明確なマトリックス

数学において、実数要素 を持つ対称行列が正定値行列であるとは、実数がすべての非ゼロの実列ベクトルに対して正である場合である。ここで、はの行ベクトル転置を表す。 ^[1] より一般的には、エルミート行列（つまり、その共役転置に等しい複素行列）が正定値行列であるとは、実数がすべての非ゼロの複素列ベクトルに対して正である場合である。ここで、はの共役転置を表す。${\displaystyle \M\}$${\displaystyle \\mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \}$ ${\displaystyle \\mathbf {x}\,}$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}$

正の半定値行列も同様に定義されますが、スカラーとが正またはゼロ（つまり、非負）である必要があります。負の定値行列と負の半定値行列も同様に定義されます。正の半定値でも負の半定値でもない行列は、不定値と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$

上記の定義から、行列が正定値となるのは、それが正定値二次形式またはエルミート形式の行列である場合のみであることがわかります。言い換えると、行列が正定値となるのは、内積を定義する場合のみであるということです。

正定値行列と半正定値行列はさまざまな方法で特徴付けることができ、数学のさまざまな部分でこの概念が重要である理由を説明できます。行列Mが正定値行列となるのは、次の同等の条件のいずれかを満たす場合のみです。

• ${\displaystyle \ M\ }$正の実数要素を持つ対角行列と合同です。
• ${\displaystyle \ M\ }$は対称またはエルミートであり、その固有値はすべて実数かつ正です。
• ${\displaystyle \ M\ }$は対称またはエルミートであり、その主要な主マイナーはすべて正です。
• 共役転置を持つ可逆行列 が存在し、${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B^{*}\ }$${\displaystyle \ M=B^{*}B~.}$

行列が半正定値行列であるとは、"正" を "非負" に置き換え、"可逆行列" を "行列" に置き換え、"先頭" という単語を削除した同様の同等の条件を満たす場合です。

正定値および半正定値の実数行列は凸最適化の基礎となる。なぜなら、2回微分可能な複数の実変数の関数が与えられたとき、そのヘッセ行列（その2次偏導関数の行列）が点pで正定値であれば、関数はpの近くで凸であり、逆に、関数がpの近くで凸であれば、ヘッセ行列はpで半正定値となるからである。${\displaystyle \ p\ ,}$${\displaystyle \ p\ ,}$${\displaystyle \ p~.}$

正定値行列の集合は開いた 凸錐であり、半正定値行列の集合は閉じた凸錐である。^[2]

一部の著者は、非対称実数行列や非エルミート複素行列を含む、より一般的な定性の定義を使用しています。

以下の定義では、は の転置、はの共役転置、 はn次元のゼロベクトル を表します。${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {0} \ }$

対称実数行列は、すべての非ゼロの行列に対して正定値行列であるという。正式 には、${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

対称実行列は、すべての に対してとなるとき、半正定値行列または非負定値行列であると言われる。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \geq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

対称実数行列は、すべての非ゼロに対して負定値であるという。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} <0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

対称実行列は、すべてのに対してが成り立つとき、半負定値行列または非正定値行列であると言われる。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

半正定値でも半負定値でもない対称実数行列は不定値行列と呼ばれます。 ${\displaystyle n\times n}$

以下の定義はすべて、この用語を含みます。これは、任意のエルミート正方行列に対して常に実数であることに注意してください。${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ~.}$${\displaystyle \ M~.}$

エルミート複素行列は、すべての非ゼロに対して正定値であるという。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

エルミート複素行列は、すべてのに対して正半定値または非負定値であるという。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \geq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

エルミート複素行列は、すべての非ゼロに対して負定値であるという。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} <0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

エルミート複素行列は、すべての に対してとなるとき、負の半定値行列または非正定値行列であると言われる。正式 には、${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \leq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

