行列のカテゴリ

数学において、行列の圏（そうけい）は、対象が自然数であり、射が行列であり、その合成が行列の乗算によって与えられる圏である。^{[1] [2]}${\displaystyle \mathbf {Mat} }$

を実行列、つまり行と列を持つ行列とします。行列 が与えられた場合、の場合にのみ行列乗算またはを形成することができ、その場合、結果の行列の次元は になります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BA}$${\displaystyle B\circ A}$${\displaystyle q=n}$${\displaystyle p\times m}$

言い換えると、の行数が の列数と一致する場合のみ、行列とを掛け合わせることができます。この事実を追跡するには、行列を 型、同様に行列を 型と宣言します。このように、2 つの矢印のソースとターゲットが一致する場合、と を 型の矢印に合成できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle m\to n}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle q\to p}$${\displaystyle q=n}$${\displaystyle m\to n\to p}$${\displaystyle m\to p}$

これはカテゴリという数学的概念によって正確に表現されます。カテゴリでは、矢印または射は行列であり、定義域と余定義域が互換性がある場合にのみ合成できます (関数の場合と同様)。詳細には、カテゴリは次のように構築されます。 ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

• 自然数を対象にしています。

• 数とが与えられた場合、射は行列、つまり行と列を持つ行列です。${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\to n}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

• 各オブジェクトにおける恒等射は恒等行列によって与えられます。${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n}$

• 射との合成(つまり行列との合成) は行列の乗算によって与えられます。${\displaystyle A:m\to n}$${\displaystyle B:n\to p}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle p\times n}$

より一般的には、複素数のような固定体上の行列のカテゴリを定義することができます。 ${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

• 行列のカテゴリは、有限次元実ベクトル空間および線型写像のカテゴリと同値である。これは、数をベクトル空間に、行列を対応する線型写像に写像する関数によって証明される。^{[3] [2]}この事実の可能な解釈は、数学理論として、抽象的な有限次元ベクトル空間と具体的な行列は同じ表現力を持っているということである。${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

• より一般的には、行列のカテゴリは、体と線型写像上の有限次元ベクトル空間のカテゴリと同値である。[ ^3]${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {F} }}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

• 行列に対する線形行演算は、同じ演算を単位行列に適用し、その結果得られた行列にを掛けることによって同等に得られる。特に、基本的な行演算は基本的な行列に対応する。この事実は、行列のカテゴリに対する米田の補題の例として見ることができる。 ^{[4] [5]}${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

• 転置演算により、行列のカテゴリはダガーカテゴリになります。複素数の場合の共役転置についても同じことが言えます。

• 任意の固定された に対して、の射は行列であり、の線型自己準同型のモノイド と標準同型なモノイドを形成します。特に、可逆行列はグループ を形成します。ジェネリック体 についても同じことが言えます。${\displaystyle n}$${\displaystyle n\to n}$${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

• 確率行列は、各列の合計が1となるような非負の要素を持つ実数行列である。確率行列には恒等行列が含まれ、合成に関して閉じているため、のサブカテゴリを形成します。^[6]${\displaystyle \mathbf {Mat} _{\mathbb {R} }}$

• 行列のカテゴリにおける米田の補題、チュートリアル ビデオ。