通常モード

物理学および工学の波動理論において、動的システムにおけるモードとは、励起の定常波状態であり、そのモードに関連付けられた固定周波数でシステムのすべての構成要素が正弦波状に影響を受ける状態を指します。

実際のシステムは定常波の枠組みに完全に適合することはできないため、モード概念は特定の振動状態を一般的に特徴付けるものとして採用され、それによって動的システムを線形的に扱い、状態の線形重ね合わせを行うことができる。

典型的な例としては、以下のようなものがあります。

• 機械的な動的システムにおいて、振動するロープはモードの最も明確な例であり、ロープは媒体、ロープにかかる応力は励起、そしてロープの静止状態に対する変位はモード変数である。
• 音響力学系において、単一の音高はモードであり、空気は媒質、空気中の音圧は励起、空気分子の変位はモード変数である。
• 構造力学系において、最も曲げ応力の大きい軸の下で振動する高層ビルはモードであり、適切な数値的簡略化の下では、建物のすべての材料が媒体、地震/風/環境による負荷が励起、変位がモード変数となる。
• 電気力学系において、粒子加速器用の薄い金属壁で囲まれた空洞空間を持つ共振空洞は、純粋な定在波システムであり、したがってモードの一例である。このモードでは、空洞空間が媒質、RF源（クライストロンまたは他のRF源）が励起、電磁場がモード変数となる。
• 音楽に関して言えば、振動する楽器（弦楽器、管楽器、ドラムなど）の通常の振動モードは「倍音」と呼ばれます。

正規モードの概念は、光学、量子力学、大気力学、分子動力学など、他の力学系にも応用されている。

ほとんどの動的システムは、複数のモードで励起される可能性があり、場合によっては同時に励起されることもあります。各モードは、モード変数場に応じて、1つまたは複数の周波数によって特徴付けられます。例えば、2次元空間における振動するロープは単一の周波数（1次元軸方向変位）によって定義されますが、3次元空間における振動するロープは2つの周波数（2次元軸方向変位）によって定義されます。

モード変数の振幅が一定の場合、正弦波励起によって各モードは特定の量のエネルギーを蓄積する。

複数のモードを持つシステムの通常モードまたは支配モードは、モード変数の振幅が与えられた場合に最小のエネルギーを蓄積するモード、あるいは同等に、蓄積されたエネルギー量が与えられた場合に、支配モードはモード変数の振幅を最大にするモードとなる。

振動モードは、固有振動数とモード形状によって特徴づけられます。振動における半波の数に応じて番号が付けられます。例えば、両端が固定された振動梁が正弦波の半分（振動梁上に1つのピーク）のモード形状を示した場合、それはモード1で振動していることになります。完全な正弦波（1つのピークと1つの谷）を示した場合は、モード2で振動していることになります。

図に示す円盤のような2次元以上のシステムでは、各次元にモード番号が割り当てられます。極座標を用いると、半径座標と角度座標が得られます。中心から半径座標に沿って外側に向かって測定すると、完全な波に遭遇するため、半径方向のモード番号は2になります。もう一方の方向は、円盤の振動が角度方向では反対称（または歪対称）であるため、円盤の半分しか考慮されないため、より複雑です。したがって、角度方向に沿って180°測定すると、半波に遭遇するため、角度方向のモード番号は1になります。したがって、システムのモード番号は、どちらの座標を「第1」座標、どちらを「第2」座標とみなすかによって、2-1または1-2になります（そのため、どのモード番号が各座標方向に対応するかを常に示すことが重要です）。

線形システムでは、各モードは他のすべてのモードから完全に独立しています。一般に、すべてのモードは異なる周波数（低次のモードほど周波数が低い）と異なるモード形状を持ちます。

一次元系において、特定の振動モードにおける振動には節、すなわち変位が常にゼロとなる点が存在する。これらの節は、モード形状においてモード形状がゼロとなる点に対応する。系の振動はモード形状に時間関数を乗じた値で表されるため、節点の変位は常にゼロとなる。

2次元システムに拡張すると、これらの節点は変位が常にゼロとなる線になります。上のアニメーションを見ると、2つの円（1つは端と中心の中間あたり、もう1つは端そのもの）と、円盤を二等分する直線が見えます。これらの直線では変位はほぼゼロです。理想化されたシステムでは、これらの線は右図のように正確にゼロになります。

質量mの2つの等しい物体（重力の影響を受けない）が、それぞればね定数kの3つのばねに取り付けられていると考える。これらは次のように取り付けられており、物理的に対称なシステムを形成している。

端点は固定されており、移動できません。x 1 ( t ) は左側の質量の水平方向の変位、x ₂ ( t )_は右側の質量の変位を表します。

加速度（ x ( t )の時間に関する2階微分）を次のように表す。${\textstyle {\ddot {x}}}$運動方程式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}}$$

通常のモード（両方の質量でωが同じ）の振動運動が予想されるため、以下を試します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

これらを運動方程式に代入すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

指数因子を省略して（すべての項に共通するため）、簡略化すると次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}}$$

