質量

質量
天秤に使用される2kg（4.4ポンド）の鋳鉄製重り
一般的な記号	メートル
SI単位	キログラム
広範囲にわたる？	はい
保存されていますか?	はい

質量は物体の固有の特性である。原子と粒子の物理学が発見されるまで、質量は物体内の物質の量に関係すると伝統的に信じられていた。異なる原子と異なる素粒子は、理論的には物質の量が同じであっても、質量が異なることがわかった。現代物理学における質量には、概念的には異なるが物理的には同等な複数の定義がある。質量は実験的に物体の慣性の尺度として定義することができ、これは正味の力が加えられたときの加速（速度の変化）に対する抵抗を意味する。^[1]物体の質量は、他の物体に対するその物体の重力の強さも決定する。

質量のSI基本単位はキログラム(kg)です。物理学では、質量は重量とは異なりますが、質量は、既知の質量と直接比較する天秤ではなく、バネ秤を使用して物体の重量を測定することで決定されることがよくあります。月面上の物体は、重力が低いため、地球上にある物体よりも重量が軽くなりますが、質量は同じです。これは、重量が力であるのに対し、質量は (重力とともに) この力の強さを決定する特性であるためです。

物理学の標準モデルでは、素粒子の質量は、ブロート・エングラー・ヒッグス機構として知られるヒッグス粒子との結合の結果であると考えられています。^[2]

質量を測定するために使用できるいくつかの異なる現象があります。一部の理論家はこれらの現象のいくつかは互いに独立している可能性があると推測していますが、^[3]現在の実験では、測定方法に関係なく結果に違いは見られませんでした。

• 慣性質量は、物体が力によって加速される際の抵抗を測定します（関係式F = maで表されます）。
• 有効重力質量は、物体によって生成される重力場の強さを決定します。
• 受動重力質量は、既知の重力場内の物体に及ぼされる重力を測定します。

物体の質量は、力が加えられたときの加速度を決定します。慣性と慣性質量は、それぞれ質的および量的レベルで物体のこの特性を表します。ニュートンの運動の第二法則によれば、固定質量mの物体が単一の力Fを受ける場合、その加速度aはF / mで与えられます。物体の質量は、物体が重力場を生成し、その影響を受ける度合いも決定します。質量m _Aの第 1 物体が質量m _Bの第 2 物体から距離r (質量中心から質量中心まで)に配置されている場合、各物体は引力F _g = Gm _A m _B / r ²を受けます。ここで、G =6.67 × 10 ⁻¹¹  N⋅kg ⁻² ⋅m ^{2 は}「万有引力定数」です。これは重力質量と呼ばれることもあります。 ^{[注 1] 17 世紀以来繰り返された実験により、慣性質量と重力質量は同一であることが実証され、1915 年以来、この観察結果は}一般相対性理論の等価原理に先験的に組み込まれています。

国際単位系(SI) の質量の単位はキログラム(kg) です。キログラムは 1000 グラム (g) で、1795 年に氷の融点における 1 立方デシメートルの水の質量として初めて定義されました。しかし、指定された温度と圧力における 1 立方デシメートルの水の正確な測定が困難であったため、1889 年にキログラムは金属物体の質量として再定義され、メートルや水の特性から独立したものとなりました。このため、1793 年の銅製の墓の原型、1799 年のプラチナ製のKilogramme des Archives 、 1889 年の プラチナとイリジウムの国際キログラム原型(IPK) が生まれました。

しかし、IPKとその各国の標準質量は、時間の経過とともに変動することが分かっています。キログラムと他のいくつかの単位の再定義は、 2018年11月にCGPMによる最終投票を経て、2019年5月20日に発効しました。^{[4]新しい定義では、}光の速度、セシウムの超微細振動数、プランク定数、素電荷など、自然界で不変の量のみを使用しています。^[5]

SI 単位と一緒に使用できる非 SI 単位には次のものがあります。

• トン（t）（または「メートルトン」）、1000 kgに等しい
• 電子ボルト（eV）はエネルギーの単位で、質量とエネルギーの等価性を通じて質量をeV/ c ^{2の単位で表すために使用される。}
• ダルトン（Da）は自由炭素12原子の質量の1/12に相当し、およそ1.66 × 10 ⁻²⁷  kg . ^{[注 2]}

SI 単位系以外の質量の単位には次のものがあります。

• スラグ(sl)、質量の帝国単位(約 14.6 kg)
• ポンド（lb）は質量の単位（約0.45kg）で、同様の名前のポンド（力）（約4.5N）と並んで使用される力の単位である^[注3]
• プランク質量（約2.18 × 10 ⁻⁸  kg）、基本定数から導かれる量
• 太陽質量（M☉ ）_は、太陽の質量として定義され、主に天文学において恒星や銀河などの大きな質量を比較するために使用されます（≈ 1.99 × 10 ³⁰  kg )
• 粒子の質量は、その逆コンプトン波長（1 cm ⁻¹ ≘）で表されます。3.52 × 10 ⁻⁴¹  kg )
• 恒星またはブラックホールの質量。シュワルツシルト半径（1 cm ≘）で表されます。6.73 × 10 ²⁴  kg）。

物理科学では、質量の少なくとも7つの異なる側面、または質量の概念を含む7つの物理的概念を概念的に区別することができます。^[6]これまでのすべての実験では、これらの7つの値が比例し、場合によっては等しいことが示されており、この比例性から質量という抽象的な概念が生まれています。質量を測定したり操作的に定義したりする方法はいくつかあります。

