直交行列

線形代数において、直交行列または正規直交行列は、列と行が正規直交ベクトルである実数正方行列です。

これを表現する 1 つの方法は、 Q ^TがQの転置行列、I が単位行列である ことです。 $${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,}$$

これにより、同等の特性が得られます。行列Qは、その転置がその逆行列に等しい場合に直交します。 ここで、Q ⁻¹はQの逆行列です。 $${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},}$$

直交行列Qは必然的に逆行列 ( 逆行列Q ⁻¹ = Q ^T )かつユニタリ( Q ⁻¹ = Q ^∗ ) であり、ここでQ ^{∗ は}Qのエルミート随伴行列(共役転置)であるため、実数に対して正規( Q ^∗ Q = QQ ^∗ )です。任意の直交行列の行列式は +1 または -1 です。線形変換として、直交行列はベクトルの内積を保存するため、回転、反射、回転反射などのユークリッド空間の等長変換として機能します。言い換えると、ユニタリ変換です。

n × n直交行列の集合は、乗算によって、直交群として知られる群 O( n )を形成します。行列式 +1 を持つ直交行列で構成される部分群SO( n ) は特殊直交群と呼ばれ、その各要素は特殊直交行列です。線形変換として、すべての特殊直交行列は回転として機能します。

直交行列はユニタリ行列の実数特殊化であり、したがって常に正規行列である。ここでは実数行列のみを考察するが、定義は任意の体からの要素を持つ行列に使用できる。しかし、直交行列はドット積から自然に生じ、複素数の行列の場合は代わりにユニタリ要件につながる。直交行列はドット積を保存するため、^[1] n次元実ユークリッド空間のベクトルuとvについては、 Qは直交行列 である。内積の関係を確認するには、 n次元実ユークリッド空間のベクトルvを考える。正規直交基底に関して記述すると、vの長さの 2 乗はv ^T vである。行列形式Q vの線形変換がベクトルの長さを保存する場合、 $${\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot {\mathbf {v} }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right) }$$$${\displaystyle {\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{\mathrm {T} }(Q{\mathbf {v} })={\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }Q^{\mathrm {T} }Q{\mathbf {v} }.}$$

したがって、有限次元の線形等長変換 (回転、反射、およびそれらの組み合わせ) は直交行列を生成します。逆もまた真です。直交行列は直交変換を意味します。ただし、線形代数には、有限次元でも同一次元でもない空間間の直交変換が含まれており、これらに相当する直交行列はありません。

直交行列は、理論的にも実用的にも、さまざまな理由で重要です。n × n の直交行列は、行列の乗算によって群を形成します。この直交群はO( n )で表され、その部分群とともに数学や物理科学で広く使用されています。たとえば、分子の点群はO(3) の部分群です。直交行列の浮動小数点バージョンには有利な特性があるため、 QR分解など、数値線形代数の多くのアルゴリズムの鍵となります。別の例として、適切な正規化を行うと、離散コサイン変換( MP3圧縮で使用) は直交行列で表されます。

以下に、小さな直交行列の例と、その解釈の例をいくつか示します。

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$    （アイデンティティ変換）
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$    （原点を中心とした回転）
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}}$（ x軸    を横切る反射）
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$    （座標軸の順列）

最も単純な直交行列は1×1行列[1]と[−1]であり、これらは原点を通る実数の直線の恒等行列と反射として解釈できます。

2×2行列は 、直交性が要求する3つの方程式を満たす 形を持つ 。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}}$$

最初の式を考慮すると、一般性を失うことなく、p = cos θ、q = sin θとすると、 t = − q、u = pまたはt = q、u = − pのいずれかになります。最初のケースはθによる回転( θ = 0は恒等式) として解釈でき、2 番目のケースは角度⁠での直線の反射として解釈できます。θ/2⁠ .

