ケイリー・ハミルトンの定理

のために${\displaystyle 1\times 1}$ 行列A = ( a )の場合、特性多項式はp ( λ ) = λ − aで与えられ、したがってp ( A ) = ( a ) − a (1) = 0は自明です。

具体的な例として、 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.}$$ その固有多項式は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.\end{aligned}}}$$

ケイリー・ハミルトンの定理は、次のように定義すると、$${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$$ それから $${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$ 計算によって確かに確認できる。 $${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$

一般的な${\displaystyle 2\times 2}$マトリックス、 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},}$$

特性多項式はp ( λ ) = λ ² − ( a + d ) λ + ( ad − bc )で与えられるので、ケイリー・ハミルトンの定理によれば、 $${\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};}$$ これは実際常にそうであり、A ²のエントリを計算することで明らかになります。

一般的に${\displaystyle n\times n}$可逆行列A、すなわち非ゼロ行列式を持つ行列A ⁻¹は、次のように書くことができる。${\displaystyle (n-1)}$Aの 次数多項式表現: 示されているように、ケイリー・ハミルトンの定理は次の恒等式に相当します。

係数c _iは、行列Aの固有値の基本対称多項式によって与えられます。ニュートン恒等式を用いると、基本対称多項式は、固有値の べき乗和対称多項式で表すことができます。$${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr} (A^{k}),}$$ ここで、 tr( A ^k )は行列A ^kのトレースです。したがって、c _{i を}Aのべき乗のトレースで表すことができます。

一般に、係数c _iの式は、完全な指数ベル多項式を用いて次のように表されます^{[ nb 1 ]}$${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).}$$

特に、Aの行列式は(−1) ⁿ c ₀に等しい。したがって、行列式はトレース恒等式として書くことができる。 $${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n}).}$$

同様に、特性多項式は次のように書くことができる。 $${\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$$ そして、両辺にA ⁻¹を掛ける( −(−1) ⁿ = (−1) ^{n −1}に注意) とすると、 Aの逆行列をトレース恒等式として 表す式が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),\\[5pt]&={\frac {1}{\det A}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).\end{aligned}}}$$

一般的な係数c _{kを得るための別の方法}${\displaystyle n\times n}$行列は、根がゼロでない限り、行列式の次の代替表現に依存します。 $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$$したがって、メルカトル図法 により、 $${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{({A \over \lambda })^{m} \over m}\right),}$$ ここで、指数関数はλ ^{− n}の次数まで展開するだけでよく、p ( λ )はn の次数であるため、 λの負のべき乗はC–H の定理により自動的に消滅します。（繰り返しますが、これには有理数を含む環が必要です。）この式をλに関して微分すると、一般的なnに対する特性多項式の係数をm × m行列の行列式として表すことができます。 ^{[ nb 2 ]}$${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

例

例えば、最初のいくつかのベル多項式は、 B ₀ = 1、B ₁ ( x ₁ ) = x ₁、B ₂ ( x ₁ , x ₂ ) = x ² ₁ + x ₂、およびB ₃ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ³ ₁ + 3 x ₁ x ₂ + x ₃です。

これらを使用して、特性多項式の係数c _{iを指定します。}${\displaystyle 2\times 2}$ マトリックス収量

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}=B_{0}=1,\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})).\end{aligned}}}$$

係数c ₀は、${\displaystyle 2\times 2}$ 行列c ₁からトレースを引いたもの、一方その逆行列は次のように与えられる。 $${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}.}$$

c _{n − k}の一般式をベル多項式で表すと、次の式が成り立つことが 明らかです。$${\displaystyle -\operatorname {tr} (A)\quad {\text{and}}\quad {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))}$$

