行列式のライプニッツ公式

代数学において、ゴットフリート・ライプニッツにちなんで名付けられたライプニッツの公式は、正方行列の行列式を行列要素の順列で表します。${\displaystyle A}$は${\displaystyle n\times n}$行列、ここで${\displaystyle a_{ij}}$エントリは${\displaystyle i}$-行目と${\displaystyle j}$の 番目の列${\displaystyle A}$式は^{[ 1 ]}

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)i}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$は置換群における置換の符号関数である。${\displaystyle S_{n}}$これは、${\displaystyle +1}$そして${\displaystyle -1}$それぞれ偶数順列と奇数順列の場合です。

この式を表すもう一つの一般的な表記法は、レヴィ＝チヴィタ記号を用いたもので、アインシュタインの総和表記法を用いると、次のようになる。

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

これは物理学者にとってはより馴染み深いものかもしれない。

定義からライプニッツの公式を直接評価するには、${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ 一般的に、演算の数、つまり漸近的に比例する演算の数${\displaystyle n}$階乗—なぜなら${\displaystyle n!}$注文数${\displaystyle n}$順列。これは、比較的小さい場合でも非現実的に困難です。${\displaystyle n}$代わりに、行列式は次のように評価できます。${\displaystyle O(n^{3})}$LU分解を形成することによる演算${\displaystyle A=LU}$（通常はガウス消去法または同様の方法による）この場合${\displaystyle \det A=\det L\cdot \det U}$そして三角行列の行列式${\displaystyle L}$そして${\displaystyle U}$これらは単に対角成分の積です。（ただし、数値線形代数の実際的な応用では、行列式の明示的な計算はほとんど必要ありません。）例えば、Trefethen & Bau (1997)を参照してください。行列式は、以下の時間で評価することもできます。${\displaystyle O(n^{3})}$問題を行列乗算に還元することで演算を行う方法もあるが、そのようなアルゴリズムのほとんどは実用的ではない。

定理。 関数はただ一つだけ存在する。${\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$これは列に関して交代多重線形であり、${\displaystyle F(I)=1}$。

証拠。

独自性:${\displaystyle F}$をそのような関数とし、${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$になる${\displaystyle n\times n}$マトリックス。呼び出し${\displaystyle A^{j}}$の${\displaystyle j}$の 番目の列${\displaystyle A}$つまり${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$、 となることによって${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

また、${\displaystyle E^{k}}$を示す${\displaystyle k}$単位行列の 番目の列ベクトル。

さあ、それぞれを書いてください${\displaystyle A^{j}}$の${\displaystyle E^{k}}$つまり

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$。

として${\displaystyle F}$多線式である、

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

交替の法則から、インデックスが重複する項はすべてゼロになることがわかる。したがって、和はインデックスが重複しないタプル、つまり順列に限定することができる。

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

Fは交代であるため、列は${\displaystyle E}$恒等関数になるまで交換できます。${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$は、必要なスワップの回数をカウントし、結果として生じる符号の変化を考慮するように定義されます。最終的に次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

として${\displaystyle F(I)}$等しくなければならない${\displaystyle 1}$。

したがって、ライプニッツの公式で定義される関数以外の関数は、多重線形交代関数にはなり得ない。${\displaystyle F\left(I\right)=1}$。

存在:ここで、ライプニッツの公式で定義される関数 F が次の 3 つの性質を持つことを示します。

マルチリニア：

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

交互に：

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

いかなる場合でも${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$させて${\displaystyle \sigma '}$タプルを次のようにします${\displaystyle \sigma }$と共に${\displaystyle j_{1}}$そして${\displaystyle j_{2}}$インデックスが切り替わりました。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\underbrace {\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)} _{=0{\text{, if }}A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}\\\\\end{aligned}}}$

したがって、${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$それから${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$。

ついに、${\displaystyle F(I)=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}$

したがって、交代多重線形関数は${\displaystyle F(I)=1}$ライプニッツの公式で定義される関数に限定され、実際、この関数もこれら３つの性質を備えている。したがって、行列式は唯一の関数として定義できる。${\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$これら3つの物件について。

• マトリックス
• ラプラス展開
• クレイマーの法則

• 「行列式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• トレフェセン、ロイド N.デヴィッド・バウ（1997年6月1日）。数値線形代数。サイアム。ISBN 978-0898713619。