• 慣性質量は、力が加えられたときの物体の加速に対する抵抗の尺度です。これは、物体に力を加え、その力から生じる加速を測定することによって決定されます。慣性質量の小さい物体は、同じ力が作用した場合、慣性質量の大きい物体よりも加速します。質量が大きい物体は、慣性が大きいと言われています。
• 有効重力質量^{[注 4]}は、物体の重力フラックスの強さの尺度です (重力フラックスは、囲む表面上の重力場の表面積に等しい)。重力場は、小さな「テスト オブジェクト」を自由落下させ、その自由落下加速度を測定することによって測定できます。たとえば、月の近くで自由落下している物体は、地球の近くで自由落下している同じ物体よりも小さな重力場の影響を受け、したがって、よりゆっくりと加速します。月の近くの重力場が弱いのは、月の有効重力質量が小さいためです。
• 受動重力質量は、物体と重力場との相互作用の強さの尺度です。受動重力質量は、物体の重量を自由落下加速度で割ることによって決定されます。同じ重力場内にある 2 つの物体は同じ加速度を経験しますが、受動重力質量が小さい物体は、受動重力質量が大きい物体よりも小さい力 (より軽い重量) を経験します。
• 相対性理論によれば、質量は粒子系の静止エネルギーに他なりません。つまり、運動量がゼロである基準フレームにおけるその系のエネルギーです。質量は、質量エネルギー等価性の原理に従って、他の形態のエネルギーに変換できます。この等価性は、対生成、ベータ崩壊、核融合など、多数の物理的プロセスで例証されます。対生成と核融合は、測定可能な量の質量が運動エネルギーに変換されるプロセス、またはその逆のプロセスです。
• 時空の曲率は、質量の存在の相対論的な現れです。このような曲率は極めて弱く、測定が困難です。このため、曲率はアインシュタインの一般相対性理論によって予測されるまで発見されませんでした。たとえば、地球表面の極めて正確な原子時計は、宇宙の同様の時計と比較すると、測定する時間が少ない（遅く進む）ことがわかっています。経過時間のこの差は、重力による時間の遅れと呼ばれる曲率の一種です。その他の曲率は、重力探査機 B衛星を使用して測定されています。
• 量子質量は、物体の量子周波数と波数の差として現れます。粒子の量子質量は逆コンプトン波長に比例し、さまざまな形態の分光法によって決定できます。相対論的量子力学では、質量はポアンカレ群の既約表現ラベルの 1 つです。

日常的な用法では、質量と「重さ」はしばしば同じ意味で使われます。たとえば、人の体重は 75 kg と表現されることがあります。一定の重力場では、物体の重さはその質量に比例するため、両方の概念に同じ単位を使用しても問題ありません。しかし、場所によって地球の重力場の強さがわずかに異なるため、数パーセント以上の精度で測定する場合や、宇宙や他の惑星など地球の表面から離れた場所では、この区別が重要になります。概念的には、「質量」（キログラムで測定）は物体の固有の特性を指し、「重さ」（ニュートンで測定）は物体が自由落下の現在のコースから逸脱する抵抗力を測定し、これは近くの重力場の影響を受ける可能性があります。重力場がどれだけ強くても、自由落下中の物体は質量はあるものの無重力です。 ^[7]

「重さ」と呼ばれる力は、質量が自由落下から加速されるすべての状況において、質量と加速度に比例します。たとえば、物体が重力場内で静止しているとき (自由落下中ではなく)、物体はスケールまたは地球や月などの惑星の表面からの力によって加速される必要があります。この力により、物体は自由落下しません。重さは、このような状況での反対の力であり、したがって自由落下の加速によって決まります。たとえば、地球の表面では、質量が 50 キログラムの物体の重さは 491 ニュートンです。つまり、物体が自由落下しないように 491 ニュートンが適用されているということです。対照的に、月の表面では、同じ物体の質量は依然として 50 キログラムですが、重さは 81.5 ニュートンしかありません。これは、この物体が月で自由落下しないようにするために必要なのは 81.5 ニュートンだけだからです。数学的に言い換えると、地球の表面では、物体の重さWは質量mとW = mgで関係し、g =9.80665 m/s ^{2 は}、地球の重力場による加速度です（自由落下する物体が受ける加速度として表されます）。

その他の状況、たとえば物体が惑星表面の抵抗以外の力によって機械的加速を受ける場合などでは、重力は物体の質量に自由落下からの全加速度を乗じたものに比例し、これを固有加速度と呼びます。このようなメカニズムにより、エレベーター、車両、遠心分離機などの中の物体は、惑星表面から生じる物体への重力の影響に対する抵抗によって生じる重力の何倍もの重力の力を受けることがあります。このような場合、物体の重さWの一般化された方程式は、方程式W = – maによってその質量mに関連付けられます。ここで、a は重力以外のすべての影響によって引き起こされる物体の固有加速度です。(繰り返しますが、物体が自由落下するときに発生するように重力が唯一の影響である場合、その重さはゼロになります)。

慣性質量、受動重力質量、能動重力質量は概念的に異なるが、それらの違いを明確に実証した実験はこれまでない。古典力学では、ニュートンの第 3 法則により、能動重力質量と受動重力質量は常に同一 (または少なくとも比例) でなければならないとされているが、古典理論では重力質量が慣性質量と等しくなければならない理由について説得力のある説明がなされていない。等しくなければならないというのは単なる経験的事実である。

