特性多項式

線型代数学において、正方行列の特性多項式は、行列の相似性に関して不変であり、固有値を根として持つ多項式である。特性多項式は、係数として行列の行列式とトレースを持つ。有限次元ベクトル空間の自己準同型写像の特性多項式は、任意の基底上のその自己準同型の行列の特性多項式である（つまり、特性多項式は基底の選択に依存しない）。特性方程式は、行列式方程式とも呼ばれ、^{[1] [2] [3]}特性多項式をゼロに等しくすることによって得られる方程式である。

スペクトルグラフ理論では、グラフの特性多項式は、その隣接行列の特性多項式である。^[4]

線型代数学では、固有値と固有ベクトルが重要な役割を果たします。これは、線型変換が与えられた場合、固有ベクトルは変換によって方向が変化しないベクトルであり、対応する固有値はベクトルの大きさの変化の尺度であるためです。

より正確には、変換が正方行列で表される場合、固有ベクトルとそれに対応する固有値は方程式を満たす必要があります 。 または、同等に、 は単位行列 で あり、 です (ゼロベクトルは任意の に対してこの方程式を満たしますが、固有ベクトルとは見なされません)。 ${\displaystyle A,}$${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \lambda}$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$$${\displaystyle (\lambda IA)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \lambda ,}$

したがって、行列は特異行列でなければならず、その行列式は ゼロでなければなりません。 ${\displaystyle (\lambda IA)}$$${\displaystyle \det(\lambda IA)=0}$$

言い換えると、Aがn × n行列である場合、Aの固有値は、 xのn次単項式となる 根です。この多項式はAの特性多項式です。 $${\displaystyle \det(xI-A),}$$

行列を考える。の特性多項式はで表され、 は単位行列を表す^[5]で定義される多項式である。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle p_{A}(t),}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle n\times n}$

一部の著者は特性多項式を と定義しています。この多項式はここで定義されているものとは符号が異なるため、 の固有値を根として持つなどの特性には違いはありません。ただし、上記の定義では常にモニック多項式が得られますが、代わりの定義では が偶数の場合にのみモニックになります。 ${\displaystyle \det(A-tI).}$${\displaystyle (-1)^{n},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$

行列の特性多項式を計算するには、 次の行列式を計算する。 そして、次の特性多項式で あることが分かる。$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$${\displaystyle A.}$

別の例として、双曲角φの双曲関数を用いる。行列に対して、 その特性多項式は $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(te^{\varphi })(te^{-\varphi }).}$$

行列の固有多項式は単項式（その主係数は）であり、その次数は である。 固有多項式に関する最も重要な事実は、動機付けの段落ですでに述べたとおりである。 の固有値はの根とまったく同じである（これは の最小多項式にも当てはまるが、その次数は より小さい可能性がある）。 固有多項式のすべての係数は、行列の要素における多項式式である。特に、 の定数係数は の係数は1 であり、 の係数はtr(− A ) = −tr( A )である。ここでtr( A )は のトレースである（ここで与えられた符号は、前の節で与えられた正式な定義に対応している。別の定義では、これらはそれぞれ および(−1) ^{n – 1} tr( A )となる。^[6]） ${\displaystyle p_{A}(t)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p_{A}(t)}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t^{0}}$${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle t^{n-1}}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \det(A)}$

行列の特性多項式は次のように表される。 ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle A,}$$${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

外積代数の言語を使用すると、行列の特性多項式は次のように表現できます 。 ここで、は次元を持つの番目の外積のトレースです。このトレースは、サイズのすべての主小行列式の和として計算できます。再帰的なFaddeev–LeVerrier アルゴリズムは、これらの係数をより効率的に計算します。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}$$${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A,}$${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k.}$

係数のフィールドの特性が各トレースを単一の行列式として計算できる場合、行列のそれは、 ${\displaystyle 0,}$${\displaystyle k\times k}$$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

ケイリー・ハミルトン定理は、特性多項式においてを で置き換えると（結果の累乗を行列の累乗と解釈し、定数項を単位行列の積と解釈すると）、零行列が得られることを述べています。非公式に言えば、すべての行列はそれ自身の特性方程式を満たします。このステートメントは、の最小多項式がの特性多項式を割り切ると言うことと同じです。${\displaystyle t}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$

