行列式のライプニッツ公式

代数学において、ゴットフリート・ライプニッツにちなんで名付けられたライプニッツの公式は、正方行列の行列式を行列要素の順列で表す。 が行列で、が の- 行- 列目の要素である場合、公式は次のようになる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)i}}$

ここで、 は、置換群における置換の符号関数であり、偶数置換 と奇数置換に対してそれぞれと を返します。 ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

この式に使われるもう一つの一般的な表記は、レヴィ・チヴィタ記号で、アインシュタインの和の表記法を使っており、次のようになる。

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

これは物理学者にとってはより馴染み深いものかもしれません。

定義からライプニッツの公式を直接評価するには、 一般に、操作、つまり、階乗に漸近的に比例する操作の数が必要になります。これは、が順序の順列の数であるためです。 これは、 が比較的小さい場合でも非現実的に困難です。 の代わりに、 LU 分解を形成することによって(通常はガウスの消去法または同様の方法によって) 操作で行列式を評価できます。その場合、三角行列 および の行列式は、単にそれらの対角要素の積です。 （ただし、数値線形代数の実際のアプリケーションでは、行列式の明示的な計算が必要になることはめったにありません。） たとえば、Trefethen & Bau (1997) を参照してください。問題を行列の乗算に簡略化することで、 よりも少ない操作で行列式を評価することもできますが、このようなアルゴリズムのほとんどは実用的ではありません。 ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n^{3})}$ ${\displaystyle A=LU}$${\displaystyle \det A=\det L\cdot \det U}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle O(n^{3})}$

定理。および に関して交代多重線型関数が 1 つだけ存在し、 となります。 ${\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F(I)=1}$

証拠。

一意性:をそのような関数とし、を行列とします。の- 番目の列、すなわちを と呼び、${\displaystyle F}$${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A^{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

また、単位行列の 番目の列ベクトル を と表します。${\displaystyle E^{k}}$${\displaystyle k}$

ここで、 のそれぞれをの項で書きます。つまり、 ${\displaystyle A^{j}}$${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$。

多重線型である ため、${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

交替から、繰り返されるインデックスを持つ項はすべて 0 になることがわかります。したがって、合計は繰り返されないインデックスを持つタプル、つまり順列に制限できます。

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

F は交代関数なので、恒等関数になるまで列を入れ替えることができます。符号関数は、必要な入れ替え回数を数え、その結果生じる符号の変化を考慮するように定義されています。最終的に次の式が得られます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

は と等しくなる必要があります。 ${\displaystyle F(I)}$${\displaystyle 1}$

したがって、ライプニッツの公式によって定義される関数以外の関数は、 を持つ多重線型交代関数になることはできません。 ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$

存在:ここで、ライプニッツの公式によって定義された関数 F には、次の 3 つの特性があることを示します。

マルチリニア:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

交互：

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

任意の に対して、と のインデックスが入れ替わったと等しいタプルを とします。 ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle j_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\underbrace {\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)} _{=0{\text{, if }}A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}\\\\\end{aligned}}}$

したがって、ならば。 ${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$

ついに、： ${\displaystyle F(I)=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}$

したがって、 を持つ唯一の交代多重線型関数は、ライプニッツの公式によって定義される関数に制限され、実際にこの関数もこれら 3 つの特性を持ちます。したがって、行列式は、これら 3 つの特性を持つ唯一の関数として定義できます。 ${\displaystyle F(I)=1}$${\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

• マトリックス
• ラプラス展開
• クラマーの法則

• 「行列式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• トレフェセン、ロイド N.デヴィッド・バウ（1997年6月1日）。数値線形代数。サイアム。ISBN 978-0898713619。