アルバート・アインシュタインは、慣性質量と受動重力質量は同じであるという仮定から一般相対性理論を発展させました。これは等価原理として知られています。

「ガリレイの等価原理」または「弱い等価原理」と呼ばれるこの等価性は、自由落下する物体にとって最も重要な意味を持ちます。物体の慣性質量がm 、重力質量がMであるとします。物体に作用する唯一の力が重力場gから来る場合、物体にかかる力は次のようになります。

${\displaystyle F=Mg.}$

この力が与えられると、物体の加速度はニュートンの第 2 法則によって決定されます。

${\displaystyle F=ma.}$

これらをまとめると、重力加速度は次のようになります。

a = M m g . {\displaystyle a={\frac {M}{m}}g.}

これは、すべての物体が所定の重力場内で同じ速度で落下する場合に限り、任意の物体の重力質量と慣性質量の比率が定数K に等しいことを示しています。この現象は「自由落下の普遍性」と呼ばれます。さらに、単位を適切に定義することで定数K を1 とすることができます。

自由落下の普遍性を実証した最初の実験は、科学的な「伝承」によると、ガリレオがピサの斜塔から物体を落とすことで行われたという。これはおそらく作り話で、ガリレオは、動きを遅くして時間精度を高めるために、ほぼ摩擦のない傾斜面を転がるボールを使って実験を行った可能性が高い。1889年にロラン・エトヴェシュがねじり天秤振り子を使って行った実験など、ますます精密な実験が行われてきた。 ²⁰⁰⁸年現在、普遍性、つまりガリレオ等価性からの逸脱は、少なくとも10 ^{−6 の}精度では見つかっていない。より精密な実験努力が今も行われている。^[9][update]

自由落下の普遍性は、重力が唯一の作用力であるシステムにのみ適用されます。他のすべての力、特に摩擦と空気抵抗は存在しないか、少なくとも無視できるほど小さい必要があります。たとえば、ハンマーと羽根を地球上の空中で同じ高さから落下させた場合、羽根が地面に到達するまでにはかなり長い時間がかかります。羽根は実際には自由落下していません。なぜなら、羽根に対する上向きの空気抵抗の力は、重力の下向きの力に匹敵するからです。一方、実験が空気抵抗のない真空中で行われた場合、ハンマーと羽根は正確に同時に地面に当たるはずです (両方の物体の互いの方向への加速、および両方の物体に向かう地面の加速自体が無視できると仮定した場合)。これは、高校の研究室で、真空ポンプで空気を抜いた透明なチューブに物体を落とすことで簡単に行うことができます。アポロ 15 号のときにデビッド スコットが月面で行ったように、自然に真空になっている環境で実行すると、さらに劇的な効果が得られます。

等価原理のより強力なバージョンは、アインシュタインの等価原理または強い等価原理として知られ、一般相対性理論の核心にあります。アインシュタインの等価原理は、時空の十分に小さな領域内では、均一な加速度と均一な重力場を区別することは不可能であると述べています。したがって、この理論では、重力場によって質量のある物体に作用する力は、物体が直線的に移動する傾向 (つまり慣性) の結果であり、したがって慣性質量と重力場の強さの関数であるはずだと仮定しています。

理論物理学において、質量生成メカニズムは、最も基本的な物理法則から質量の起源を説明しようとする理論である。現在までに、質量の起源について異なる見解を主張する多くの異なるモデルが提案されている。質量の概念は重力相互作用と強く関連しているが、後者の理論は標準モデルとして知られる現在人気の高い素粒子物理学のモデルとまだ調和していないという事実によって、問題は複雑になっている。

量の概念は非常に古く、記録された歴史よりも古い。「重量」の概念は「量」を組み込んでおり、明確に認識されていなかった二重の意味を獲得している。^[10]

現在質量として知られているものは、ニュートンの時代までは「重量」と呼ばれていました。…金細工師は、1オンスの金は金の量であると信じていました。…しかし古代人は、梁の天秤が筋肉の感覚で認識する「重さ」も測定すると信じていました。…質量とそれに伴う下向きの力は同じものであると信じられていました。

—  KMブラウン、「ニュートン以前の「重さ」という言葉の意味」

人類は、初期の時代に、類似した物体の集合の重さは、集合内の物体の数に 正比例することを認識していました。

${\displaystyle W_{n}\propto n,}$

ここで、Wは類似オブジェクトの集合の重み、n は集合内のオブジェクトの数です。比例性とは、定義により、2 つの値が一定の比率を持つことを意味します。

${\displaystyle {\frac {W_{n}}{n}}={\frac {W_{m}}{m}}}$、または同等の${\displaystyle {\frac {W_{n}}{W_{m}}}={\frac {n}{m}}.}$

この関係の初期の用途は天秤で、これはある物体の重さの力と別の物体の重さの力を釣り合わせます。天秤の両側は十分近いため、物体は同様の重力場を経験します。したがって、質量が似ている場合は、重量も同様になります。これにより、天秤は重量を比較することで、質量も比較できます。

その結果、歴史的な重量基準は量で定義されることが多かった。例えば、ローマ人はイナゴマメの種子 (カラットまたはシリカ) を測定基準として使用していた。物体の重量が 1728 個のイナゴマメの種子に相当する場合、その物体は 1 ローマ ポンドの重さがあると言われていた。一方、物体の重量が144 個のイナゴマメの種子に相当する場合、その物体は 1 ローマ オンス (uncia) の重さがあると言われていた。ローマ ポンドとオンスはどちらも、同じ共通の質量基準であるイナゴマメの種子の異なるサイズの集合体で定義されていた。ローマ オンス (144 個のイナゴマメの種子) とローマ ポンド (1728 個のイナゴマメの種子) の比率は次のとおりであった。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {ounce} }{\mathrm {pound} }}={\frac {W_{144}}{W_{1728}}}={\frac {144}{1728}}={\frac {1}{12}}.}$