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (rotation), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (reflection)}}}$$

θ = 90°の反射行列の特殊なケースでは、y = xで与えられる 45° の線に関する反射が生成され、xとy が交換されます。これは、各列と各行に 1 つずつ 1 が含まれる置換行列です(それ以外は 0)。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$

恒等行列も順列行列です。

反射はそれ自身の逆行列であり、反射行列は対称行列（その転置行列に等しい）であり直交行列でもあることを意味します。 2 つの回転行列の積は回転行列であり、2 つの反射行列の積も回転行列です。

次元に関係なく、直交行列を純粋に回転行列とそうでない行列に分類することは常に可能ですが、3×3以上の行列では、非回転行列は反射行列よりも複雑になる可能性があります。たとえば、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$$

それぞれ原点を通る反転とz軸周りの回転反転を表します。

回転は高次元になるとより複雑になります。回転はもはや 1 つの角度で完全に特徴づけることができず、複数の平面部分空間に影響を与える可能性があります。3 × 3回転行列を軸と角度で記述するのは一般的ですが、これは 3 次元でのみ機能します。3 次元を超えると、それぞれが回転平面に関連付けられた 2 つ以上の角度が必要になります。

ただし、一般的に適用される順列、反射、回転の基本的な構成要素はあります。

最も基本的な順列は転置であり、単位行列から 2 つの行を交換することによって得られます。任意のn × n順列行列は、 n − 1 回以下の転置の積として構築できます。

ハウスホルダー反射は非ヌルベクトルvから次のように 構成される。$${\displaystyle Q=I-2{\frac {{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }}{{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}}.}$$

ここで、分子は対称行列で、分母は数値、つまりvの大きさの二乗です。これは、 vに垂直な超平面での反射です（ vに平行なベクトル成分はすべて否定されます）。vが単位ベクトルの場合、Q = I − 2 vv ^Tで十分です。ハウスホルダー反射は通常、列の下部を同時にゼロにするために使用されます。サイズがn × nの任意の直交行列は、最大n回のこのような反射の積として構築できます。

ギブンズ回転は、 2つの座標軸で張られた2次元（平面）部分空間に作用し、選択された角度で回転します。これは通常、単一の下対角要素をゼロにするために使用されます。サイズn × nの回転行列は、最大で⁠ｎ（ｎ −１）/2⁠このような回転。3 × 3行列の場合、このような回転は 3 つで十分です。シーケンスを固定することで、すべての3 × 3回転行列を (一意ではありませんが) 使用される 3 つの角度 (オイラー角と呼ばれることが多い) で記述できます。

ヤコビ回転はギブンズ回転と同じ形式ですが、 2 × 2対称サブ行列の両方の非対角要素をゼロにするために使用されます。

実正方行列が直交するのは、その列が通常のユークリッド内積を持つユークリッド空間R ⁿの正規直交基底を形成する場合であり、これはその行がR ⁿの正規直交基底を形成する場合のみです。直交（正規直交ではない）列を持つ行列を直交行列と呼ぶのは魅力的かもしれませんが、そのような行列には特別な意味はなく、特別な名前もありません。それらは、 M ^T M = D（ Dは対角行列）を満たすだけです。

任意の直交行列の行列式は +1 または -1 です。これは、次のような行列式に関する基本的な事実から導かれます。 $${\displaystyle 1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr )}^{2}.}$$

逆は真ではありません。次の反例に示すように、行列式が ±1 であっても、直交列であっても直交性が保証されるわけではありません。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$$

順列行列では、行列式はシグネチャと一致し、順列の偶奇性が偶数か奇数かに応じて +1 または -1 になります。これは、行列式が行の交代関数であるためです。

行列式の制約よりも強いのは、直交行列は常に複素数に対して対角化して、すべての固有値の完全なセットを示すことができ、それらはすべて（複素）係数 1 を持つ必要があるという事実です。

すべての直交行列の逆行列は、2 つの直交行列の行列積と同様に、やはり直交行列です。実際、すべてのn × n直交行列の集合は、群のすべての公理を満たします。これは、次元 のコンパクトな リー群です。ｎ（ｎ −１）/2⁠、直交群と呼ばれ、 O( n )と表記されます。

行列式が +1 である直交行列は、インデックス2のO( n )のパス連結 正規部分群、つまり回転の特殊直交群SO( n )を形成します。商群O( n )/SO( n )はO(1)と同型で、射影写像は行列式に応じて [+1] または [−1] を選択します。行列式が −1 である直交行列には単位元が含まれないため、部分群ではなく剰余類 のみを形成します。また、(個別に)連結されています。したがって、各直交群は 2 つの部分に分かれます。また、射影写像はを分割するため、O( n ) はSO( n )とO(1)の半直積です。実際的には、 2 × 2 行列で見たように、回転行列を取り、場合によってはその列の 1 つを反転することで、任意の直交行列を生成できるということになります。nが奇数の場合、半直積は実際には直積であり、回転行列を取り、場合によってはそのすべての列を反転することで任意の直交行列を生成できます。これは、列を反転すると行列式も反転するという行列式の特性から導かれ、したがって、奇数個（偶数ではない）の列を反転すると行列式も反転します。

