行列加算

数学において、行列の加算とは、2つの行列の対応する要素を足し合わせることによって、 2つの行列を加算する演算のことである。

ベクトルの場合、${\displaystyle {\vec {v}}\!}$2 つの行列を追加すると、各行列変換を個別に適用する幾何学的効果が得られます。${\displaystyle {\vec {v}}\!}$そして、変換されたベクトルを加算します。

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}$

2 つの行列は、加算するには行数と列数が等しくなければなりません。^{[ 1 ]}この場合、2 つの行列AとBの和は、 AとBと同じ行数と列数を持つ行列になります。AとBの和は、A + Bと表記され、 AとBの対応する要素を加算することによって計算されます。^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

あるいはもっと簡潔に（A + B = Cと仮定して）：^{[ 4 ]}

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

例えば：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

同様に、次元が同じであれば、ある行列から別の行列を減算することも可能です。AとBの差（ A − Bと表記）は、Aの対応する要素からBの要素を減算することによって計算され、 AとBと同じ次元を持ちます。例：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}$

• 行列乗算
• ベクトル加算
• 行列の直和
• クローネッカーの和

• リプシュッツ、シーモア。マーク・リプソン (2017)。シャウムの線形代数の概要(第 6 版)。マグロウヒル教育。ISBN 9781260011449。
• Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2006). Mathematical methods for physics and engineering (3  ed.). Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511810763 . ISBN 978-0-521-86153-3。