半正定値でも半負定値でもないエルミート複素行列は不定値と呼ばれます。 ${\displaystyle \ n\times n\ }$

すべての実数行列は複素行列でもあるため、2 つのクラスの「定性」の定義は一致する必要があります。

複素行列の場合、最も一般的な定義は、が正定値行列であるためには、任意の非ゼロ複素列ベクトルに対してが実数かつ正であることが必要であるとしています。 この条件は、がエルミート行列（つまり、その転置が共役行列に等しい）であることを意味します。なぜなら、実数であるため、任意のに対して共役転置に等しいからです。つまり、${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \mathbf {z} ~.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ M^{*}\ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ M=M^{*}~.}$

この定義によれば、正定値実数行列はエルミート行列であり、したがって対称であり、すべての非ゼロ実数列ベクトルに対して正である。 しかし、最後の条件だけでは正定値であるためには十分ではない。例えば、 ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}$${\displaystyle \ M\ }$$${\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}~1~&~1~\\-1~&~1~\end{bmatrix}},}$$

とを持つ任意の実数ベクトルに対して、が0でなければ 常に正である。しかし、が1の要素を持つ複素数ベクトルである場合、${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ a\ }$${\displaystyle \ b\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ i\ ,}$

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ={\begin{bmatrix}~1~&-i~\end{bmatrix}}\ M\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~1+i~&~1-i~\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}=2+2i~.}$$

これは実数ではありません。したがって、は正定値ではありません。 ${\displaystyle \ M\ }$

一方、対称実数行列の場合、すべての非ゼロ実数ベクトルに対する条件「」は、複素数の意味で正定値である ことを意味します。${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

エルミート行列が半正定値である場合、 と書くことがあります。が半負定値であることを表すには と書き、 が負定値であることを表すには と書きます。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\succeq 0\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\succ 0~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\preceq 0\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\prec 0~.}$

この概念は、半正定値行列が正の演算子を定義する関数解析から来ています。2 つの行列がと を満たす場合、反射的、反対称的、推移的な非厳密な半順序を定義できます。ただし、これは全順序ではなく、一般に不定である可能性があります。 ${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B-A\succeq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ B\succeq A\ }$${\displaystyle \ B-A\ ,}$

一般的な代替表記法は、それぞれ半正定値行列と正定値行列、半負定値行列と負定値行列です。非負行列 (それぞれ非正行列) もこの方法で表記される場合があるため、混乱を招く可能性があります。 ${\displaystyle \ M\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M>0\ ,}$ ${\displaystyle \ M\leq 0\ ,}$${\displaystyle \ M<0\ }$

をエルミート行列とします（これには実対称行列も含まれます）。 のすべての固有値は実数であり、その符号はその定性的性質を特徴付けます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$は、その固有値がすべて正である場合にのみ正定値です。
• ${\displaystyle M}$は、その固有値がすべて非負である場合にのみ、半正定値です。
• ${\displaystyle M}$負定値であるためには、その固有値はすべて負である必要がある。
• ${\displaystyle M}$全ての固有値が非正である場合に限り、半正定値である。
• ${\displaystyle M}$正の固有値と負の固有値の両方を持つ場合にのみ不定となります。

を の固有分解とします。ここで はユニタリ複素行列で、その列は の固有ベクトルの正規直交基底から成り、は実対角行列で、その主対角線には対応する固有値が含まれます。この行列は、 (固有ベクトル)基底の座標で再表現された対角行列と見なすことができます。言い換えると、あるベクトルに を適用することは、を用いて基底を固有ベクトル座標系に変更することと同じです。結果にストレッチ変換を適用してとし、次にを用いて基底を元に戻します。${\displaystyle \ PDP^{-1}\ }$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ P\ }$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ P~.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ M\mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ P^{-1}\ ,}$${\displaystyle \ P^{-1}\mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ DP^{-1}\mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ P\ ,}$${\displaystyle \ PDP^{-1}\mathbf {z} ~.}$

これを念頭に置くと、変数の 1 対 1 変換は、任意の複素ベクトルに対して が実数かつ正である場合、かつ が任意の に対して実数かつ正である場合、つまり が正定値である場合に限り、であることを示します。対角行列の場合、これは主対角線の各要素、つまり のすべての固有値が正である場合にのみ当てはまります。スペクトル定理により、エルミート行列のすべての固有値が実数であることが保証されるため、実対称行列の特性多項式が使用可能な場合、デカルトの符号交替規則を使用して、固有値の正値性を確認できます。 ${\displaystyle \ \mathbf {y} =P\mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} \ }$${\displaystyle \ y\ ;}$${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\ }$