1600 年、ヨハネス ケプラーは、入手可能な天文学データの中で最も正確なデータを持っていたティコ ブラーエのもとに就職を希望しました。ケプラーは、ブラーエの火星の精密な観測結果を利用して、その後 5 年間をかけて惑星の運動を特徴付ける独自の方法を開発しました。1609 年、ヨハネス ケプラーは惑星の運動に関する 3 つの法則を発表し、惑星が太陽の周りを回る仕組みを説明しました。ケプラーの最終的な惑星モデルでは、惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円軌道をたどると説明しました。ケプラーは、各惑星の公転周期の2 乗がその軌道の長半径の3 乗に正比例すること、つまり、これら 2 つの値の比率が太陽系のすべての惑星で一定であることを発見しました。^{[注 5]}

1609 年 8 月 25 日、ガリレオ ガリレイはベネチア商人のグループに最初の望遠鏡を披露し、1610 年 1 月初旬、ガリレオは木星の近くに 4 つの暗い物体を観測しました。ガリレオはこれを恒星と勘違いしました。しかし、数日間の観測の後、ガリレオはこれらの「恒星」が実際には木星を周回していることに気づきました。これらの 4 つの物体 (後に発見者にちなんでガリレオ衛星と名付けられました) は、地球や太陽以外のものを周回する最初の天体でした。ガリレオはその後 18 か月間これらの衛星の観測を続け、1611 年半ばまでに、衛星の周期について驚くほど正確な推定値を取得しました。

1638年より前のいつか、ガリレオは物体の自由落下現象に注目し、その運動の特徴を明らかにしようとした。ガリレオは地球の重力場を調査した最初の人物ではなかったし、その基本的な特徴を正確に説明した最初の人物でもなかった。しかし、ガリレオが物理的原理を確立するために科学的実験に依存したことは、後世の科学者に大きな影響を与えた。これらが単に概念を説明するために使用された仮説的な実験であったのか、ガリレオが実際に行った実験であったのかは不明であるが^[11] 、これらの実験から得られた結果は現実的かつ説得力のあるものであった。ガリレオの弟子ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニによる伝記には、ガリレオがピサの斜塔から同じ材質だが質量の異なる球を落として、落下時間が質量とは無関係であることを証明したと記されている。^{[注 6]}この結論を支持するために、ガリレオは次のような理論的議論を展開した。質量が異なり、落下速度も異なる 2 つの物体が紐で結ばれている場合、結合した物体は質量が増したために落下速度が速くなるのか、それとも軽い物体が重い物体の落下速度を遅く抑えるのか、という疑問である。この疑問に対する唯一の説得力のある解決法は、すべての物体は同じ速度で落下しなければならない、というものである。^[12]

その後の実験は、1638 年に出版されたガリレオの2 つの新科学で説明されています。ガリレオの架空の人物の 1 人であるサルビアティは、青銅の球と木製の傾斜路を使用した実験について説明しています。木製の傾斜路は「長さ 12 キュビト、幅 0.5 キュビト、厚さ 3 本の指幅」で、まっすぐで滑らかな磨かれた溝がありました。溝は「これも可能な限り滑らかで磨かれた羊皮紙」で裏打ちされていました。そして、この溝に「硬くて滑らかで非常に丸い青銅の球」が置かれました。傾斜路はさまざまな角度に傾けられ、経過時間を測定できるように十分に加速を遅くしました。球は傾斜路を一定の距離転がり、球が一定の距離を移動するのにかかる時間を測定しました。時間は、次のように説明される水時計を使用して測定されました。

高い位置に置かれた大きな水容器。この水容器の底には細い水流を出すパイプがはんだ付けされており、水路の全長か一部かを問わず、各降下時に小さなガラスに水を集めた。集められた水は、各降下後に非常に正確な天秤で計量された。これらの重量の差と比率から時間の差と比率が求められ、その正確さは、操作を何度も繰り返しても結果に大きな違いがなかったほどであった。^[13]

ガリレオは、自由落下する物体の場合、落下距離は常に経過時間の二乗に比例することを発見しました。

${\displaystyle {\text{Distance}}\propto {{\text{Time}}^{2}}}$

ガリレオは、地球の重力場の影響を受けて自由落下する物体は一定の加速度を持つことを示し、ガリレオと同時代のヨハネス・ケプラーは、惑星が太陽の重力の影響を受けて楕円軌道を描くことを示しました。しかし、ガリレオの自由落下運動とケプラーの惑星運動は、ガリレオの存命中は明確に区別されていました。

KMブラウンによると、「ケプラーは質量（「物質の量」（ copia materiae ）） という[明確な]概念を形成したが、当時の誰もがそうであったようにそれを「重さ」と呼んだ。」^{[10]最終的に、1686年にニュートンはこの明確な概念に独自の名前を付けました。}プリンキピアの最初の段落で、ニュートンは物質の量を「密度と体積の結合」と定義し、質量を物質の量と定義しました。^[14]

物質の量は、その密度と体積から生じるその物質の尺度です。... 私が今後、物体または質量という名前で言及するのは、この量です。そして、それは各物体の重さによって知られています。なぜなら、それは重さに比例するからです。