ここで、右下の要素が 1 である( n + 1) × ( n + 1)直交行列を考えます。最後の列 (および最後の行) の残りはゼロでなければならず、このような 2 つの行列の積は同じ形式になります。行列の残りの部分はn × n直交行列です。したがって、O( n ) はO( n + 1) (およびそれより高位のグループすべて) のサブグループです。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$$

ハウスホルダー行列の形での基本反射は任意の直交行列をこの制約形式に簡約できるので、一連のそのような反射は任意の直交行列を恒等行列にすることができます。したがって、直交群は反射群です。最後の列は任意の単位ベクトルに固定でき、各選択はO( n )の異なるコピーをO( n + 1)に与えます。このように、O( n + 1)はファイバーO( n )を持つ単位球面S ⁿ上のバンドルです。

同様に、SO( n ) はSO( n + 1)のサブグループであり、類似の手順を使用してギブンズ平面の回転によって任意の特殊直交行列を生成できます。バンドル構造は維持されます: SO( n ) ↪ SO( n + 1) → S ⁿ。1 回の回転で最後の列の最初の行がゼロになる可能性があり、一連のn − 1回転により、 n × n回転行列の最後の列の最後の行を除くすべてがゼロになります。平面は固定されているため、各回転には角度という 1 つの自由度しかありません。したがって、帰納的に、SO( n )には自由度があり 、O( n )にも自由度があります。 $${\displaystyle (n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}}$$

置換行列はさらに単純です。置換行列はリー群ではなく、有限群、つまりn次 対称群 S _nを形成します。同様の議論により、S _{n は}S _{n + 1}の部分群です。偶数置換は、行列式 +1 の置換行列の部分群、つまり⁠次を生成します。ん！/2⁠ 交代グループ。

より広く言えば、任意の直交行列の効果は、直交する2次元部分空間に対する独立した作用に分離します。つまり、Q が特殊直交行列である場合、常に直交行列P 、つまり基底の（回転）変更が見つかり、Q がブロック対角形式になります。

$${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n{\text{ odd}}).}$$

ここで、行列R ₁ , ..., R _{k は}2 × 2回転行列であり、残りの要素はゼロです。例外的に、回転ブロックは対角行列± Iになることがあります。したがって、必要に応じて1列を反転し、2 × 2反射が +1 と -1 に対角化することに注意すると、任意の直交行列は次の形式になります。 $${\displaystyle P^{\mathrm {T} }QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},}$$

行列R ₁、...、R _{k は}、複素平面の単位円上にある固有値の共役ペアを与えるので、この分解により、すべての固有値の絶対値が1 であることが確認されます。nが奇数の場合、少なくとも 1 つの実固有値 +1 または -1 が存在します。3 × 3回転の場合、+1 に関連付けられた固有ベクトルが回転軸になります。

Qの要素がtの微分可能な関数であり、t = 0のときQ = Iとなると仮定する。直交条件を微分すると次の式 が得られる。 $${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I}$$$${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0}$$

t = 0 ( Q = I ) での評価は次を意味する。$${\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.}$$

リー群の用語では、これは直交行列群のリー代数が歪対称行列で構成されていることを意味します。逆に言えば、歪対称行列の行列指数は直交行列（実際には特殊直交行列）です。

例えば、物理学で角速度と呼ばれる3次元物体は微分回転であり、 SO(3)に接するリー代数のベクトルです。ω = ( xθ , yθ , zθ )、v = ( x , y , z )が単位ベクトルである場合、 ωの正しい歪対称行列形式は次のようになります。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.}$$

この指数は、軸vの周りの角度θの回転に対する直交行列であり、c = cos ⁠θ/2⁠、 s = sin ⁠θ/2⁠、 $${\displaystyle \exp(\Omega )={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}&2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2ysc\\2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}s^{2}&2yzs^{2}-2xsc\\2xzs^{2}-2ysc&2yzs^{2}+2xsc&1-2s^{2}+2z^{2}s^{2}\end{bmatrix}}.}$$