をエルミート行列とします。 が半正定値行列となるのは、共役転置行列と の積として分解できる場合のみです 。 ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$$${\displaystyle \ M=B^{*}B\ }$$${\displaystyle \ B\ }$

が実数の場合、も実数となり、分解は次のように書ける。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ B\ }$$${\displaystyle \ M=B^{\top }B~.}$$

${\displaystyle M}$が正定値となるのは、そのような分解が可逆なで存在する場合のみである。より一般的には、がランク の半正定値となるのは、フル行ランク（つまりランク ）の行列で分解が存在する場合のみである。さらに、任意の分解^{[3]に対して}${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ k\ }$${\displaystyle \ k\times n\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ k\ }$${\displaystyle \ M=B^{*}B\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B)~.}$

の列は、それぞれ複素ベクトル空間または実ベクトル空間のベクトルとして見ることができます。すると、 の要素はこれらのベクトルの内積（つまり、実数の場合は ドット積）です。 言い換えると、エルミート行列が半正定値行列となるのは、それがいくつかのベクトルのグラム行列である場合に限ります。エルミート行列が半正定値行列となるのは、それがいくつかの線形独立ベクトル のグラム行列である場合に限ります。一般に、ベクトルのグラム行列の階数は、これらのベクトルが張る空間の次元に等しくなります。^[4]${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}\ ,}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \ M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle ~.}$$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}~.}$${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$

分解は一意ではない。ある行列に対して が成り立ち、が任意のユニタリ行列（つまり）であるとき、に対して${\displaystyle \ M=B^{*}B\ }$${\displaystyle \ k\times n\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ Q\ }$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle \ Q^{*}Q=QQ^{*}=I\ }$${\displaystyle \ M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A\ }$${\displaystyle \ A=QB~.}$

しかし、これは2つの分解が異なる唯一の方法です。分解はユニタリ変換を除いて一意です。より正式には、が行列であり、がとなる行列である場合、正規直交列（つまり）を持つ行列 が存在し、^[5]となる とき、はユニタリであることを意味します。 ${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ k\times n\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ \ell \times n\ }$${\displaystyle \ A^{*}A=B^{*}B\ ,}$${\displaystyle \ \ell \times k\ }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q^{*}Q=I_{k\times k}\ }$${\displaystyle \ B=QA~.}$${\displaystyle \ell =k}$${\displaystyle Q}$

この記述は、実際のケースでは直感的な幾何学的解釈が可能です。およびの列を のベクトルおよびとします 。 実ユニタリ行列は直交行列で、 0 点を保存する剛体変換(ユークリッド空間 の等長変換)を記述します(つまり、平行移動なしで回転と反射)。 したがって、の何らかの剛体変換によってベクトルが に変換される (および 0 が 0 に変換される)場合にのみ、および の内積が等しくなります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}~.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

エルミート行列が正半定値行列であるのは、正半定値行列 （特に はエルミート行列なので）が存在し、 を満たす場合のみである。この行列は一意であり、^[6]は の非負平方根と呼ばれ、 で表される。 が正定値行列の 場合、 は であるため、 の正平方根とも呼ばれる。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B^{*}=B\ }$${\displaystyle \ M=BB~.}$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ B=M^{\frac {1}{2}}~.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\ ,}$${\displaystyle \ M~.}$

非負の平方根を他の分解と混同しないでください。 著者によっては、このような分解すべて、または特にコレスキー分解、または形式の分解すべてに平方根という名前を使用する 人もいますが、非負の平方根にのみこの名前を使用する人もいます。 ${\displaystyle \ M=B^{*}B~.}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \ M=BB\ ;}$

もしそうなら${\displaystyle \ M\succ N\succ 0\ }$${\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0~.}$

