq j$

$以下に説明するように、 E が$ 基本行列である場合、行列 $Aに基本行操作を適用するには、$ $A$ に左側の基本行列 $EA$ を掛けます。任意の行操作の基本行列は、単位行列に対して操作を実行することによって得られます。この事実は、行列のカテゴリに適用された米田の補題の一例として理解できます。^{[ 1 ]}

行入れ替え変換

行列 $Aに対する最初のタイプの行操作は、$ $i$ 行目のすべての行列要素を、別の行 $j$ 上の対応する要素と入れ替える操作です。対応する基本行列は、単位行列の $i$ 行目と $j$ 行目を入れ替えることによって得られます。

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

したがって、 $T i,j Aは、$ $A$ の $i$ 行目と $j$ 行目を交換することによって生成される行列です。

係数に関して、行列 $T i,j$ は次のように定義されます。

[T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}

物件

この行列の逆行列は、それ自身です。 $T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.$
単位行列の行列式は1なので、 $\det(T_{i,j})=-1.$ したがって、任意の正方行列 $A$ (適切なサイズ) に対して、次の式が成り立つ。 $\det(T_{i,j}A)=-\det(A).$
理論的な考察では、行の入れ替え変換は、以下で紹介する行の加算変換と行の乗算変換から得られる。 $T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).$

行乗算変換

行列 $Aに対する次のタイプの行操作は、$ $i 行目のすべての要素に m$ を掛けます。 $ここ$ で $m は$ ゼロでないスカラー(通常は実数) です。対応する基本行列は対角行列であり、i 番目の位置を除いて対角要素はすべて 1 で、 $i$ 番目の位置では $m$ になります。

D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

したがって、 $D i (m) A$ $は、 Aの$ $i$ 行目に $m$ を掛けて生成される行列です。

係数に関して言えば、 $D i (m)$ 行列は次のように定義されます。

[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}

物件

この行列の逆行列は次のように表されます。 $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).$
その行列とその逆行列は対角行列である。
$\det(D_{i}(m))=m.$ したがって、（正しいサイズの）正方行列 $Aについては、次のようになります。$ $\det(D_{i}(m)A)=m\det(A).$

行追加変換

$行列A$ に対する最後の行操作は、行 $j$ にスカラー $mを乗じた値を行$ $i$ に加える操作です。対応する基本行列は、単位行列の $($ $i, j$ $)$ の位置に $m$ が入ったものです。

L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

したがって、 $L ij (m) A$ $は、行列A$ から行 $jを$ $m回行$ $i$ に加えた行列です。また、 $AL$ $ij$ $($ $m$ $)は、行列$ $A$ から列 $iを$ $m$ 回列 $j$ に加えた行列です。

係数に関して、行列 $L i,j (m)$ は次のように定義されます。

[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}

物件

これらの変換は、一種のせん断写像であり、トランスベクションとも呼ばれます。
この行列の逆行列は次のように表されます。 $L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).$
その行列とその逆行列は三角行列である。
$\det(L_{ij}(m))=1.$ したがって、（正しいサイズの）正方行列 $Aについては、次のようになります。$ $\det(L_{ij}(m)A)=\det(A).$
行加算変換はスタインバーグ関係式を満たす。

参考文献

↑ペローネ (2024) 、pp. 119–120

アクサー、シェルドン・ジェイ (1997)、線形代数の正しいやり方(第 2 版)、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-98259-0
レイ、デイビッド C. (2005 年 8 月 22 日)、線形代数とその応用(第 3 版)、アディソンウェスリー、ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D. (2001年2月15日)、『行列解析と応用線形代数』、産業応用数学会 (SIAM)、ISBN 978-0-89871-454-82009年10月31日にオリジナルからアーカイブされました
ペローネ、パオロ（2024）『カテゴリー理論入門』、ワールドサイエンティフィック、doi：10.1142/9789811286018_0005、ISBN 978-981-12-8600-1
Poole, David (2006),線形代数：現代入門（第2 版）, Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
アントン、ハワード（2005）、『初等線形代数（応用版）』（第9 版）、ワイリー・インターナショナル
レオン、スティーブン・J. (2006)、線形代数とその応用（第7 版）、ピアソン・プレンティス・ホール
ストラング、ギルバート（2016）、『線形代数入門（第5 版）』、ウェルズリー・ケンブリッジ・プレス、ISBN 978-09802327-7-6

[1] ペローネ (2024) 、pp. 119–120

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基本行列

基本行演算

行入れ替え変換

物件

行乗算変換

物件

行追加変換

物件

関連項目

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関連するトピック

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単位行列

行列のこと

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