任意の特性多項式において、常にλ ⁿ ₋₁の係数c _n ⁻¹とλ ^{n −2}の係数c _{n −2を与える。}${\displaystyle n\times n}$それぞれ行列です。したがって、${\displaystyle 3\times 3}$ 行列A の場合、ケイリー・ハミルトンの定理の記述は次のようにも書ける。 $${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right)A-\det(A)I_{3}=O,}$$ 右側は${\displaystyle 3\times 3}$すべての要素がゼロに縮小された行列。同様に、n = 3 の場合のこの行列式は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right].\end{aligned}}}$$ この式は、以下に示すように、一般の場合のλ ^{n −3}の係数c _{n −3の負の値を与えます。}

同様に、${\displaystyle 4\times 4}$行列A、 $${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right]A^{2}-{\tfrac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right]A+\det(A)I_{4}=O,}$$

ここで、行列式はc _{n −4}です。

$${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}\!\left[(\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3\left(\operatorname {tr} (A^{2})\right)^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right],}$$

より大きな行列の場合も同様です。係数c _kのますます複雑になる式は、ニュートンの恒等式またはファデエフ-ルヴェリエアルゴリズムから導き出すことができます。

ケイリー・ハミルトンの定理は常にAのべき乗間の関係(必ずしも最も単純なものではないが) を提供し、それによってそのようなべき乗を含む式を簡略化し、べき乗A ⁿやAのそれ以上のべき乗を計算することなく評価することができる。

例えば、${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$この定理は $${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,.}$$

次に、A ⁴を計算するために、観察します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},\\[1ex]A^{4}&=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,.\end{aligned}}}$$ 同じく、 $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{2}}\left(A-5I_{2}\right)~.\\[1ex]A^{-2}&=A^{-1}A^{-1}={\frac {1}{4}}\left(A^{2}-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left((5A+2I_{2})-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(-5A+27I_{2}\right)~.\end{aligned}}}$$

行列のべき乗を2つの項の和として表すことができたことに注目してください。実際、任意の次数kの行列のべき乗は、次数が最大でn -1の行列多項式として表すことができます。ここでnは正方行列のサイズです。これは、行列関数を表現するためにケイリー・ハミルトンの定理を使用できる例であり、これについては後ほど体系的に説明します。

解析関数が与えられた場合$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$また、 n × n行列Aの次数nの 特性多項式p ( x )を用いると、関数は長除法を用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x),}$$ ここで、q ( x )はある商多項式であり、r ( x )は剰余多項式であり、0 ≤ deg r ( x ) < nである。

ケイリー・ハミルトンの定理により、x を行列Aで置き換えるとp ( A ) = 0となり、次のようになる。 $${\displaystyle f(A)=r(A).}$$

したがって、行列Aの解析関数は、 n未満の次数を持つ行列多項式として表現できる。

剰余多項式を次のようにする。 $${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$$p ( λ ) = 0 なので、関数f ( x )をAのn個 の固有値で評価すると、$${\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1},\qquad {\text{for }}i=1,2,...,n.}$$これはn個の線形方程式 の連立方程式に相当し、これを解くことで係数c _iを決定できる。したがって、次のようになる。 $${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}.}$$

固有値が重複する場合、つまり、あるi ≠ jに対してλ _i = λ _jとなる場合、2 つ以上の方程式が同一となり、線形方程式は一意に解くことができません。このような場合、重複度mの固有値λに対して、 p ( x )の最初のm − 1階微分は固有値でゼロになります。これにより、余分なm − 1 個の線形独立な解が 得られます。$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }\qquad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$$ これらを他の式と組み合わせることで、c _iを解くために必要なn 個の方程式が得られます。

点( λ _i , f ( λ _i ))を通る多項式を見つけることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間法またはニュートン補間法を使用して解くことができ、シルベスターの公式につながります。

例えば、次の多項式表現を見つけることが課題だとします。 $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$$

特性多項式はp ( x ) = ( x − 1)( x − 3) = x ² − 4 x + 3であり、固有値はλ = 1, 3です。r ( x ) = c ₀ + c ₁ xとします。f ( λ ) = r ( λ )を固有値で評価すると、2 つの線形方程式e ^t = c ₀ + c ₁およびe ^{3 t} = c ₀ + 3 c ₁が得られます。