エルミート正半定値行列は、が非負の対角要素を持つ下三角行列（ が上三角行列であることと同等）として表すことができます。これがコレスキー分解 です。が正定値行列である場合、 の対角要素は正であり、コレスキー分解は一意です。逆に、 が非負の対角要素を持つ下三角行列である場合、 は正半定値行列です。コレスキー分解は、効率的な数値計算に特に役立ちます。密接に関連する分解はLDL 分解で、は対角要素で は下一三角要素です。 ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M=LL^{*}\ ,}$${\displaystyle \ L\ }$${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle \ B=L^{*}\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ L\ }$${\displaystyle \ L\ }$${\displaystyle \ LL^{*}\ }$${\displaystyle \ M=LDL^{*}\ ,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \ L\ }$

任意の正定値エルミート実数行列は、シンプレクティック（実数）行列を介して対角化できます。より正確には、ウィリアムソンの定理は、となるシンプレクティックおよび対角実正値の存在を保証します。 ${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$

を実対称行列とし、を「単位球」と定義すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 1\}\ }$${\displaystyle \ M~.}$

• ${\displaystyle \ B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })}$間に挟まれた固体の板である${\displaystyle \ \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}~.}$
• ${\displaystyle \ M\succeq 0\ }$が楕円体、または楕円柱である場合に限ります。${\displaystyle \ B_{1}(M)\ }$
• ${\displaystyle \ M\succ 0\ }$が有界である場合、つまり楕円体である場合に限ります。${\displaystyle \ B_{1}(M)\ }$
• もし、もし、もし、もし、もし、もし、もし${\displaystyle \ N\succ 0\ ,}$${\displaystyle \ M\succeq N\ }$${\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N)\ ;}$ ${\displaystyle \ M\succ N\ }$${\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} \!{\bigl (}\ B_{1}(N)\ {\bigr )}~.}$
• ならば、すべてに対して ならば、かつそのときのみ となる。したがって、楕円体の極双対も、同じ主軸を持ち長さが逆である楕円体なので、次式が成り立つ。すなわち、 が正定値であれば、すべてに対してならば、かつそのときのみ${\displaystyle \ N\succ 0\ ,}$${\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }$${\displaystyle v\neq 0}$${\textstyle \ B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top })~.}$$${\displaystyle \ B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}~.}$$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} \neq \mathbf {0} \ }$${\displaystyle \ M\succeq N^{-1}~.}$

をエルミート行列とします。次の特性は正定値であること と同等です。${\displaystyle M}$${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

関連するセクスティリニア形式は内積である

によって定義されるセスクイリニア形式は、から への関数で、すべてのおよびに対してとなるものです。ここで はの共役転置です。任意の複素行列に対して、この形式は で線形、 で半線形です。したがって、 が実数かつ正である場合に限り、形式はの内積となり、すべての非ゼロに対して となります。つまり が正定値である場合に限り、形式はの内積となります。(実際、 のすべての内積は、エルミート正定値行列からこのように生じます。)${\displaystyle M}$${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$${\displaystyle \ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {y} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$${\displaystyle \ \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ;}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$

その主要な主要マイナーはすべてプラスです

行列の k 番目の主要小行列式は、その左上部分行列の行列式です。行列が正定値行列であるためには、これらすべての行列式が正である必要があります。この条件はシルベスターの基準として知られており、対称実行列の正定値を効率的にテストできます。つまり、ガウス消去法の最初の部分と同様に、基本的な行操作を使用して、行列を上三角行列に簡約し、ピボット処理中に行列式の符号が保持されるように注意します。三角行列のk番目の主要小行列式は、行までの対角要素の積であるため、シルベスターの基準は、対角要素がすべて正であるかどうかを確認することと同じです。この条件は、三角行列の新しい行が取得されるたびに確認できます。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ k\times k\ }$${\displaystyle \ k\ ,}$${\displaystyle \ k\ }$

半正定値行列は、逆行列である場合に限り、正定値行列である。^[7]半正定値 行列は、半正定値である 場合に限り、負定値行列である。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ -M\ }$

実数行列に関連付けられた（純粋な）二次形式は、すべての に対してとなる関数です。これは、両面積で非対称部分はすべてゼロになるため、 と置き換えることで対称であると想定できます。${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ ,}$