— アイザック・ニュートン『自然哲学の数学的原理』、定義 I。

ロバート・フックは1674年に万有引力の概念を発表し、すべての天体はその中心に向かう引力または重力を持っており、またその活動圏内にある他のすべての天体を引き付けると述べた。さらにフックは、重力は作用を受ける天体がその中心にどれだけ近いかによって増加すると述べた。^{[15] 1679年と1680年の}アイザック・ニュートンとの書簡の中で、フックは2つの天体間の距離が2倍になるにつれて万有引力が減少するのではないかと推測した。^{[16]フックは、}微積分学の発展の先駆者であったニュートンに、フックの仮説が正しいかどうかを判断するためにケプラーの軌道の数学的詳細を検討するよう促した。ニュートン自身の調査によりフックが正しいことが証明されたが、2人の間の個人的な意見の相違のため、ニュートンはフックにこれを明かさないことを選択した。アイザック・ニュートンは1684年まで自分の発見について口を閉ざしていたが、その年に友人のエドモンド・ハレーに、重力軌道の問題を解決したが、その解答をオフィスに置き忘れてしまったと話した。^[17]ハレーに励まされたニュートンは、重力に関する自分の考えを発展させ、発見をすべて出版することを決意した。1684年11月、アイザック・ニュートンはエドモンド・ハレーに文書を送った。現在は紛失しているが、「De motu corporum in gyrum」（ラテン語で「軌道上の物体の運動について」）と題されていたと推定されている。^[18]ハレーはニュートンの発見をロンドン王立協会に提出し、後ほどより詳しい発表を行うと約束した。ニュートンは後に、自分の考えを「自然哲学の数学的原理」（英語：自然哲学の数学的原理）と題する3冊の本に記録した。 2回目は1686年3月2日～1687年、3回目は1686年4月6日～1687年であった。王立協会は1686年5月～1687年にかけてニュートンの全コレクションを自費出版した。^{[19] : 31}

アイザック・ニュートンはケプラーの重力質量とガリレオの重力加速度の間のギャップを埋め、この両方を支配する次の関係を発見しました。

${\displaystyle \mathbf {g} =-\mu {\frac {\hat {\mathbf {R} }}{|\mathbf {R} |^{2}}}}$

ここで、gは重力場が存在する空間領域を通過するときの物体の見かけの加速度、μは重力場を発生させる物体の重力質量 (標準重力パラメータ)、Rは半径座標 (2 つの物体の中心間の距離) です。

ニュートンは、物体の重力質量と重力場の正確な関係を発見することで、重力質量を測定する2番目の方法を提供しました。地球の質量は、ケプラーの方法（地球の月の軌道から）を使用して決定するか、地球表面の重力加速度を測定し、それに地球の半径の2乗を掛けることによって決定できます。地球の質量は、太陽の質量の約300万分の1です。現在まで、重力質量を測定する他の正確な方法は発見されていません。^[20]

ニュートンの砲弾は、ガリレオの重力加速度とケプラーの楕円軌道の間のギャップを埋めるために使用された思考実験でした。これは、ニュートンの 1728 年の著書『世界の体系に関する論文』に掲載されています。ガリレオの重力の概念によると、落とされた石は一定の加速度で地球に向かって落下します。しかし、ニュートンは、石を水平に (つまり、地球の重力に対して横向きまたは垂直に) 投げると、石は曲線の軌道をたどると説明しています。「投射された石は、その自重の圧力によって、投射のみによって追うべき直線の軌道から押し出され、空中で曲線を描くことになります。そして、その曲がった経路を通って、最終的に地面に落とされます。投射速度が速いほど、地球に落ちるまでの距離が長くなります。」^{[19] : 513}ニュートンはさらに、物体が十分な速度で「高い山の頂上から水平方向に発射された」場合、「最終的には地球の円周をはるかに超えて到達し、発射された山に戻ってくるだろう」と推論しています。^[21]

天球など、天体は全く異なる物質でできていると主張していた以前の理論とは対照的に、ニュートンの質量理論が画期的だったのは、万有引力質量を導入した点が一因である。すなわち、すべての物体は重力質量を持ち、したがってすべての物体は重力場を生成する。ニュートンはさらに、各物体の重力場の強さはその物体までの距離の二乗に応じて減少すると仮定した。小さな物体の大きな集合が地球や太陽のような巨大な球体を形成した場合、ニュートンは、その集合が物体の全質量に比例し、物体の中心までの距離の二乗に反比例する重力場を作り出すと計算した。^{[19] : 397  [ 注 7]}

たとえば、ニュートンの万有引力の理論によれば、イナゴマメの種子はそれぞれ重力場を作り出します。したがって、膨大な数のイナゴマメの種子を集めて巨大な球体にすると、球体の重力場は球体内のイナゴマメの種子の数に比例します。したがって、地球や太陽の重力場と同様の重力場を作り出すために必要なイナゴマメの種子の正確な数を理論的に決定できるはずです。実際、単位変換によって、従来の質量単位はどれも理論的には重力質量の測定に使用できることを理解するのは簡単な抽象化の問題です。

従来の質量単位で重力質量を測定することは、原理的には簡単ですが、実際には極めて困難です。ニュートンの理論によれば、すべての物体は重力場を生成し、膨大な数の小さな物体を集めて巨大な重力球を形成することは理論的には可能です。しかし、実用的な観点からは、小さな物体の重力場は非常に弱く、測定が困難です。ニュートンの万有引力に関する本は1680年代に出版されましたが、従来の質量単位での地球の質量の最初の成功した測定であるキャベンディッシュの実験は、100年以上後の1797年まで行われませんでした。ヘンリー・キャベンディッシュは、地球の密度が水の密度の5.448 ± 0.033倍であることを発見しました。2009年現在、地球の質量（キログラム）は5桁程度の精度でしかわかっていませんが、重力質量は9桁以上の有効数字でわかっています。^{[説明が必要]}