数値解析では、数値線型代数の直交行列の多くの特性を利用し、それらは自然に生じます。たとえば、空間の正規直交基底や基底の直交変換を計算することが望ましい場合が多く、どちらも直交行列の形をとります。行列式が ±1 で、すべての固有値の大きさが 1 であることは、数値安定性にとって大きな利点です。1 つの意味は、条件数が 1 (最小値) であるため、直交行列を乗算しても誤差が拡大されないことです。このため、多くのアルゴリズムでは、ハウスホルダー反射やギブンズ回転などの直交行列を使用しています。直交行列が逆行列であるだけでなく、インデックスを交換することでその逆行列が基本的に無料で利用できることも役立ちます。

順列は、部分ピボットによるガウス消去法（順列がピボットを行う）など、多くのアルゴリズムの成功に不可欠です。ただし、順列が行列として明示的に現れることはめったにありません。順列の特殊な形式により、 n 個のインデックスのリストなど、より効率的な表現が可能になります。

同様に、ハウスホルダー行列とギブンズ行列を使用するアルゴリズムでは、通常、乗算と格納に特殊な方法が使用されます。たとえば、ギブンズ回転は、乗算する行列の 2 行のみに影響し、n ³オーダーの完全な乗算を、はるかに効率的なnオーダーに変更します。これらの反射と回転の使用により行列にゼロが導入されると、空いたスペースは、変換を再現するのに十分なデータを格納するのに十分であり、変換を堅牢に実行できます。(Stewart (1976) に従って、回転角度は格納し ません。これは、コストが高く、動作も悪いためです。)

多くの重要な行列分解(Golub & Van Loan 1996) には直交行列が関係しており、特に次のものが挙げられます。

QR分解

M = QR、 Qは直交、 Rは上三角

特異値分解

M = U Σ V ^T、 UとVは直交、 Σは対角行列

対称行列の固有分解（スペクトル定理による分解）

S = Q Λ Q ^T、 S は対称、 Q は直交、 Λ は対角

極性分解

M = QS、 Qは直交、 Sは対称半正定値

実験誤差を補正するために物理現象を繰り返し測定するときに発生するような、過剰決定線形方程式系を考えてみましょう。A x = b と書きます。ここでAはm × n 、 m > nです。QR分解により、A は上三角行列 R に縮小されます。たとえば、 A が 5 × 3 の場合、Rは次の形式になります。 $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot &\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

線形最小二乗問題は、 ‖ A x − b ‖を最小化するx を見つけることであり、これはb をAの列によって張られる部分空間に射影することと同等です。 Aの列(したがってR ) が独立していると仮定すると、射影解はA ^T A x = A ^T bから見つかります。ここで、A ^T Aは平方 ( n × n ) で可逆であり、R ^T Rにも等しくなります。しかし、 Rの下側のゼロ行は積には不要であり、したがって、ガウス消去法(コレスキー分解) の場合と同様に、すでに下三角上三角因数分解形式になっています。ここで、直交性はA ^T A = ( R ^T Q ^T ) QR をR ^T Rに簡約するためだけでなく、数値問題を拡大せずに解くためにも 重要です。

決定性が不十分な線形システム、または逆行列でない場合には、特異値分解 (SVD) が同様に役立ちます。A をU Σ V ^Tとして因数分解すると、満足のいく解決策として、ムーア・ペンローズ擬似逆行列V Σ ⁺ U ^Tが使用されます。ここで、Σ ^{+ は、ゼロ以外の対角要素}をその逆数で置き換えるだけです。x をV Σ ⁺ U ^T bに設定します。

正方可逆行列の場合も興味深いものです。たとえば、A が多数のねじれと回転の合成として計算された3 × 3回転行列であるとします。浮動小数点は実数の数学的理想と一致しないため、 A は徐々に真の直交性を失っています。グラム・シュミット過程は列を直交化できますが、最も信頼性が高くなく、最も効率的でもなく、最も不変な方法でもありません。極分解は行列をペアに因数分解し、そのうちの 1 つは与えられた行列に最も近い唯一の直交行列、または与えられた行列が特異な場合は最も近いものの 1 つになります。 (近さは、スペクトルノルムやフロベニウスノルムなど、基底の直交変換の下での任意の行列ノルム不変量によって測定できます。) 近似直交行列の場合、直交因子への迅速な収束は、Higham (1986) (1990) による「ニュートン法」アプローチによって達成でき、逆転置を使用して行列を繰り返し平均化します。Dubrulle (1999) は、便利な収束テストを備えた加速法を公開しました。