対称行列は、その二次形式が厳密に凸関数である場合に限り、正定値行列となります。 ${\displaystyle \ M\ }$

より一般的には、からへの任意の2次関数は、対称行列、実数nベクトル、実定数として次のように表すことができます。この場合、これは放物線であり、の場合と同様に、 ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}\ }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {x} +c\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ \mathbf {b} \ }$${\displaystyle \ c\ }$${\displaystyle \ n=1\ }$${\displaystyle \ n=1\ }$

定理:この二次関数は厳密に凸関数であるため、正定値関数で ある場合に限り、唯一の有限大域最小値を持ちます。${\displaystyle \ M\ }$

証明:が正定値の場合、関数は厳密に凸です。関数が厳密に凸であるため、その勾配は の唯一の点でゼロになり、その点がグローバル最小値である必要があります。が正定値でない場合は、関数が直線または下向きの放物線になるようなベクトルが存在するため、厳密に凸ではなく、グローバル最小値を持ちません。 ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M^{-1}\mathbf {b} \ ,}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\mathbf {v} \leq 0\ ,}$${\displaystyle \ f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\top }M(t\mathbf {v} )+b^{\top }(t\mathbf {v} )+c\ }$

このため、正定値行列は最適化問題において重要な役割を果たします。

1 つの対称行列と、対称かつ正定値である別の行列は、同時に対角化できます。同時対角化は相似変換で必ずしも実行されるわけではありませんが、これは可能です。この結果は、3 つ以上の行列の場合には適用されません。このセクションでは、実数の場合について記述します。複素数の場合への拡張は即時です。

を対称行列と対称正定値行列とします。一般化固有値方程式を と書きます。ここで を正規化、すなわち とします。ここで、コレスキー分解を使用しての逆行列を と書きます。を乗じて を得ると、 と書き直すことができます。ここで の操作によりが得られます。ここで は、列として一般化固有ベクトルを持つ行列であり、 は一般化固有値の対角行列です。ここで を前乗すると、最終結果が得られます。およびただし、これはもはや内積に関する直交対角化ではないことに注意してください。ここで 実際、によって誘導される内積に関して対角化しました^。[8]${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} =1~.}$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ Q^{\top }Q~.}$${\displaystyle \ Q\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} =Q^{\top }\mathbf {y} \ ,}$${\displaystyle \ Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\top }\mathbf {y} =0\ ,}$${\displaystyle \ \left(QMQ^{\top }\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} \ }$${\displaystyle \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}$${\displaystyle MX=NX\Lambda }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle X^{\top }}$${\displaystyle \ X^{\top }MX=\Lambda \ }$${\displaystyle \ X^{\top }NX=I\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N~.}$

この結果は、相似変換による同時対角化について言及している記事「対角化可能な行列」の同時対角化に関する記述と矛盾しないことに注意してください。ここでの結果は、2 つの二次形式の同時対角化に似ており、一方の形式をもう一方の形式で最適化するのに役立ちます。

任意の正方行列について、つまり が半正定値である場合、と書きます。これは、すべての正方行列の集合上の半順序を定義します。同様に、厳密な半順序を定義することもできます。この順序は、Loewner 順序と呼ばれます。 ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ M\geq N\ }$${\displaystyle \ M-N\geq 0\ }$${\displaystyle \ M-N\ }$${\displaystyle \ M>N~.}$

全ての正定値行列は逆行列であり、その逆行列も正定値である。^[9]ならば^[10]さらに、最小最大定理により、のk番目に大きい固有値は、のk番目に大きい固有値以上である。${\displaystyle \ M\geq N>0\ }$${\displaystyle \ N^{-1}\geq M^{-1}>0~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N~.}$

が正定値で実数であれば、は正定値である。^[11]${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ r>0\ }$${\displaystyle \ rM\ }$

• とが正定値であれば、和も正定値である。^[11]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• およびが半正定値である場合、その和も半正定値です。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• が正定値で が半正定値の場合、その合計も正定値になります。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$

