正規直交性

線型代数では、内積空間の2 つのベクトルは、直交単位ベクトルである場合に正規直交です。単位ベクトルとは、ベクトルの長さが 1 であることを意味し、正規化とも呼ばれます。直交とは、ベクトルがすべて互いに垂直であることを意味します。ベクトルの集合は、その集合内のすべてのベクトルが互いに直交し、長さがすべて単位である場合に正規直交集合を形成します。基底を形成する正規直交集合は、正規直交基底と呼ばれます。

ベクトルの直交性の構築は、直交ベクトルの直感的な概念を高次元空間に拡張したいという願望によって動機付けられています。直交平面では、2 つのベクトルの間の角度が 90° の場合 (つまり、直角を形成する場合)、それらのベクトルは直交していると言われます。この定義は、内積を定義し、平面内の 2 つのベクトルの内積が 0 の場合にそれらのベクトルが直交することを指定すること によって、直交空間で形式化できます。

同様に、ベクトルのノルムの構築は、ベクトルの長さという直感的な概念を高次元空間に拡張したいという願望によって動機付けられています。直交座標空間では、ベクトルのノルムはベクトルの平方根にそれ自身を点付けしたものです。つまり、

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

線型代数学における重要な結果の多くは、2 つ以上の直交ベクトルの集合を扱っています。しかし、多くの場合、単位長さのベクトルを扱う方が簡単です。つまり、ノルムが 1 に等しいベクトルのみを考慮すると、物事が単純化されることがよくあります。直交するベクトルのペアを単位長さのベクトルのみに制限するという概念は、特別な名前が付けられるほど重要です。直交し、長さが 1 である 2 つのベクトルは、正規直交であると言われています。

2 次元ユークリッド空間における正規直交ベクトルのペアはどのように見えるでしょうか?

u = (x ₁ , y ₁ )、v = (x ₂ , y ₂ )とします。uとvが正規直交対を形成するために必要なx ₁、x ₂、y ₁、y ₂の制約を考慮してください。

• 直交性制約より、u • v = 0となる。
• uの単位長さ制限から、|| u || = 1 となります。
• vの単位長さの制限から、|| v || = 1 となります。

これらの項を展開すると、3 つの方程式が得られます。

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}$

デカルト座標から極座標に変換し、方程式と方程式を考慮すると、すぐに r ₁ = r ₂ = 1という結果が得られます。言い換えると、ベクトルが単位長さである必要があるため、ベクトルは単位円上にあるように制限されます。 ${\displaystyle (2)}$${\displaystyle (3)}$

代入後、式はとなる 。整理すると となる。三角関数の恒等式を使用して余接項を変換するととなる。 ${\displaystyle (1)}$${\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0}$${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$

${\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

平面では、正規直交ベクトルは単に角度の差が 90° に等しい単位円の半径であることは明らかです。

を内積空間とする。ベクトルの集合 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}}$

正規直交 性は、

${\displaystyle \forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

ここで はクロネッカーのデルタであり、 は上で定義される内積です。 ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

正規直交集合はそれ自体では特に重要ではありません。しかし、ベクトル空間上の 特定の演算子の対角化可能性の概念を探求する上で基本的な特徴を示します。

正規直交集合には非常に魅力的な特性があり、そのため特に扱いやすくなっています。

• 定理。{ e ₁ , e ₂ , ..., e _n }がベクトルの正規直交リストである場合、$${\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$$
• 定理。ベクトルのすべての正規直交リストは線形独立である。

• グラム・シュミットの定理。{ v ₁ , v ₂ ,..., v _n } が内積空間内の線形独立なベクトルのリストである、 内のベクトルの正規直交リスト { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } が存在し、 span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n )と。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

グラム・シュミットの定理の証明は構成的であり、他の場所で詳細に議論されています。グラム・シュミットの定理は、選択公理とともに、すべてのベクトル空間が正規直交基底を持つことを保証します。これはおそらく正規直交性の最も重要な用途です。なぜなら、この事実により、内積空間上の演算子を、その空間の正規直交基底ベクトルへの作用の観点から議論できるようになるからです。その結果、演算子の対角化可能性と、それが正規直交基底ベクトルにどのように作用するかの間には深い関係があります。この関係は、スペクトル定理によって特徴付けられます。

座標空間F ⁿの標準基底は

i≠j である任意の 2 つのベクトルe _i、e _jは直交しており、すべてのベクトルの長さは明らかに単位です。したがって、{ e ₁、e ₂、...、e _n } は正規直交基底を形成します。

実数値関数を参照する場合、特に断りのない限り、通常はL²内積が仮定されます。2つの関数とが区間上で正規直交する場合、 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {および}}}$

${\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\​​frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\​​frac {1}{2}}=1.}$

フーリエ級数は、周期関数を正弦波基底関数で表現する方法である。C [−π,π]を区間[−π,π]で連続な実数値関数全体の空間とし、その内積を

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$

それは次のように示せる。

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

正規直交集合を形成します。

しかし、これはあまり重要ではありません。なぜなら、C [−π,π] は無限次元であり、有限のベクトル集合はそれを張ることができないからです。しかし、n が有限であるという制限を取り除くと、集合はC [−π,π]に稠密になり、したがってC [−π,π] の正規直交基底になります。

• 直交化
• 正規直交関数システム

• アクラー、シェルドン（1997）、線形代数を正しく理解する（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 106-110、ISBN 978-0-387-98258-8
• 陳 偉凱 (2009)、回路とフィルタの基礎(第 3 版)、ボカラトン: CRC プレス、p. 62、ISBN 978-1-4200-5887-1