方程式を解くと、c ₀ = (3 e ^t − e ^{3 t} )/2およびc ₁ = ( e ^{3 t} − e ^t )/2となる。したがって、 $${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}.}$$

代わりに、関数がf ( A ) = sin Atであった場合、係数はc ₀ = (3 sin t − sin 3 t )/2およびc ₁ = (sin 3 t − sin t )/2となります。したがって $${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}.}$$

さらに別の例として、 $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ すると特性多項式はp ( x ) = x ²  +  1となり、固有値はλ = ± iとなります。

これまでと同様に、固有値で関数を評価すると、線形方程式e ^it = c ₀ + ic ₁およびe ^{− it} = c ₀ − ic ₁が得られます。その解は、c ₀ = ( e ^it + e ^{− it} )/2 = cos tおよびc ₁ = ( e ^it − e ^{− it} )/2 i = sin tとなります。したがって、この場合、 $${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$$ これは回転行列です。

このような使用例の標準的な例としては、行列リー群のリー代数から群への指数写像があります。これは行列指数によって与えられます。 $${\displaystyle \exp$$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots ,t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}}.} このような式はSU(2) に対しては以前から知られています。 $${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos {\frac {\theta }{2}}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}},}$$ ここでσはパウリ行列であり、 SO(3)の場合、 $${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$$ これはロドリゲスの回転公式です。表記法については、3D回転群#リー代数に関する注記を参照してください。

最近では、ローレンツ群SO(3, 1) ^{[ 10 ]} 、O(4, 2) ^{[ 11} ] 、SU(2, 2 ) [ 12 ^]、GL( n , R ) ^{[ 13 ]などの他の群について}も^{式が現れています}。群O(4, 2)は時空の共形群であり、SU(2, 2)はその単連結被覆です (正確には、O(4, 2)の連結成分SO ⁺ (4, 2)の単連結被覆です)。得られた式は、これらの群の標準表現に適用されます。指数化するには、行列の(いくつかの)固有値を知る必要があります。SU (2) (したがってSO(3) ) については、すべての既約表現、つまり任意のスピンについて閉じた式が得られています。 ^{[ 14 ]}

ケイリー・ハミルトンの定理は、代数的整数の最小多項式を計算するための有効なツールです。例えば、有限拡大が与えられた場合${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$の${\displaystyle \mathbb {Q} }$代数的整数${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$これは、${\displaystyle \alpha _{1}^{n_{1}}\cdots \alpha _{k}^{n_{k}}}$最小多項式を計算することができます${\displaystyle \alpha }$行列を見つけることで${\displaystyle \mathbb {Q} }$-線形変換$${\displaystyle \cdot \alpha$$ \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]} この変換行列を${\displaystyle A}$すると、ケイリー・ハミルトンの定理を適用して最小多項式を見つけることができます。${\displaystyle A}$[ ^{15 ]​}

サイズnのベクトルvが固有値λを持つAの固有ベクトルである場合、言い換えればA ⋅ v = λvの場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v+\cdots +c_{1}\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{aligned}}}$$これは、 p ( λ ) = 0 ( Aの固有値はp ( t )の根と正確に一致する) なので、ゼロベクトルです。これはすべての可能な固有値λに対して成り立つので、定理によって等しいとされた 2 つの行列は、任意の固有ベクトルに適用すると必ず同じ (ゼロ) 結果を与えます。ここで、A が固有ベクトルの基底を持つ場合、つまりA が対角化可能であれば、基底の各要素に適用したときに同じ値を与える 2 つの行列は等しくなければならないので、ケイリー・ハミルトンの定理はAに対して成り立つ必要があります。 $${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$$$${\displaystyle p_{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$$$${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=Xp_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}}$$$${\displaystyle C_{ii}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda _{i}^{k}=\prod _{j=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{j})=0,\qquad C_{i,j\neq i}=0}$$$${\displaystyle \therefore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$$