• およびが正定値である場合、積とも正定値です。である場合、 も正定値です。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ MNM\ }$${\displaystyle NMN}$${\displaystyle \ MN=NM\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$
• が半正定値行列である場合、任意の（おそらく長方形の）行列に対して半正定値行列である。が正定値行列であり、列ランクが完全である場合、半正定値行列である。^[12]${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ A^{*}MA\ }$${\displaystyle \ A~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ A^{*}MA\ }$

半正定値行列の対角要素は実数かつ非負である。その結果、トレースは、さらに、^[13]すべての主要な部分行列（特に2行2列）が半正定値であるため、 ${\displaystyle \ m_{ii}\ }$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)\geq 0~.}$$${\displaystyle \ \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j\ }$$

そして、${\displaystyle \ n\geq 1\ ,}$ $${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

エルミート行列は、次のトレース不等式を満たす場合、正定値行列である：^[14]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1~.}$$

もう 1 つの重要な結果は、任意の半正定値行列と半正定値行列に対して、次の式が成り立つことです。 行列は半正定値行列であるため、非負の固有値を持ち、その合計、つまりトレースも非負になります。 ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)\geq 0~.}$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}})~.}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$

が必ずしも正半定値ではない場合、アダマール積は正半定値となる（この結果はしばしばシューア積定理と呼ばれる）。^[15]${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$${\displaystyle \ M\circ N\geq 0\ }$

2 つの半正定値行列のアダマール積に関しては、2 つの注目すべき不等式があります。 ${\displaystyle \ M=(m_{ij})\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ N\geq 0\ ,}$

• オッペンハイムの不等式: ^[16]${\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}~.}$
• ${\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N)~.}$^[17]

が必ずしも半正定値ではない場合、クロネッカー積${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle M\otimes N\geq 0~.}$

が必ずしも半正定値ではない場合、フロベニウスの内積（ランカスター・ティスメネツキー著『行列理論』218ページ）。 ${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle \ M:N\geq 0\ }$

半正定値対称行列の集合は凸です。つまり、と が半正定値であれば、 0から1までの任意の に対しても半正定値です。任意のベクトルに対して: ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ \alpha \ }$${\displaystyle \ \alpha M+\left(1-\alpha \right)N\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} \geq 0~.}$$

この特性により、半正定値計画問題がグローバルに最適な解に収束することが保証されます。

行列の正定値は、任意のベクトルとその像の間の角度が常に${\displaystyle A}$${\displaystyle \ \theta \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ A\mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ -\pi /2<\theta <+\pi /2\ :}$

$${\displaystyle \ \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\top }A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv \ }$$と間の角度${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ A\mathbf {x} ~.}$

1. が対称テプリッツ行列である場合、つまり、要素が絶対インデックス差の関数として与えられ、厳密な不等式が成り立つ場合、は厳密に正定値です。${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle \ m_{ij}=h(|i-j|)\ ,}$${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$${\displaystyle M}$
2. とエルミートとする。(それぞれ)ならば(それぞれ)。^[18]${\displaystyle M>0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MN+NM\geq 0}$${\displaystyle MN+NM>0}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle N>0}$
3. が実数の場合、 となるようなが存在し、 は単位行列です。${\displaystyle \ M>0\ }$${\displaystyle \ \delta >0\ }$${\displaystyle \ M>\delta I\ ,}$${\displaystyle \ I\ }$
4. がリーディングマイナーを表す場合、はLU 分解中のk番目のピボットです。${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle \ k\times k\ }$${\displaystyle \ \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)\ }$
5. が奇数のとき、 k次の主小行列項が負になり、が偶数のとき、正になる場合、その行列は負定値行列です。${\displaystyle \ k\ }$${\displaystyle \ k\ }$
6. が実正定値行列である場合、任意のベクトルに対して${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ m\ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\ \mathbf {v} \geq m\ \|\mathbf {v} \|_{2}^{\ \!2}~.}$
7. エルミート行列が半正定値行列となるのは、その主小行列がすべて非負である場合に限ります。ただし、0と−1 の要素を持つ対角行列で確認されるように、主要な主小行列のみを考慮するだけでは不十分です。

