補助マトリックス

線型代数において、正方行列 $A$ の随伴行列または古典的な随伴行列 $adj($ $A$ $)$ は、その補因子行列の転置行列です。^[1]^[2]これは随伴行列^[3] [ ^4]または「随伴行列」^{[5]と呼ばれることもありますが、これは通常、別の概念、つまり}随伴演算子を指し、行列の場合は共役転置行列です。

行列とその随伴行列の積は対角行列（主対角線上にない要素はゼロ）を与え、その対角要素は元の行列の行列式である：

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

ここで、 $I は$ $A$ と同じサイズの単位行列です。したがって、可逆行列の逆行列は、その助行列をその行列式で割ることによって見つけることができます。

意味

$A$ の共役は $A$ の補因子行列 $C$ の転置である。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

より詳しくは、 $R が$ 単位+可換環で、 $A が$ $R$ からの要素を持つ $n \times n$ 行列であるとします。 $A$ の $($ $i$ $,$ $j$ $)$ -マイナー( $M$ $ij$ と表記) は、 $A$ の行 $i$ と列 $j$ を削除した結果の $($ $n$ $- 1) \times ($ $n$ $- 1)$ 行列の行列式です。 $A$ のコファクター行列は、 $n$ $\times$ $n$ 行列 $C$ で、その $($ $i$ $,$ $j$ $)$ 要素は $A$ の $($ $i$ $,$ $j$ $)$ コファクター $( ($ $i$ $,$ $j$ $)$ -マイナー × 符号因子) です。

\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

$A$ の共役は $C$ の転置、つまり $($ $i$ $,$ $j$ $)要素が$ $A$ の $($ $j$ $,$ $i$ $)$ 補因子である $n \times n$ 行列である。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

重要な結果

$被共役は、 A$ とその被共役の積が対角行列となり、その対角要素が行列式 $det(A)$ となるように定義される。つまり、

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

ここで、 $I は$ $n \times n$ の単位行列です。これは行列式のラプラス展開の結果です。

上記の式は、行列代数の基本的な結果の1つ、つまり、 $A$ が逆であるためには、 $det($ $A$ $)$ が $R$ の逆元となる必要があるということを意味します。これが成り立つ場合、上記の式は次式を生成します。

{\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}

例

1 × 1 汎用マトリックス

0 × 0行列の行列式は1なので、任意の1 × 1行列（複素スカラー）の加法はです。 $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ $\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

2 × 2 汎用マトリックス

2×2行列の加法

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

は

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.

直接計算すると、

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .

$この場合、 det$ ( $adj$ ( A )) = $det$ ( A ) であり、したがって $adj$ ( $adj$ ( A )) = Aであることも真です。

3 × 3 汎用マトリックス

3×3行列を考える

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}.

その補因子行列は

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},

どこ

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.

その補因子行列は、その補因子行列の転置である。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.

3 × 3 数値行列

具体的な例としては、

\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.

加数が行列式の逆数、 $-6 を$ 掛けたものであることは簡単に確認できます。

付加行列の2行3列目の $-1$ は次のように計算される。付加行列の(2,3)項はAの(3,2)余因子である。この余因子は元の行列Aの3行2列目を削除して得られる部分行列を使って計算される。

{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.

(3,2) 補因子は、この部分行列の行列式の符号倍である。

(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,

そしてこれが補遺の（2,3）のエントリです。

プロパティ

$任意のn \times n$ 行列 $A$ について、基本的な計算により、付加行列には次の特性があることが示されます。

$\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$ 、ここでは単位行列です。 $\mathbf {I}$
$\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ 、ここではゼロ行列です。ただし、の場合にはとなります。 $\mathbf {0}$ $n=1$ $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I}$
$\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ $任意のスカラーc$ に対して。
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$ 。
$\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$ 。
Aが逆である場合、次のようになります。 $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$ $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$
- $adj($ A $)$ $は逆関数$ $(detA) -1A で$ 逆関数となる $。$
- $adj(A -1) = adj(A) -1$ です。
$adj(A)は$ $A$ の要素ごとの多項式です。特に、実数または複素数上では、随伴関数は $A$ の要素の滑らかな関数です。