次に関数を考えてみましょう${\displaystyle e\colon M_{n}\to M_{n}}$どの地図か${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle n\times n}$式で与えられる行列${\displaystyle e(A)=p_{A}(A)}$つまり、行列を受け取る${\displaystyle A}$そしてそれを自身の固有多項式に代入します。すべての行列が対角化できるわけではありませんが、複素係数を持つ行列の多くは対角化できます。集合${\displaystyle D}$与えられたサイズの対角化可能な複素正方行列の集合は、そのようなすべての正方行列の集合において稠密である^{[ 16 ]} （行列が対角化可能であるためには、例えば、その特性多項式が重根を持たないだけで十分である）。関数として見てみると${\displaystyle e\colon \mathbb {C} ^{n^{2}}\to \mathbb {C} ^{n^{2}}}$（行列は${\displaystyle n^{2}}$（エントリ）この関数は連続であることがわかります。これは、行列の像のエントリが、行列のエントリに関する多項式で与えられるためです。 $${\displaystyle e(D)=\left\{{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}\right\}}$$

そしてセットは${\displaystyle D}$は密であり、連続性により、この関数は全体の集合をマッピングする必要があります。${\displaystyle n\times n}$行列をゼロ行列に置き換える。したがって、ケイリー・ハミルトンの定理は複素数に対して真であり、したがって、${\displaystyle \mathbb {Q} }$- または${\displaystyle \mathbb {R} }$値行列。

これは有効な証明ではあるものの、定理によって表される恒等式は行列の性質（対角化可能か否か）にも、許容される要素の種類にも全く依存しないため、議論はあまり満足のいくものではない（実数要素を持つ行列の場合、対角化可能な要素は稠密集合を形成しないため、ケイリー・ハミルトンの定理が複素行列にも成り立つことを確認するために複素行列を考慮する必要があるというのは奇妙に思える）。そこで、ここでは代数操作のみを用いて任意の行列に対して定理を直接証明する議論のみを検討する。これらの議論は、任意の可換環の要素を持つ行列にも適用できるという利点もある。

ケイリー・ハミルトンの定理の証明には実に多様なものがあり、ここではそのうちのいくつかを紹介する。証明を理解するために必要な抽象的な代数概念の量はそれぞれ異なる。最も単純な証明では、定理を定式化するために必要な概念（行列、数値成分を持つ多項式、行列式）のみを用いるが、技術的な計算が含まれるため、それらが正確に正しい結論に導くという事実がやや不可解に感じられる。このような詳細を避けることも可能だが、その代償として、非可換環の係数を持つ多項式や、特殊な成分を持つ行列など、より複雑な代数概念を用いる必要がある。

この証明では、ケイリー・ハミルトンの定理を定式化するために必要な種類のオブジェクト、すなわち多項式を要素とする行列を使用します。${\displaystyle tI_{n}-A}$その行列式がAの特性多項式であるような行列は、多項式が可換環を形成するため、共役行列を持つ。$${\displaystyle B=\operatorname {adj} (tI_{n}-A).}$$ すると、副官の右手基本関係によれば、 $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}.}$$

Bもtの多項式を要素とする行列であるため、各iについて、次の係数を収集することができます。${\displaystyle t^{i}}$各エントリで数値の 行列B _{iを形成し、}$${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}.}$$（ B の要素の定義方法から、t ^{n −1}を超えるべき乗は発生しないことが明らかです。）これは係数として行列を持つ多項式のように見えますが、そのような概念は考慮しません。これは、多項式要素を持つ行列をn個の定数行列と係数の線形結合として記述する方法にすぎません。${\displaystyle t^{i}}$この視点を強調するために、マトリックスの左側に記述されています。

さて、ここで方程式の行列積を展開してみましょう。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}.\end{aligned}}}$$

書き込み $${\displaystyle p(t)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},}$$ 多項式成分を持つ2つの行列の等式が得られ、それらはtのべき乗を係数とする定数行列の線形結合として表される。

