カテゴリーの同等性

抽象数学の一分野である圏論において、圏の同値性とは、2つの圏が「本質的に同じ」であることを示す関係のことである。数学の多くの分野において、圏の同値性の例は数多く存在する。同値性を確立するには、関係する数学的構造間の強い類似性を示す必要がある。場合によっては、これらの構造は表面的あるいは直感的なレベルでは無関係に見えるかもしれないが、同値性の概念は非常に強力である。なぜなら、異なる種類の数学的構造間で定理を「翻訳」する機会が生まれ、翻訳後も定理の本質的な意味が保持されることが保証されるからである。

あるカテゴリーが別のカテゴリーの反対（または双対）と等価である場合、カテゴリーの双対性について語り、2つのカテゴリーは双対的に等価であると言う。

圏の同値性とは、関係する圏間の関手から成り、その関手には「逆」関手が存在する必要がある。しかし、代数的な設定における同型性の場合とは異なり、関手とその「逆」の合成は必ずしも恒等写像ではない。むしろ、各対象がこの合成による像と自然に同型であれば十分である。したがって、関手は「同型を除いて逆」であると表現できる。実際、厳密な形の逆関手を必要とする圏の同型性の概念も存在するが、これは同値性ほど実用的ではない。

形式的には、2つの圏CとDが与えられたとき、圏の同値関係は、関手F  : C → D、関手G  : D → C、および2つの自然同型ε: FG → I _Dとη  : I _C → GFから構成される。ここで、 FG : D → DとGF : C → CはそれぞれFとGの合成を表し、I _C : C → CとI _D : D → DはCとD上の恒等関手を表し、各対象と射をそれ自身に割り当てる。FとGが反変関手である場合は、代わりに圏の双対性について述べる。

上記すべてのデータを指定する必要がない場合も多い。例えば、カテゴリーCとD の間に同値関係（双対関係）が存在する場合、それらは同値（双対同値）であると言う。さらに、逆関手Gと上記のような自然同型が存在する場合、 Fはカテゴリーの同値であると言う。ただし、 Fの知識だけでは、Gと自然同型を再構成するには通常不十分であることに注意が必要である。多くの選択肢が存在する可能性がある（以下の例を参照）。

関手F  : C → D が圏の同値性をもたらすのは、それが同時に以下の条件を満たす場合に限る。

• 完全、つまりCの任意の2 つのオブジェクトc ₁とc _{2に対して、} Fによって誘導される写像 Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc _{2 ) は}全射である。
• 忠実、すなわち、Cの任意の 2 つのオブジェクトc ₁とc _{2に対して、} Fによって誘導される写像 Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc _{2 ) は}単射である。
• 本質的に全射（稠密）である、すなわち、 Dの各オブジェクトdは、 Cのcに対して、Fcの形のオブジェクトと同型である。^{[ 1 ]}

これは非常に有用でよく用いられる基準です。なぜなら、「逆」GとFG、GFと恒等関手間の自然な同型写像を明示的に構成する必要がないからです。一方、上記の性質は圏論的同値の存在を保証しますが（基礎となる集合論の選択公理の十分強いバージョンが与えられている場合。通常の関手の代わりにアナ関手を使用することで、ACを使用せずにこの主張を成立させることができます。通常の圏以外の圏では、厳密圏にはACが依然として必要であり、前圏にACが仮定されていてもこの主張は失敗し、飽和圏の証明にはACは必要ありません。^{[ 2 ]} ）、欠落しているデータは完全には指定されておらず、多くの場合、多くの選択肢があります。可能な限り、欠落している構成を明示的に指定するのが良いでしょう。このような状況のため、これらの性質を持つ関手は、圏の弱い同値と呼ばれることがあります。（残念ながら、これはホモトピー理論の用語と矛盾します。）

随伴関手の概念とも密接な関係がある。${\displaystyle F\dashv G}$では、${\displaystyle F:C\rightarrow D}$は、${\displaystyle G:D\rightarrow C}$、あるいは同様に、GはFの右随伴である。このとき、CとDは (上記で定義したように、 FGからI _DおよびI _CからGFへの自然な同型が存在する) ならば、かつその場合に限り、同値である。${\displaystyle F\dashv G}$そしてFとGはどちらも完全で忠実である。

随伴関手の場合${\displaystyle F\dashv G}$完全かつ忠実な関手でない場合、それらの随伴関係は圏の「より弱い同値性」を表していると見なすことができます。随伴の自然な変換が与えられていると仮定すると、これらの定式化はすべて必要なデータの明示的な構成を可能にし、選択原理は必要ありません。ここで証明しなければならない重要な性質は、随伴の余単位が同型であるのは、右随伴が完全かつ忠実な関手である場合のみであるということです。