複素数では、

$\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$ ここで、バーは複素活用を表します。
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$ ここで、アスタリスクは共役転置を表します。

$Bが$ 別の $n \times n$ 行列であると仮定します。すると

\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

これは3つの方法で証明できる。1つは、任意の可換環に有効な、コーシー・ビネの公式を使った直接計算である。2つ目は、実数または複素数に有効な、可逆行列 $A$ と $B$ について、まず次のことを観察する方法である。

\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).

すべての非可逆行列は可逆行列の極限であるため、加法の連続性は、 $A$ または $B$ のいずれかが可逆でない場合でも式が真であることを意味します。

前の式の帰結として、任意の非負整数 $k$ に対して、

\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.

$A$ が逆関数である場合、上記の式は負の $k$ に対しても成り立ちます。

アイデンティティから

(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),

私たちは推測する

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .

$A が$ $B$ と可換であると仮定する。左右の恒等式 $AB$ $=$ $BA$ $にadj($ $A$ $)$ を掛けると、次のことが証明される。

\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

$A$ が可逆である場合、これは $adj(A)$ も $B$ と可換であることを意味します。実数または複素数にわたって連続性は、 $A$ が可逆でない場合でも $adj(A)が$ $B$ と可換であることを意味します。

最後に、2 番目の証明よりも一般的な証明があります。これは、n × n行列が少なくとも 2 n + 1 個の要素を持つ体(たとえば、 11 を法とする整数の 5 × 5 行列) 上の要素を持つことだけを要求します。 $det($ $A$ $+$ $t$ $I$ $)は、$ tの次数が最大でnの多項式なので、最大でn 個の根を持ちます。 $adj(($ $A$ $+$ $t$ $I$ $)($ $B$ $))の$ ij 番目の要素は最大でn次多項式であり、 $adj($ $A + t I ) adj( B ) についても同様であることに注意してください。 ij 番目の要素にあるこれらの 2 つの多項式は、 A$ $+$ $t$ $I$ $が$ $可逆$ $な$ 体の要素が少なくとも n + 1 個あるため、少なくとも n + 1 点で一致し、 $可逆$ $行列$ $の$ $恒等$ 式が証明されています。n + 1 点で一致するn次多項式は同一でなければなりません (それらを互いに減算すると、最大でn 次多項式に対してn + 1 個の根が得られます。これは、それらの差が同一にゼロでない限り矛盾です)。2 つの多項式は同一であるため、 tのすべての値に対して同じ値を取ります。したがって、 t = 0 の場合、それらは同じ値を取ります。

$上記の特性とその他の基本的な計算を使用すると、 A が$ 次のいずれかの特性を持つ場合、 $adj A も$ 同様の特性を持つことが簡単に示されます。

$A$ が歪対称である場合、 $adj(A) は$ nが偶数の場合は歪対称、 nが奇数の場合は対称です。同様に、 $A$ が歪エルミートである場合、 $adj(A) は$ nが偶数の場合は歪エルミート、 nが奇数の場合はエルミートです。

$A$ が逆行列である場合、上で述べたように、 $A$ の行列式と逆行列に関して $adj(A)$ の式が存在します。 $A$ が逆行列でない場合、その加法は異なるが密接に関連した式を満たします。

$rk(A) \leqn -2$ の場合、 $adj(A)= 0$ となる。
$rk(A) = n - 1$ ならば、 $rk(adj(A)) = 1 です$ 。(何らかのマイナーがゼロでない場合、 $adj(A) は$ ゼロでなく、したがってランクは少なくとも 1 です。恒等式 $adj(A) A = 0$ $は、 adj($ $A$ $)$ のヌル空間の次元が少なくとも $n$ $- 1$ であることを意味するため、そのランクは最大で 1 です。) したがって、 $adj($ $A$ $) =$ $α$ $xy$ $T$ となります。ここで、 $α$ はスカラー、 $x$ と $yは$ $Ax$ $=$ $0$ かつ $A$ $T$ $y$ $=$ $0$ となるベクトルです。