質量M _AとM _{B の2つの物体AとBが}変位 R _ABによって離れている場合、ニュートンの万有引力の法則によれば、各物体は他方の物体に大きさM A とM B の重力を及ぼします。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{AB}}=-GM_{\text{A}}M_{\text{B}}{\frac {{\hat {\mathbf {R} }}_{\text{AB}}}{|\mathbf {R} _{\text{AB}}|^{2}}}\ }$、

ここで、Gは万有引力定数です。上記の記述は次のように書き換えることができます。gが重力場の特定の場所における大きさである場合、重力質量Mの物体にかかる 重力は

${\displaystyle F=Mg}$。

これは、質量を計量して測定する際の基礎となるものです。たとえば、単純なバネ秤では、フックの法則に従って、力F は計量皿の下のバネの変位に比例し、秤はg を考慮して校正されているため、質量M を読み取ることができます。天秤の両側の重力場が等しいと仮定すると、天秤は相対的な重さを測定し、各物体の相対的な重力質量を示します。

質量は伝統的に、物体内の物質の量を測る尺度であり、物体内の「物質量」に等しいと信じられてきました。たとえば、 1851 年にバーレ・ド・サン＝ヴナンは、あらゆる物体には多数の「点」（基本的には交換可能な素粒子）が含まれており、質量は物体に含まれる点の数に比例すると主張しました。^[22]（実際には、この「物質の量」の定義は、古典力学のほとんどに適切であり、質量と重量の違いを教えることを優先する場合は、基礎教育で引き続き使用されることがあります。）^[23]この伝統的な「物質の量」の信念は、異なる原子（後には異なる素粒子）が異なる質量を持つ可能性があるという事実と矛盾し、さらにアインシュタインの相対性理論（1905年）と矛盾しました。相対性理論では、物体にエネルギーが加えられると（たとえば、温度を上げたり、電気的に反発する物体の近くに置いたりすると）、物体の測定可能な質量が増加することを示しています。このため、「物体内の物質の量」という従来の定義よりも正確な、別の質量の定義の探求が促されました。^[24]

慣性質量は、加速に対する抵抗によって測定される物体の質量である。この定義はエルンスト・マッハ^{[25] [26]によって提唱され、その後}パーシー・W・ブリッジマン[27]によって操作主義の概念に発展した。^[28]質量の単純な古典力学の定義は特殊相対性理論の定義と若干異なるが、本質的な意味は同じである。

古典力学では、ニュートンの第二法則によれば、物体が任意の瞬間に運動方程式に従う場合、 その物体は質量mを持つとされる。

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

ここで、F は物体に作用する合力であり、 a は物体の質量中心の加速度です。 ^{[注 8]}今のところ、「物体に作用する力」が実際に何を意味するかという問題は脇に置いておきます。

この方程式は、質量が物体の慣性とどのように関係しているかを示しています。質量の異なる 2 つの物体を考えてみましょう。それぞれに同じ力を加えると、質量の大きい物体はより小さな加速度を経験し、質量の小さい物体はより大きな加速度を経験します。質量が大きいほど、力に応じて運動状態を変えることに対してより大きな「抵抗」を及ぼすと言えます。

しかし、異なる物体に「同一の」力をかけるというこの概念は、力とは何かをまだ定義していないという事実に私たちを戻します。ニュートンの第 3 法則の助けを借りて、この困難を回避することができます。この法則は、ある物体が別の物体に力を及ぼすと、その物体は等しく反対の力を受けると述べています。正確には、一定の慣性質量m ₁とm _{2 を}持つ 2 つの物体があるとします。この 2 つの物体を他のすべての物理的影響から隔離すると、存在する力はm ₁にm _{2が及ぼす力 (} F ₁₂と表記) と、 m ₁からm ₂に及ぼす力( F ₂₁と表記)のみになります。ニュートンの第 2 法則は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F_{12}} &=m_{1}\mathbf {a} _{1},\\\mathbf {F_{21}} &=m_{2}\mathbf {a} _{2},\end{aligned}}}$

ここで、a ₁とa _{2 はそれぞれ}m ₁とm ₂の加速度です。これらの加速度がゼロでない場合、2つの物体間の力もゼロではないと仮定します。これは、たとえば、2つの物体が互いに衝突しているときに発生します。ニュートンの第3法則は、

F 12 = − F 21 ; {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21};}

そしてこうして

${\displaystyle m_{1}=m_{2}{\frac {|\mathbf {a} _{2}|}{|\mathbf {a} _{1}|}}\!.}$

| a ₁ | がゼロでない場合、分数は明確に定義され、m ₁の慣性質量を測定できます。この場合、m _{2 は}「参照」オブジェクトであり、その質量m を(たとえば) 1 キログラムと定義できます。次に、参照オブジェクトと衝突させて加速度を測定することで、宇宙の他のオブジェクトの質量を測定できます。

さらに、質量は物体の運動量 pとその線速度 vを関連付けます。

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } 、

そして物体の運動エネルギー Kは速度に比例します。

K = 1 2 m | v | 2 {\displaystyle K={\dfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}} .