正の行列はブロックによって定義されることもあります。 ${\displaystyle \ 2n\times 2n\ }$$${\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\ }$$

ここで各ブロックは正値条件を適用すると、およびはエルミートであり、${\displaystyle \ n\times n~,}$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ C=B^{*}~.}$

私たちはすべての複雑なもの、特にその後 ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\top }~.}$$${\displaystyle \ {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0~.}$$

同様の議論は にも適用できるため、 と は両方とも正定値でなければならないという結論に達します。この議論を拡張すると、 の任意の主部分行列自体が正定値であることが示されます。 ${\displaystyle \ D\ ,}$${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ M\ }$

逆の結果は、たとえば、Schur 補集合を使用して、ブロックに対するより強い条件で証明できます。

実変数の一般二次形式は 常に次のように記述できます。ここではそれらの変数の列ベクトルであり、 は対称実行列です。したがって、行列が正定値であるということは、がゼロのときに一意の最小値（ゼロ）を持ち、その他の場合は厳密に正であることを意味します。${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$

より一般的には、実変数の2 度微分可能な実関数は、その勾配が 0 で、そのヘッセ行列(すべての 2 次導関数の行列) がその点で半正定値である場合に、引数で局所最小値を持ちます。負定値行列と半正定値行列についても同様のことが言えます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

統計学では、多変量確率分布の共分散行列は常に半正定値です。また、1 つの変数が他の変数の正確な線形関数でない限り、半正定値です。逆に、すべての半正定値行列は、何らかの多変量分布の共分散行列です。

正定値の定義は、任意の複素行列（例えば、実非対称）を、すべての非ゼロ複素ベクトルに対して が成り立つときに正定値であると指定することで一般化できる。ここで、 は複素数の実部を表す^[19]行列が正定値であるかどうかはエルミート部分によってのみ決まり、上記の狭い意味で評価される。同様に、と が実数の場合、すべての非ゼロ実ベクトルに対してが成り立つのは、対称部分が狭い意味で正定値である場合に限る。が の転置に鈍感であることはすぐに明らかである。${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\left\{\ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right\}>0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\{\ c\ \}\ }$ ${\displaystyle \ c~.}$${\textstyle \ {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\textstyle \ {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ }$${\textstyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}\ }$${\displaystyle \ M~.}$

したがって、正の固有値のみを持つ非対称実行列は、正定値である必要はありません。たとえば、行列 は正の固有値を持ちますが、正定値ではありません。特に、 の負の値は（ の対称部分の負の固有値に関連付けられた固有ベクトル）を選択することで得られます。${\displaystyle M=\left[{\begin{smallmatrix}4&9\\1&4\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle M}$

要約すると、実数と複素数の場合の違いは、複素ヒルベルト空間上の有界正値演算子は必ずエルミート、つまり自己随伴であるという点です。一般的な主張は、分極恒等式を使用して論じることができます。これは実数の場合ではもはや当てはまりません。

熱伝導に関するフーリエの法則は、温度勾配によって熱流束を表わし、異方性媒体では次のように表されます。ここで、 は対称熱伝導行列です。フーリエの法則に負の値が挿入されているのは、熱は常に熱いところから冷たいところに流れるという予想を反映するためです。言い換えると、温度勾配は常に冷たいところから熱いところを指しているので、熱流束はとの内積が負になるはずなので、 となります。フーリエの法則を代入すると、この予想は となり、伝導行列は正定値になるはずです。 ${\displaystyle \ \mathbf {q} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {g} =\nabla T\ }$${\displaystyle \ \mathbf {q} =-K\mathbf {g} \ ,}$${\displaystyle \ K\ }$${\displaystyle \ \mathbf {g} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {q} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {g} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {q} ^{\top }\mathbf {g} <0~.}$${\displaystyle \ \mathbf {g} ^{\top }K\mathbf {g} >0\ ,}$

• 共分散行列
• M行列
• 正定値関数
• 正定値カーネル
• シュア補数
• シルベスターの基準
• 数値範囲
• ウィリアムソン定理

• 「正定値形式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「正定値行列」。Wolfram MathWorld。 Wolfram Research。