このような等式は、行列のどの位置においても、与えられたべき乗を掛けた要素が${\displaystyle t^{i}}$両辺で同じであるため、係数を持つ定数行列は次のようになります。${\displaystyle t^{i}}$両方の式は等しくなければならない。これらの式をiをnから0まで書き出すと、次のようになる。 $${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}.}$$

最後に、係数の式を乗算します。${\displaystyle t^{i}}$左から${\displaystyle A^{i}}$そしてまとめると：

$${\displaystyle A^{n}B_{n-1}+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$

左辺は伸縮和を形成して完全に打ち消し合います。右辺は合計すると${\displaystyle p(A)}$: $${\displaystyle 0=p(A).}$$ これで証明は完了です。

この証明は最初の証明と似ていますが、最初の証明で示された式から示唆された、行列係数を持つ多項式の概念に意味を与えようとしています。非可換環の係数を持つ多項式を考えるのはやや異例であり、可換多項式に有効な推論のすべてがこの設定に適用できるわけではないため、これにはかなりの注意が必要です。

特に、可換環上の多項式の算術は多項式関数の算術をモデル化しているが、非可換環上ではそうではない（実際、この場合、乗法に関して閉じている多項式関数という概念は明らかに存在しない）。したがって、行列係数を持つtの多項式を考える場合、変数t は「未知数」としてではなく、与えられた規則に従って操作されるべき形式的な記号として考えなければならない。特に、 t を特定の値に 設定することはできない。$${\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\left(f_{i}+g_{i}\right)x^{i}=\sum _{i}{f_{i}x^{i}}+\sum _{i}{g_{i}x^{i}}=f(x)+g(x).}$$

させて${\displaystyle M(n,R)}$Aを要素とする、ある環R (実数または複素数など) の要素を持つn × n行列の環とする。 tの多項式を係数とする行列、例えば、${\displaystyle tI_{n}-A}$または最初の証明におけるその随伴Bは、${\displaystyle M(n,R[t])}$。

tの同次項をまとめることで、このような行列は定数行列を係数とするtの「多項式」として記述できます。${\displaystyle M(n,R)[t]}$このような多項式の集合に対して。この集合は、${\displaystyle M(n,R[t])}$それに応じて算術演算が定義され、特に乗算は次のように与えられる。 $${\displaystyle \left(\sum _{i}M_{i}t^{i}\right)\!\!\left(\sum _{j}N_{j}t^{j}\right)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j})t^{i+j},}$$ 2つのオペランドの係数行列の順序を尊重すると、明らかに非可換乗算になります。

したがって、アイデンティティ $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}.}$$ 最初の証明は、要素の乗算を含むものと見なすことができる。${\displaystyle M(n,R)[t]}$。

この時点で、単純にt を行列Aに等しく設定すると、左辺の最初の因子がゼロ行列に等しくなり、右辺がp ( A )に等しくなります。しかし、係数が可換でない場合、これは許容される操作ではありません。各t ^{i を}Aの行列のべき乗A ⁱに置き換える「右評価写像」 ev _A  : M [ t ] → Mを定義することは可能です。ここで、べき乗は常に対応する係数の右側に掛けられるものとします。しかし、この写像は環準同型ではありません。一般に、積の右評価は右評価の積とは異なります。これは、行列係数を持つ多項式の乗算が未知数を含む式の乗算をモデル化していないためです。${\displaystyle Mt^{i}Nt^{j}=(M\cdot N)t^{i+j}}$これは、 t がNと可換であると仮定して定義されますが、tが行列Aに置き換えられると、これは失敗する可能性があります。

この特定の状況では、この困難を回避することができます。なぜなら、上記の右評価マップは、行列A が係数環の中心にある場合、環準同型となり、多項式のすべての係数と可換になるからです (これを証明する議論は簡単です。評価後にtと係数の可換性が正当化されるからです)。

