超代数

数学と理論物理学において、超代数はZ ₂次数代数である。^[1]つまり、それは「偶数」と「奇数」の部分に分解され、次数を尊重する乗算演算子を持つ可換環または体上の代数である。

接頭辞「超」は、理論物理学における超対称性の理論に由来します。超代数とその表現である超加群は、超対称性を定式化するための代数的枠組みを提供します。このようなオブジェクトの研究は、超線型代数と呼ばれることもあります。超代数は、次数付き多様体、超多様体、および超スキームの定義に含まれる、関連分野の超幾何学でも重要な役割を果たします。

K を可換環とします。ほとんどの応用では、K はRやCなどの特性0の体です。

K上の超代数は、直和分解 を持つK加群Aである。

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

双線型乗法A × A → Aと合わせて、

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

ここで、下付き文字は2 を法として読み取られます。つまり、 Z ₂の要素として考えられます。

超環、またはZ ₂次数環は、整数環 Z上の超代数です。

A _iのそれぞれの元は同次であると言われています。同次元xの偶奇性は| x | で表され、それがA ₀にあるかA ₁にあるかによって 0 または 1 になります。奇数パリティ 0 の元は偶数、奇数パリティ 1 の元は奇数と呼ばれます。xとy が両方とも同次である場合、積xyも同次です。 ${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$

結合的超代数とは、その乗法が結合的であるものであり、単位的超代数とは、乗法的な単位元を持つものである。単位的超代数の単位元は必ず偶数である。特に指定がない限り、この記事のすべての超代数は結合的かつ単位的であると仮定する。

可換超代数（または超可換代数）は、可換性の次数バージョンを満たす代数である。具体的には、Aが可換なのは、

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

Aのすべての同次元xとyに対して成立する。通常の意味では可換だが、超代数的な意味では可換ではない超代数が存在する。このため、混同を避けるために、可換超代数はしばしば超可換と呼ばれる。 ^[2]

Z _2次数がZまたはN次代数の偶数と奇数成分への「ロールアップ」として発生する場合、文献には 2 つの異なる (しかし本質的には同等の) 符号規約が見つかることがあります。^[3]これらは「コホモロジー符号規約」と「スーパー符号規約」と呼ばれることがあります。これらは、対蹠体 (2 つの要素の交換) の動作が異なります。最初のケースでは、交換マップがあります。

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

ここで は の次数（ZまたはN次）であり、パリティである。同様に はの次数であり、パリティである。この慣例は、微分幾何学や微分位相幾何学などの従来の数学の設定でよく見られる。もう 1 つの慣例は、 ${\displaystyle m=\deg x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=\deg y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle q.}$

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

で与えられる。これは物理学の教科書でよく見られるもので、同型性を追跡するためにパリティ関数を慎重に使用する必要がある。詳細な議論はピエール・ドリーニュ[3]によって提供されている^。${\displaystyle p=m{\bmod {2}}}$${\displaystyle q=n{\bmod {2}}}$

• 可換環K上の任意の代数は、K上の純粋に偶な超代数と見なすことができます。つまり、A _{1 を}自明と見なすことができます。
• 任意のZまたはN次数代数は、次数を法として読むことで超代数と見なすことができます。これには、テンソル代数やK上の多項式環などの例が含まれます。
• 特に、K上の任意の外積代数は超代数です。外積代数は超可換代数の標準的な例です。
• 対称多項式と交代多項式は、それぞれ偶数部分と奇数部分となり、超代数を形成します。これは次数による評価とは異なる評価であることに注意してください。
• クリフォード代数は超代数です。一般に非可換です。
• 超ベクトル空間のすべての自己準同型（ と表記され、太字部分は内部と呼ばれ、すべての線型写像から構成される）の集合は、合成に関して超代数を形成する。${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$
• Kに要素を持つすべての正方超行列の集合は、 M _{p | q} ( K )で表される超代数を形成します。この代数は、ランクp | qのK上の自由超加群の自己準同型代数と同一視することができ、この空間に対する上記の内部 Hom です。
• リー超代数は、リー代数の次数付き類似体です。リー超代数は非単位かつ非結合的です。ただし、単位かつ結合的な超代数であるリー超代数の普遍包絡代数の類似体を構築することができます。

A を可換環K上の超代数とする。すべての偶数元からなる部分加群 A ₀は乗法に関して閉じており、Aの単位元を含むため、 Aの部分代数を形成し、当然偶数部分代数と呼ばれる。これはK上の通常の代数を形成する。

すべての奇数元の集合A _1はA ₀双加群であり、そのスカラー乗算はAにおける乗算に等しい。 Aにおける積はA _1に双線型形式を与える。

${\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}$

そのような

${\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}$

A ₁内のすべてのx、y、zに対して。これはA内の積の結合性から導かれます。

任意の超代数には、級数反転と呼ばれる標準的な 反転自己同型が存在する。これは同次元に対して次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}$

そして任意の要素に

${\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}$

ここで、x _{i は}xの同次部分です。Aに2 次元捩れがない場合(特に、 2 が逆である場合)、次数反転を使用してAの偶数部分と奇数部分を区別できます。

${\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}$

A上のスーパーコミュテータは、次式で与えられる二項演算子である。

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

同次元上の、線形性によってA全体に拡張された。Aの元xとy は、[ x , y ] = 0の場合、超交換すると言われる。

Aの超中心は、 Aのすべての要素と超交換するAのすべての要素の集合です。

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}$

一般に、Aの超中心は、次数のない代数としてのAの中心とは異なります。可換超代数とは、その超中心がA全体である代数です。

2つの超代数AとBの次数付きテンソル積は、次のように決定される乗法規則を持つ 超代数A ⊗ Bとみなすことができます。

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}$

AまたはB のいずれかが純粋に偶数の場合、これは通常の次数なしテンソル積と同等です (ただし、結果が次数付きであることを除く)。ただし、一般に、スーパーテンソル積は、通常の次数なし代数と見なされる AとBのテンソル積とは異なります。

超代数の定義を一般化して、可換超環上の超代数を含めることは簡単です。上記の定義は、基本環が純粋に偶数である場合に特殊化したものです。

R を可換超環とする。R上の超代数は、 R双線型乗法A × A → Aが次数を満たすR超加群Aである。ここで双線型性とは、

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

すべての同次元r ∈ Rおよびx、y ∈ Aに対して。

同様に、 R上の超代数を、超環Aと、その像がAの超中心にある超環準同型R → Aとして定義することもできます。

超代数をカテゴリ的に定義することもできる。すべてのR超加群のカテゴリは、 R を単位対象とする超テンソル積の下でモノイドカテゴリを形成する。R 上の結合的単位超代数は、 R超加群のカテゴリのモノイドとして定義できる。つまり、超代数は、2 つの (偶数) 射を持つ R超加群Aである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

通常の図は可換です。

• Deligne, P. ; Morgan, JW (1999)。「超対称性に関するノート (Joseph Bernstein に倣って)」。量子場と弦: 数学者のためのコース。第 1 巻。アメリカ数学会。pp.  41– 97。ISBN 0-8218-2012-5。

• Kac, VG ; Martinez, C.; Zelmanov, E. (2001)。成長 1 の段階的単純 Jordan 超代数。AMS シリーズの回顧録。第 711 巻。AMS 書店。ISBN 978-0-8218-2645-4。

• マニン、YI (1997)。ゲージ場理論と複素幾何学（第2版）。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-61378-1。

• Varadarajan, VS (2004)。数学者のための超対称性：入門。Courant Lecture Notes in Mathematics。第 11 巻。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-3574-6。