マッハの質量定義の主な難点は、質量測定を行うために 2 つの質量を互いに十分近づけるのに必要な位置エネルギー(または結合エネルギー) を考慮に入れていないことです。 ^{[26]このことは、}重水素の原子核内の陽子の質量を自由空間内の陽子の質量 (約 0.239% 大きい。これは重水素の結合エネルギーによる) と比較することで最も鮮明に実証されます。したがって、たとえば、基準重量m ₂を自由空間内の中性子の質量とし、重水素内の陽子と中性子の相対加速度を計算すると、上記の式では重水素内の陽子の質量m ₁が (0.239% だけ) 過大評価されます。マッハの式はせいぜい質量比、つまりm ₁  /  m ₂ = | a ₂ | / | a ₁ | を得るためにしか使用できません。アンリ・ポアンカレは、瞬間加速度の測定は不可能であるというさらなる困難を指摘した。時間や距離の測定とは異なり、1回の測定で加速度を測定する方法はなく、位置、時間などの複数の測定を行い、計算を実行して加速度を取得する必要がある。ポアンカレはこれをマッハの質量定義における「克服できない欠陥」と呼んだ。^[29]

通常、物体の質量はキログラムで測定されますが、2019 年以降は自然界の基本定数に基づいて定義されています。原子や他の粒子の質量は、他の原子の質量とより正確かつ便利に比較できるため、科学者はダルトン(統一原子質量単位とも呼ばれる) を開発しました。定義上、1 Da (1ダルトン) は炭素 12原子の質量のちょうど 12 分の 1 であり、したがって炭素 12 原子の質量はちょうど 12 Da です。

特殊相対性理論のいくつかの枠組みでは、物理学者はこの用語の異なる定義を使用しています。これらの枠組みでは、2種類の質量が定義されています。静止質量（不変質量）^{[注 9]}と相対論的質量（速度とともに増加する）です。静止質量は、物体とともに移動する観測者によって測定されたニュートン質量です。 相対論的質量は、物体またはシステムのエネルギーの総量をc ²で割ったものです。この2つは次の式で関連しています。

${\displaystyle m_{\mathrm {relative} }=\gamma (m_{\mathrm {rest} })\!}$

ローレンツ因子はどこにありますか？ ${\displaystyle \gamma }$

γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

システムの不変質量はすべての慣性系における観測者にとって同じですが、相対論的質量は観測者の参照系に依存します。質量値が観測者間で変化しないように物理方程式を定式化するには、静止質量を使用すると便利です。物体の静止質量は、相対論的エネルギー運動量方程式によって、そのエネルギーEと運動量pの大きさにも関連しています。

( m r e s t ) c 2 = E t o t a l 2 − ( | p | c ) 2 。 {\displaystyle (m_{\mathrm {rest} })c^{2}={\sqrt {E_{\mathrm {total} }^{2}-(|\mathbf {p} |c)^{2}}}.\!}

システムが質量とエネルギーに関して閉じている限り、どちらの種類の質量も任意の参照フレームで保存されます。質量保存は、一部の種類の粒子が他の種類の粒子に変換されても適用されます。物質粒子（原子など）は非物質粒子（光子など）に変換される場合がありますが、これは質量またはエネルギーの総量に影響しません。熱などは物質ではないかもしれませんが、すべての種類のエネルギーは依然として質量を示し続けます。^{[注 10] [30]}したがって、質量とエネルギーは相対的に互いに変化しません。むしろ、どちらも同じものの名前であり、質量もエネルギーも他方なしでは 現れません。

静止質量と相対質量は両方とも、よく知られている関係E  = mc ²を適用することでエネルギーとして表現でき、それぞれ静止エネルギーと「相対エネルギー」（システム全体のエネルギー）が得られます。

E r e s t = ( m r e s t ) c 2 {\displaystyle E_{\mathrm {rest} }=(m_{\mathrm {rest} })c^{2}\!}

E 合計 = ( m r e l a t i v e ) c 2 {\displaystyle E_{\mathrm {total} }=(m_{\mathrm {relative} })c^{2}\!}

「相対論的」質量とエネルギーの概念は「静止」のそれと関連しているが、正味の運動量が存在するシステムでは静止のものと同じ値を持たない。相対論的質量はエネルギーに比例するため、物理学者の間では次第に使われなくなってきた。^{[31]この概念が}教育的に有用であるかどうかについては意見が分かれている。^{[32] [33] [34]}

結合系では、結合エネルギーは結合時に系から失われることが多いため、結合していない系の質量から結合エネルギーを差し引く必要がある場合が多い。このプロセスで系の質量が変化する理由は、結合プロセス中に系が閉じられていなかったためにエネルギーが逃げただけである。たとえば、原子核の結合エネルギーは、核が形成されるときにガンマ線の形で失われることが多く、その核種の質量は、それを構成する 自由粒子 (核子) よりも小さくなる。

質量とエネルギーの等価性はマクロなシステムでも成り立つ。^[35]例えば、ちょうど 1 キログラムの氷を取り、熱を加えると、結果として生じる融解水の質量は 1 キログラム以上になる。これには、氷を溶かすために使用された熱エネルギー(潜熱) の質量が含まれるため、これはエネルギー保存則から導かれる。^[36]この数は小さいが無視できないもので、約 3.7 ナノグラムである。これは、氷が溶ける潜熱(334 kJ/kg) を光速の 2 乗 ( c ² ≈9 × 10 ¹⁶  m ² /s ²）。

一般相対性理論では、等価原理とは、重力と慣性質量が等価であるというものです。この主張の核心にあるのは、質量のある物体（地球など）の上に立っているときに局所的に経験される重力は、非慣性（つまり加速）参照系にいる観測者が経験する疑似力と同じであるというアルバート・アインシュタインの考えです。