さて、Aは必ずしもMの中心にあるとは限りませんが、問題となる多項式のすべての係数を含む限り、Mをより小さな環に置き換えることができます。${\displaystyle I_{n}}$、A、および係数${\displaystyle B_{i}}$多項式Bの。このような部分環として当然の選択肢は、 Aの中心化Z 、つまりAと可換なすべての行列の部分環です。定義により、AはZの中心にあります。

この集中装置には明らかに${\displaystyle I_{n}}$、そしてAですが、行列が含まれていることを示す必要があります。${\displaystyle B_{i}}$そのためには、随伴項に関する2つの基本関係を組み合わせ、随伴項Bを多項式として 書き出す。$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\right)\!(tI_{n}-A)&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}.\end{aligned}}}$$

係数を等しくすると、各iについてAB _i = B _i Aが成り立つことがわかります。ev _Aが実際に環の準同型である適切な設定が見つかったので、上記のように証明を完了できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{A}\left(p(t)I_{n}\right)&=\operatorname {ev} _{A}((tI_{n}-A)B)\\[5pt]p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)\\[5pt]p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O.\end{aligned}}}$$ これで証明は完了です。

最初の証明では、随伴項のみの右辺の基本関係に基づいて、Bの係数B _iを決定することができました。実際、導出された最初のn個の方程式は、多項式p ( t ) In_を左側で単項式In _nt − Aで除算したときの商Bを決定するものと解釈できますが、最後の方程式は、余りがゼロであるという事実を表しています。この除算は、行列係数を持つ多項式の環で実行されます。実際、非可換環上でも、単項式Pによるユークリッド除算は定義されており、 P をどちら側で因数にするか (ここでは左側) を指定すれば、常に可換の場合と同じ次数条件で一意の商と余りを生成します。

商と余りが一意であることを確認するには（これがこの記述の重要な部分です）、次のように書けば十分です。${\displaystyle PQ+r=PQ'+r'}$として${\displaystyle P(Q-Q')=r'-r}$Pは単項であるため、Q = Q ′でない限り、 P ( Q − Q ′) はPの次数より小さい次数を持つことはできないことに注意してください。

しかし、ここで使用されている被除数p ( t ) I _nと除数I _n t − A はどちらも部分環( R [ A ])[ t ]に属します。ここで、R [ A ]はAによって生成される行列環M ( n , R )の部分環です。つまり、 Aのすべてのべき乗のR線形スパンです。したがって、ユークリッド除算は実際にはその可換多項式環内で実行でき、もちろん、より大きな環と同じ商Bと余り 0 が得られます。特に、これはB が実際に( R [ A ])[ t ]に属することを示しています。

しかし、この可換な設定では、方程式でt をAに設定することは有効である。

$${\displaystyle p(t)I_{n}=(tI_{n}-A)B;}$$

言い換えれば、評価マップを適用する

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{A}:(R[A])[t]\to R[A]}$$

これは環準同型であり、

$${\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}$$

2回目の証明と同様に、望みどおりです。

定理を証明することに加えて、上記の議論は、 Bの係数B _iがAの多項式であることを示しています。一方、2 番目の証明からは、それらがAの中心化群Zに含まれることしかわかりませんでした。一般に、ZはR [ A ]よりも大きな部分環であり、必ずしも可換ではありません。特に、定数項B ₀ = adj(− A )はR [ A ]に含まれます。A は任意の正方行列であるため、これはadj( A )が常にAの多項式(係数はAに依存する)として表現できることを証明しています。

実際、最初の証明で見つかった方程式は、${\displaystyle B_{n-1},\ldots ,B_{1},B_{0}}$Aの多項式として、次の恒等式が得られます。

すべてのn × n行列 に対して有効で、$${\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0}}$$はA の特性多項式です。

この恒等式はケイリー・ハミルトンの定理の記述も意味することに注意する。adj (− A )を右辺に移し、得られた方程式を (左辺または右辺で) Aで乗算し、次の事実を用いることができる。 $${\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}.}$$