• 以下のカテゴリーを検討してください${\displaystyle C}$単一のオブジェクトを持つ${\displaystyle c}$そして単一の射$1c$、そしてそのカテゴリー${\displaystyle D}$2つのオブジェクトと共に$d_1$、$d2$そして4つの射：2つの恒等射${\displaystyle 1_{d_{1}}}$、${\displaystyle 1_{d_{2}}}$そして2つの同型写像$\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$そして$\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$カテゴリー${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$同等です。例えば、${\displaystyle F}$地図${\displaystyle c}$に$d_1$そして${\displaystyle G}$両方のオブジェクトをマップする${\displaystyle D}$に${\displaystyle c}$そしてすべての射は$1c$。
• 対照的に、カテゴリー${\displaystyle C}$単一のオブジェクトと単一の射を持つものは、その圏と等価ではない${\displaystyle E}$2 つのオブジェクトと 2 つの恒等射のみを持つ。${\displaystyle E}$ それらは同型ではない。なぜなら、それらの間に射が存在しないからである。したがって、からの任意のファンクターは${\displaystyle C}$に${\displaystyle E}$本質的に全射ではない。
• あるカテゴリーについて考えてみましょう${\displaystyle C}$1つのオブジェクトと共に${\displaystyle c}$、そして2つの射${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$。 させて$1c$上の恒等射とする${\displaystyle c}$そして設定する${\displaystyle f\circ f=1}$。 もちろん、${\displaystyle C}$はそれ自身と等価であり、それは、$1c$関手間の必要な自然同型の代わりに$\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$そしてそれ自体。しかし、${\displaystyle f}$自然な同型性が得られる$\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$それ自体に対して。したがって、恒等関手が圏の同値関係を形成するという情報が与えられれば、この例では、各方向について2つの自然な同型写像から選択することができます。
• 集合と部分関数の圏は、点付き集合と点保存写像の圏と同型ではないが、同等である。 ^{[ 3 ]}
• 以下のカテゴリーを検討してください${\displaystyle C}$有限次元実ベクトル空間のカテゴリ、${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$すべての実数行列（後者のカテゴリについては加法カテゴリに関する記事で説明されている）について。${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$同等である: ファンクター${\displaystyle G\colon D\to C}$オブジェクトをマッピングする${\displaystyle A_{n}}$の${\displaystyle D}$ベクトル空間へ$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして、${\displaystyle D}$対応する線形写像は完全で忠実であり、本質的に全射である。
• 代数幾何学の中心的なテーマの一つは、アフィンスキームの圏と可換環の圏の双対性である。関手${\displaystyle G}$すべての可換環に、環の素イデアルによって定義されるスキームであるスペクトルを関連付けます。その随伴環${\displaystyle F}$すべてのアフィンスキームに、そのグローバルセクションのリングを関連付けます。
• 関数解析において、恒等写像を持つ可換C*-環の圏は、コンパクトハウスドルフ空間の圏と反変的に同値である。この双対性の下で、すべてのコンパクトハウスドルフ空間は${\displaystyle X}$連続複素数値関数の代数に関連している${\displaystyle X}$そして、すべての可換C*-環は、その最大イデアルの空間と関連付けられます。これがゲルファント表現です。
• 格子理論には、特定の格子クラスと位相空間クラスを結びつける表現定理に基づく双対性が数多く存在する。おそらくこの種の定理の中で最もよく知られているのは、ストーンのブール代数に関する表現定理であり、これはストーン双対性の一般的な枠組みにおける特殊な例である。各ブール代数は${\displaystyle B}$は、超フィルターの集合上の特定のトポロジーにマッピングされます。${\displaystyle B}$逆に、任意の位相において、閉集合と開集合からなる部分集合はブール代数を生成する。これにより、ブール代数（準同型写像を含む）の圏とストーン空間（連続写像を含む）の圏との間に双対性が得られる。ストーン双対性のもう一つの例は、有限半順序と有限分配束の双対性を述べるバーコフの表現定理である。
• 無意味位相幾何学においては、空間的位置のカテゴリーは、無意味な空間のカテゴリーの双対と等価であることが知られている。
• 2 つのリングRとSの場合、積カテゴリR - Mod × S - Mod は( R × S )- Modと同等です。
• どのカテゴリーも、その骨格と同等である。

一般的に、カテゴリーの同値性は、すべての「カテゴリー的」概念と性質を保持します。F : C → D が同値性である場合、 以下の記述はすべて真です。

• Cのオブジェクトcが初期オブジェクト(または終端オブジェクト、またはゼロオブジェクト)であるのは、 FcがDの初期オブジェクト(または終端オブジェクト、またはゼロオブジェクト)である場合に限る。
• Cにおける射 αが単射(または全射、または同型)であるのは、 FαがDにおける単射 (または全射、または同型) である場合に限る。
• ファンクターH  : I → C の極限(または余極限) lは、ファンクターFH : I → D の極限(または余極限) Fl の極限 (または余極限) を持つ場合に限ります。これは、等化子、積、余積などに適用できます。これを核と余核に適用すると、同値Fは完全ファンクターであることがわかります。 
• Cがデカルト閉圏（またはトポス）であるのは、 Dがデカルト閉圏（またはトポス）である場合に限る。

双対性は「あらゆる概念を逆転させる」：初期対象を終対象に、単射を全射に、核を余核に、極限を余極限に、などと変える。

F  : C → Dが圏の同値であり、G ₁とG _2がFの 2 つの逆写像である場合、G ₁とG ₂は自然に同型である。

F  : C → D が圏の同値であり、Cが前加法圏（または加法圏、またはアーベル圏）である場合、 F が加法関手となるように、D を前加法圏（または加法圏、またはアーベル圏）に変換することができる。一方、加法圏間の同値は必ず加法である。（ただし、後者の記述は前加法圏間の同値には当てはまらないことに注意。）

圏Cの自己同値とは、同値F : C → Cのことである。自然に同型である 2 つの自己同値を同一とみなすと、Cの自己同値は合成に関して群を形成する。この群は、 Cの本質的な「対称性」を捉えている。（ただし、C が小さな圏でない場合、 Cの自己同値は集合ではなく、真クラスを形成する可能性がある。） 

• 数学的構造の同等の定義