しかし、一般相対論における不変質量の概念に対する客観的な一般定義を見つけることは不可能であることが判明した。問題の核心はアインシュタイン場の方程式の非線形性であり、これにより、すべての観測者にとって不変な方法で、重力場エネルギーを応力エネルギーテンソルの一部として記述することが不可能になる。特定の観測者にとって、これは応力エネルギー運動量擬テンソルによって達成できる。^[37]

古典力学では、粒子の慣性質量はオイラー・ラグランジュ方程式にパラメータmとして現れます。

d d t ( ∂ L ∂ x ˙ i ) = m x ¨ i . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}.}

量子化後、位置ベクトルx を波動関数に置き換えると、運動エネルギー演算子にパラメータmが現れます。

i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) ) Ψ ( r , t ) . {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right)\Psi (\mathbf {r} ,\,t).}

表面上は共変（相対論的に不変）なディラック方程式、および自然単位では、これは次のようになります。

( − i γ μ ∂ μ + m ) ψ = 0 {\displaystyle (-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi =0}

ここで、「質量」パラメータm は、波動関数 ψ によって記述される 量子と関連付けられた単なる定数です。

1960年代に開発された素粒子物理学の標準モデルでは、この項は、場 ψ と追加の場 Φ、つまりヒッグス場との結合から生じます。フェルミオンの場合、ヒッグス機構により、ラグランジアン内の項m ψ が に置き換えられます。これにより、各素粒子の質量の値の説明変数が、未知の結合定数G _ψの値にシフトします。 ${\displaystyle G_{\psi }{\overline {\psi }}\phi \psi }$

タキオン場、あるいは単にタキオンは、虚数質量を持つ量子場である。^[38]タキオン（光より速く移動する粒子）は、一般的には存在するとは信じられていない純粋に仮説的な概念であるが、 ^{[38] [39]虚数質量を持つ}場は現代物理学において重要な役割を果たすようになり^{[40] [41] [42]}物理学の一般書でも論じられている。^{[38] [43]}そのような理論では、いかなる状況下でも励起が光より速く伝播することはない。タキオン質量の有無は、信号の最大速度にまったく影響を及ぼさない（因果律に違反しない）。^[44]場は虚数質量を持つかもしれないが、物理的な粒子は虚数質量を持たない。 「虚数質量」は、システムが不安定になることを示しており、タキオン凝縮と呼ばれる一種の相転移（二次相転移と密接に関連）を経て不安定性が解消され、その結果、現在の粒子物理学のモデルでは対称性が破れることになります。

「タキオン」という用語は、ジェラルド・フェインバーグが1967年の論文で作った造語であるが^{[45] 、フェインバーグのモデルは実際には}超光速を考慮に入れていないことがすぐに判明した。 ^[44]代わりに、虚数質量が構成に不安定性を生み出す。つまり、1つ以上の場の励起がタキオンである構成は自発的に崩壊し、結果として生じる構成には物理的なタキオンが含まれない。このプロセスはタキオン凝縮として知られている。よく知られている例としては、素粒子物理学におけるヒッグス粒子の凝縮や、凝縮物質物理学における強磁性などがある。

タキオンの虚数質量という概念は、虚数質量の古典的な解釈がないため、やっかいに思えるかもしれないが、質量は量子化されていない。むしろ、スカラー場が量子化されている。タキオンの量子場であっても、空間的に離れた点にある場の演算子は依然として交換（または反交換）し、因果関係が保たれる。したがって、情報は依然として光より速く伝播せず、^{[45]解は指数関数的に増加するが、超光速には増加しない（}因果関係の違反はない）。タキオン凝縮は、局所的限界に達し、単純に物理的タキオンを生成すると予想される物理システムを、物理的タキオンが存在しない別の安定状態へと駆動する。タキオン場がポテンシャルの最小値に達すると、その量子はもはやタキオンではなく、正の質量の2乗を持つ通常の粒子になる。^[46]

これは一般則の特殊なケースであり、不安定な質量を持つ粒子は複素質量を持つと正式に記述され、実部は通常の意味での質量、虚部は自然単位での崩壊率である。^[46]しかし、量子場の理論では、粒子（「1粒子状態」）は、時間に対して一定である状態、すなわちハミルトニアンの固有値として大まかに定義される。不安定粒子は、時間に対してほぼ一定である状態である。測定できるほど長く存在する場合、質量の実部が虚部よりも大きい複素質量を持つと正式に記述できる。両方の部分が同じ大きさの場合、これは粒子ではなく散乱過程で現れる共鳴として解釈される。なぜなら、散乱過程から独立して測定できるほど長く存在しないと考えられるからである。タキオンの場合、質量の実部はゼロであるため、粒子の概念をそれに帰することはできない。

ローレンツ不変理論では、通常の光より遅い粒子（タキオンの議論では「ブラディオン」と呼ばれることもある）に適用されるのと同じ式がタキオンにも適用される必要がある。特にエネルギーと運動量の関係は次のようになる。

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\;}$

(ここでpはブラディオンの相対論的運動量、 mはブラディオンの静止質量) は、粒子の全エネルギーの式とともに依然として適用される:

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

この式は、粒子（ブラディオンまたはタキオン）の全エネルギーには、静止質量からの寄与（「静止質量エネルギー」）と、運動からの寄与である運動エネルギーが含まれていることを示しています。vがcより大きい場合、エネルギーの式の分母は「虚数」であり、根号の下の値は負になります。 全エネルギーは実数でなければならないため、分子も虚数でなければなりません。つまり、静止質量 m は虚数でなければなりません。純虚数を別の純虚数で割ると実数になるからです。

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