前述のように、定理の記述にある行列p ( A ) は、まず行列式を評価し、次に行列A をtに代入することによって得られます。${\displaystyle tI_{n}-A}$行列式を評価する前に、それを解釈することは意味がありません。しかし、 p ( A )が特定の行列式の値として直接得られるような解釈を与えることは可能ですが、そのためには、両方の要素を解釈できる環上の行列という、より複雑な設定が必要です。${\displaystyle A_{i,j}}$Aの要素、およびA自体のすべて。これには、R上のn × n行列の環M ( n , R )を用いることができる。${\displaystyle A_{i,j}}$実現される${\displaystyle A_{i,j}I_{n}}$、そしてA自体も。しかし、行列を要素とする行列を考えると、ブロック行列との混同を招く可能性があり、これは意図したものではありません。なぜなら、それは行列式の誤った概念を与えるからです（行列の行列式は要素の積の和として定義され、ブロック行列の場合は、これは一般にそのブロックの積の和とは異なります！）。A を、基底で定義されるn次元ベクトル空間V（またはRが体でない場合は自由R加群）の自己準同型φと区別する方が明確です。${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$そして、そのようなすべての自己準同型の環 End( V )上の行列を取る。すると、 φ ∈ End( V )は可能な行列要素であり、A は、 i、j要素がスカラー乗算による自己準同型であるM ( n , End( V ))の要素を表す。${\displaystyle A_{i,j}}$同様に${\displaystyle I_{n}}$これはM ( n , End( V ))の要素として解釈されます。ただし、End( V )は可換環ではないため、M ( n , End( V ))には行列式は定義されません。これは、 End( V )の可換部分環上の行列に対してのみ可能です。次に、行列の要素は${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$これらは全て、恒等式とφによって生成される部分環R [ φ ]内にあり、これは可換である。次に、行列式写像M ( n , R [ φ ]) → R [ φ ]が定義され、${\displaystyle \det(\varphi I_{n}-A)}$φにおけるAの特性多項式の値p ( φ )に評価されます (これはAとφの関係とは無関係に成り立ちます)。ケイリー・ハミルトンの定理によれば、p ( φ )はヌル自己準同型です。

この形式では、 Atiyah & MacDonald (1969 、命題 2.4)の証明から次の証明が得られます(実際には、これは中山の補題に関連するより一般的な記述です。この命題では、イデアルとして環R全体を取ります)。Aが基底e ₁、 ...、e _nにおけるφの行列であるという事実は、次のことを意味します 。$${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{j,i}e_{j}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$$これらは、 V ⁿの 1 つの方程式のn個の成分 として解釈でき、そのメンバーは通常どおり定義される行列ベクトル積M ( n , End( V )) × V ⁿ → V ⁿを使用して記述できますが、 Vの個々のエントリψ ∈ End( V )とvは、形成することによって「乗算」されます。${\displaystyle \psi (v)}$; これにより以下が得られます: $${\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E,}$$ どこ${\displaystyle E\in V^{n}}$は、成分iがe _iである要素です(言い換えれば、ベクトル列として書かれた Vの基底e ₁、 ...、e _{nです)。この方程式を次のように書きます。}$${\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}$$行列の転置を 認識する${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$上記で検討した行列式と、その行列式（ M ( n , R [ φ ])の要素として）もp ( φ )である。この式からp ( φ ) = 0 ∈ End( V )を導出するには、次の随伴行列を左から乗算する。${\displaystyle \varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }}$これは行列環M ( n , R [ φ ])で定義され、 $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot \left((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E\right)\\[1ex]&=\left(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\right)\cdot E\\[1ex]&=\left(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n}\right)\cdot E\\[1ex]&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E;\end{aligned}}}$$最初のステップで使用した行列-行列および行列-ベクトルの乗算の結合法則は 、これらの演算の純粋に形式的な性質であり、要素の性質とは無関係です。この方程式の成分i は、 p ( φ )( e _i ) = 0 ∈ Vであることを示しています。したがって、p ( φ )はすべてのe _iでゼロになり、これらの要素がVを生成するので、 p ( φ ) = 0 ∈ End( V )となり、証明が完了します。