2 つの類似した行列には同じ特性多項式があります。ただし、その逆は一般には当てはまりません。つまり、同じ特性多項式を持つ 2 つの行列が必ずしも類似しているとは限りません。

行列とその転置は同じ特性多項式を持ちます。が三角行列に類似するのは、その特性多項式が 上の線形因子に完全に因数分解できる場合のみです(特性多項式の代わりに最小多項式を使用した場合も同様です)。 この場合、はジョルダン標準形の行列に類似します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

と が2つの正方行列である場合、との特性多項式は一致する。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle BA}$$${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

が特異でないとき、この結果はと が相似であるという事実から導かれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle BA}$$${\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}$$

と が両方とも特異である場合、望ましい恒等式は の多項式と行列の係数との間の等式です。したがって、この等式を証明するには、すべての係数の空間の空でない開部分集合(通常の位相、またはより一般的にはザリスキ位相) 上で検証されることを証明するだけで十分です。非特異行列はすべての行列の空間のそのような開部分集合を形成するため、これは結果を証明します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle t}$

より一般的には、がの行列でがの行列であれば、は行列であり、 は行列であり 、${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times m,}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle BA}$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$$

これを証明するには、必要に応じて と を交換することで仮定することができます。次に、をゼロの行で下を囲み、 をゼロの列で右を囲むことで、とが と に等しい、の行と列で囲まれた2 つの行列が得られます。結果は、 との特性多項式を比較することで、正方行列の場合から得られます。${\displaystyle n>m,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n-m}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n-m}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle n-m}$${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$${\displaystyle AB.}$

が固有ベクトルを持つ正方行列の固有値である場合、はの固有値である。なぜなら ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {v} ,}$${\displaystyle \lambda ^{k}}$${\displaystyle A^{k}}$$${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

重複度も一致することが示されており、これは の代わりに任意の多項式に一般化できる。^[7]${\displaystyle x^{k}}$

つまり、における の代数的重複度は、におけるの代数的重複度の和に等しく、 特に、 であり、ここで、例えば 多項式は、行列上で次のように単純に評価される。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}$

この定理は任意の体や可換環上の行列や多項式に適用されます。^[8] しかし、行列が複素数などの代数 的に閉じた体上にある場合を除き、線形因数に因数分解されるという仮定は常に正しいとは限りません。${\displaystyle p_{A}(t)}$

永年関数という用語は、現在では特性多項式と呼ばれるものに対して使用されています(一部の文献では、永年関数という用語がまだ使用されています)。この用語は、特性多項式がラグランジュの振動理論に従って惑星軌道の永年摂動(1 世紀の時間スケール、つまり年間運動に比べて遅い) を計算するために使用されたという事実に由来しています。

世俗方程式にはいくつかの意味がある場合があります。

• 線形代数学では特性方程式の代わりに使用されることがあります。
• 天文学では、短期間の不等式を考慮した後に残る惑星の運動の不等式の大きさを代数的または数値的に表現したものです。^[9]

• 電子のエネルギーとその波動関数に関連する分子軌道計算では、特性方程式の代わりに使用されます。

体 の要素を持つ行列の特性多項式の上記の定義は、が単なる可換環である場合に、変更なしで一般化されます。 Garibaldi (2004) は、体上の任意の有限次元 (結合的だが必ずしも可換ではない) 代数の要素の特性多項式を定義し、この一般性において特性多項式の標準的な性質を証明しています。 ${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

• 特性方程式（曖昧さ回避）
• テンソルの不変量
• コンパニオンマトリックス
• ファデエフ・ルヴェリエアルゴリズム
• ケーリー・ハミルトン定理
• サミュエルソン・バーコウィッツアルゴリズム

• TS Blyth & EF Robertson (1998) Basic Linear Algebra、p 149、Springer ISBN 3-540-76122-5。 
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990)線形代数第2版、p 246、Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8。 
• ガリバルディ、スキップ（2004）、「特性多項式と行列式はアドホックな構成ではない」、アメリカ数学月刊誌、111（9）：761–778、arXiv：math/0203276、doi：10.2307/4145188、JSTOR  4145188、MR  2104048
• Werner Greub (1974)線形代数第4版、pp 120–5、Springer、ISBN 0-387-90110-8。 
• Paul C. Shields (1980) 「初等線形代数第3版」p 274、Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1。 
• ギルバート・ストラング(1988) 「線形代数とその応用」第3版、p 246、Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3。