列置換とクラメールの規則

$Aを$ 列ベクトルに分割します。

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

$b をサイズ$ $n$ の列ベクトルとします。1 $\leq i \leq nを固定し、$ $A$ の列 $i を$ $b$ に置き換えて形成される行列を考えます。

(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

$この行列の行列式を列i$ に沿ってラプラス展開します。結果は積 $adj($ $A$ $)$ $b$ $の要素i に$ なります。これらの行列式をさまざまな $i$ について集めると、列ベクトルの等式が得られます。

\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .

この式は次のような具体的な結果をもたらす。線形方程式系を考える。

\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .

$A$ が非特異であると仮定する。この体系の左側に $adj(A)$ を掛け、行列式で割ると次のようになる。

\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.

この状況に前の式を適用すると、クラメールの法則が得られる。

x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},

ここで、 $x i は$ $x$ $のi$ 番目のエントリです。

特性多項式

$A$ の特性多項式を

p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].

$p$ の最初の商差は $n$ $- 1次$ の対称多項式であり、

\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].

$s I - A を$ その共役で乗じる。ケーリー・ハミルトン定理により $p (A) = 0$ となるので、いくつかの基本的な操作から次のことがわかる。

\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).

特に、 $A$ の解決子は次のように定義される。

R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},

そして上記の式によれば、これは

R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.

ヤコビの公式

随伴項は、行列式の微分に対するヤコビの公式にも現れる $。A ( t$ )が連続的 $に$ $微分$ $可能$ である場合、

{\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).

したがって、行列式の全微分は、助動詞の転置になります。

d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.

ケーリー・ハミルトンの公式

$p A (t) を$ $A$ の特性多項式とする。ケーリー・ハミルトン定理によれば、

p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .

定数項を分離し、方程式に $adj(A)を掛けると、$ $Aと$ $pA (t)$ の係数のみに依存する付加項の式が得られます。これらの係数は、完全な指数ベル多項式を使用して、 $A$ $の$ 累乗のトレースで明示的に表すことができます。結果として得られる式は次のようになります。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},

ここで $nは$ $A$ の次元であり、和は $s$ と、線形ディオファントス方程式を満たす $k l \geq 0$ のすべてのシーケンスにわたって取られる。

s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.

2×2の場合、これは次のようになる。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .

3×3の場合、これは次のようになる。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.

4×4の場合、これは次のようになる。

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.

$同じ式は、 A$ の特性多項式を効率的に決定するFaddeev-LeVerrier アルゴリズムの終了ステップから直接得られます。

一般に、任意の次元 N 行列の随伴行列は、アインシュタインの規則によって計算できます。

(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))_{i_{N}}^{j_{N}}={\frac {1}{(N-1)!}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\epsilon ^{j_{1}j_{2}\ldots j_{N}}A_{j_{1}}^{i_{1}}A_{j_{2}}^{i_{2}}\ldots A_{j_{N-1}}^{i_{N-1}}

外積代数との関係

外積代数を用いて、この付加物は抽象的な言葉で表すことができる。V $を$ $n$ 次元ベクトル空間とする。外積は双線型ペアリングを定義する。

V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.

抽象的には、は $R$ と同型であり、そのような同型の下では外積は完全な対になる。したがって、同型 $\wedge ^{n}V$

\phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).

明示的には、このペアリングは $v \in V$ をに送り、ここで $\phi _{\mathbf {v} }$

\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .

$T : V \to V$ が線型変換であるとする。T の (n − 1) 番目の外乗による引き戻しは $Hom$ $空間の射$ を $誘導$ する。Tの随伴は合成である $。$

V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.

$V = R n$ にその標準基底 $e 1, \dots, e n$ が与えられ、この基底における $T$ の行列が $A$ である場合、 $T$ の随伴は $A$ の随伴である。理由を理解するために、基底を与える。 $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$

\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.