たとえば、単純な平均化アルゴリズムでは 7 ステップかかり 、加速によって 2 ステップに削減される非直交行列 ( γ = 0.353553、0.565685) を考えます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{bmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}}$$

グラム・シュミット法では、フロベニウス距離が最小値の 8.12404 ではなく 8.28659 となり、劣った解が得られます。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.393919&-0.919145\\0.919145&0.393919\end{bmatrix}}}$$

モンテカルロ法や高次元データ空間の探索などの数値アプリケーションでは、一様分布ランダム直交行列の生成が必要です。この文脈では、「一様」はハール測度で定義され、これは基本的に、任意の自由に選択された直交行列を乗じても分布が変化しないことを必要とします。独立した一様分布ランダム要素を持つ行列を直交化しても一様分布直交行列にはならない^[要出典]が、Rの対角線に正の要素のみが含まれる限り、独立した正規分布ランダム要素のQR分解では一様分布直交行列になります (Mezzadri 2006)。Stewart (1980) はこれを、後に Diaconis と Shahshahani (1987) が「サブグループ アルゴリズム」として一般化したより効率的なアイデアに置き換えました (この形式では、順列と回転に対して同様に機能します)。( n + 1) × ( n + 1)直交行列を生成するには、 n × nの 1 とn + 1次元の一様分布単位ベクトルを取ります。ベクトルからハウスホルダー反射を構築し、それを小さい方の行列（右下隅に 1 がある大きいサイズの行列に埋め込まれている）に適用します。

与えられた行列Mに最も近い直交行列Qを見つける問題は、直交プロクラステス問題に関連しています。一意の解を得るにはいくつかの方法がありますが、最も単純な方法は、Mの特異値分解を取り、特異値を1に置き換えることです。別の方法では、Rを明示的に表現しますが、行列の平方根を使用する必要があります。^[2] $${\displaystyle Q=M\left(M^{\mathrm {T} }M\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$$

これを行列の平方根を抽出するバビロニア法と組み合わせると、直交行列に二次収束する再帰式が得られます。 ここで、Q ₀ = Mです。 $${\displaystyle Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}}$$

これらの反復は、 Mの条件数が3未満であれば安定します。 ^[3]

逆行列の一次近似と同じ初期化を使用すると、変更された反復処理が得られます。

$${\displaystyle N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T} }Q_{n}}$$ $${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}Q_{n}N_{n}}$$ $${\displaystyle Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}}$$

直交行列の使用法によっては、微妙な技術的問題が起こります。行列式が +1 と -1 である群の成分が互いに連結されていないだけでなく、 +1 成分SO ( n )でさえ単連結ではありません(SO(1) は例外で、これは自明です)。したがって、 SO( n )の被覆群であるスピン群Spin( n )を扱うことが有利であったり、必要であったりすることがあります。同様に、O( n )には被覆群であるピン群Pin( n ) があります。n > 2の場合、Spin( n )は単連結であり、したがってSO( n )の普遍被覆群です。スピン群の最も有名な例はSpin(3)で、これはSU(2) 、つまり単位四元数の群に他なりません。

ピン群とスピン群はクリフォード代数内に存在し、クリフォード代数自体は直交行列から構築できます。

Q が正方行列でない場合、条件Q ^T Q = IとQQ ^T = Iは同等ではありません。条件Q ^T Q = Iは、 Qの列が正規直交であることを示します。これは、 Q がm × n行列でn ≤ mの場合にのみ発生します(線形従属のため)。同様に、QQ ^T = I は、 Qの行が正規直交であることを示します。これにはn ≥ m が必要です。

これらの行列には標準的な用語はありません。これらは「半直交行列」、「正規直交行列」、「直交行列」などさまざまな名前で呼ばれ、時には単に「正規直交行/列を持つ行列」と呼ばれることもあります。

n ≤ mの場合、正規直交列を持つ行列は直交 k フレームと呼ばれ、 Stiefel 多様体の要素です。

• 双直交系

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Wikiversity では直交行列を紹介しています。

• 「直交行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 直交行列に関するチュートリアルと対話型プログラム