行列表現では次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$$

左側の行列が可逆行列である場合、唯一の解は自明な解( A ₁ , A ₂ ) = ( x ₁ , x ₂ ) = (0, 0)です。非自明な解は、左側の行列が特異行列となるようなωの値に対して求められます。つまり、行列は可逆行列ではありません。したがって、行列式は 0 に等しくなければなりません。

$${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$$

ωについて解くと、2つの正の解は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

ω _{1 を}行列に代入して( A ₁ , A ₂ )を解くと、(1, 1)が得られる。ω ₂を代入すると、(1, −1)が得られる。（これらのベクトルは固有ベクトルであり、周波数は固有値である。）

最初の通常モードは次のとおりです。 $${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$$

これは、両方の質量が同時に同じ方向に移動する状態に対応します。このモードは反対称モードと呼ばれます。

2番目の通常モードは次のとおりです。

$${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$$

これは、質量が互いに逆方向に移動する一方で、重心は静止している状態に対応します。このモードは対称モードと呼ばれます。

一般解は、正規モードの重ね合わせであり、c ₁、c ₂、φ ₁、φ ₂は問題の初期条件によって決定されます。

ここで示したプロセスは、ラグランジュ力学またはハミルトン力学の形式を用いて一般化および定式化することができる。

定常波は、正規モードの連続的な形態です。定常波では、すべての空間要素（すなわち、( x , y , z )座標）が同じ周波数と位相で振動し（同時に平衡点に達する）、それぞれ異なる振幅を持ちます。

定常波の一般的な形式は次のとおりです。

$${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$$

ここで、f ( x , y , z )は振幅の位置依存性を表し、コサイン/サインは時間における振動を表します。

物理的には、定常波は波とその反射の干渉（重ね合わせ）によって形成されます（ただし、逆のことも言えます。つまり、移動波は定常波の重ね合わせであると言えます）。媒質の幾何学的形状によって干渉パターンが決まり、それによって定常波のf ( x , y , z )の形が決まります。この空間依存性は、正規モードと呼ばれます。

通常、 ( x , y , z )に連続的に依存する問題では、単一または有限個の正規モードは存在せず、無限個の正規モードが存在します。問題が有界である場合（つまり、空間の有限部分で定義されている場合）、正規モードは可算個（通常はn = 1, 2, 3, ...と番号付けされる）存在します。問題が有界でない場合は、正規モードの連続スペクトルが存在します。

あらゆる温度のあらゆる固体において、基本粒子（原子や分子など）は静止しておらず、平均位置を中心に振動している。絶縁体の場合、固体が熱エネルギーを蓄える能力は、ほぼ完全にこれらの振動によるものである。粒子の振動周波数が分かれば、固体の多くの物理的性質（弾性率など）を予測することができる。最も単純な仮定（アインシュタインによる）は、すべての粒子が同じ固有振動数νで平均位置を中心に振動するというものである。これは、すべての原子が周波数νで独立に振動するという仮定と同等である。アインシュタインはまた、これらの振動の許容エネルギー状態は、調和振動数、すなわちhνの整数倍であると仮定した。波形のスペクトルは、正弦波状の密度ゆらぎ（または熱フォノン）のフーリエ級数を用いて数学的に記述することができる。

デバイはその後、各振動子が常に隣接する振動子と密接に結合していることを認識した。そこで、アインシュタインの同一の非結合振動子を同数の結合振動子に置き換えることで、デバイは一次元固体の弾性振動を、張られた弦の数学的に特別な振動モードの数と関連付けた（図を参照）。最も低い音高または周波数の純音は基本音と呼ばれ、その周波数の倍数は倍音と呼ばれる。彼は、固体ブロック全体の基本振動の周波数を振動子の1つに割り当てた。残りの振動子には、その基本音の倍音の周波数を割り当て、これらの周波数の中で最も高い周波数は、最小の基本単位の運動によって制限される。

結晶の固有振動モードは、一般的に、それぞれ適切な振幅と位相を持つ多数の倍音の重ね合わせである。波長の長い（低周波の）フォノンは、まさに音響理論で考慮される音響振動である。縦波と横波の両方が固体中を伝播できるが、一般的には、流体は縦波のみを伝播する。

縦波モードでは、粒子の平衡位置からの変位は波の伝播方向と一致します。機械的な縦波は圧縮波とも呼ばれます。横波モードでは、個々の粒子は波の伝播方向に対して垂直に移動します。

量子論によれば、特性周波数νを持つ結晶固体の通常の振動モードの平均エネルギーは次のようになる。

$${\displaystyle E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$$

項(1/2) hνは「零点エネルギー」、すなわち振動子が絶対零度で持つエネルギーを表す。E ( ν )は高温では古典的な値kTに近づく。

$${\displaystyle E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$$

熱力学の公式を知ることで、

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$$

基準モードあたりのエントロピーは次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}}$$

自由エネルギーは次のとおりです。

$${\displaystyle F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)}$$

これは、kT ≫ hνの場合、次の傾向を示す。

$${\displaystyle F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}$$

内部エネルギーと比熱を計算するには、 νとν + dνの間の周波数における基準振動モードの数を知る必要があります。この数をf ( ν ) dνとします。基準モードの総数は3Nなので、関数f ( ν )は次のように表されます。

$${\displaystyle \int f(\nu )\,d\nu =3N}$$

積分は結晶のすべての周波数にわたって行われます。すると、内部エネルギーUは次のように与えられます。

$${\displaystyle U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu }$$