$R$ $n$ の基底ベクトル $e i を固定します。e$ $i$ の像は $、$ 基底ベクトルをどこへ送るかによって決まります。 $\phi$

\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

基底ベクトル上では、 $T$ の $(n -1)$ 次の外乗は

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.

これらの項は、 $k$ $=$ $i$ 項を除いて、ゼロにマッピングされます。したがって、の引き戻しは、次の線形変換です。 $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},

つまり、

\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.

の逆関数を適用すると、 $T$ の加法は次の線形変換であることが分かる。 $\phi$

\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.

$したがって、その行列表現はA$ の共役になります。

$V$ に内積と体積形式が備わっている場合、写像 $φ は$ さらに分解できる。この場合、 $φ は$ ホッジスター作用素と双対化の合成として理解できる。具体的には、 $ω が$ 体積形式である場合、内積とともに同型が決定される。

\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .

これにより同型性が誘導される

\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

$R$ $n$ のベクトル $v$ は線形関数に対応する。

(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

ホッジスター演算子の定義により、この線型関数は $* v$ と双対です。つまり、 $ω \lor \circ φ は$ $v \mapsto * v \lor$ に等しくなります。

高等補佐官

$A を$ $n \times n$ 行列とし、r ≥ 0 とする $。 A$ の $r$ 番目に $高次$ の随伴行列は $adj$ $r$ $A$ と表記され、その要素は ${1, ...,$ $m$ $}$ のサイズ $r$ の部分集合 $I$ と $J$ ^{によってインデックス付けされる[}^{引用が必要}^]。 $I$ $c$ と $J$ $c は$ $それぞれI$ と $J$ の補集合を表すものとする。また、は $A$ の部分行列を表し、その行と列のインデックスがそれぞれ $I$ $c$ と $J$ $c$ に含まれるものとする。すると、 $adj$ $r$ $A$ の $($ $I$ $,$ $J$ $)$ 要素は ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$

(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},

ここで $σ(I)$ と $σ(J)はそれぞれ$ $I$ と $J$ の要素の合計です。

高等修飾語の基本的な性質には以下が含まれる^[要出典]：

$adj 0 (A) = det A$ 。
$adj 1 (A) = adj A$ 。
$adjn (A ) = 1$ 。
$adj r (BA) = adj r (A) adj r (B)$ 。
$\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$ ここで、 $C r (A) は$ $r$ 番目の複合行列を表します。

高次の随伴項は、通常の随伴項と同様の方法で抽象代数用語で定義することができ、それぞれとをに置き換えます。 $\wedge ^{r}V$ $\wedge ^{n-r}V$ $V$ $\wedge ^{n-1}V$

反復助詞

逆行列A の加法を $k$ 回繰り返してとると、

\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},

\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.

例えば、

\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .

\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.

参照

参考文献

^ Gantmacher, FR (1960). 行列の理論. 第1巻. ニューヨーク: チェルシー. pp. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5。
^ Strang, Gilbert (1988). 「セクション 4.4: 行列式の応用」線形代数とその応用(第 3 版) Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3。
^ Claeyssen, JCR (1990). 「動的行列解法を用いた非保存線形振動システムの応答予測について」Journal of Sound and Vibration . 140 (1): 73–84. Bibcode :1990JSV...140...73C. doi :10.1016/0022-460X(90)90907-H.
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文献

Roger A. Horn および Charles R. Johnson (2013)、Matrix Analysis、第 2 版。Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-54823-6
Roger A. Horn および Charles R. Johnson (1991)、「行列分析のトピック」、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46713-1

外部リンク

マトリックスリファレンスマニュアル
オンライン行列計算機（行列式、トラック、逆行列、随伴行列、転置行列）8次までの随伴行列を計算します
「{{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}}の助動詞」。Wolfram Alpha。

[1] Gantmacher, FR (1960). 行列の理論. 第1巻. ニューヨーク: チェルシー. pp. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5。

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意味