フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（1849年10月26日 - 1917年8月3日）は、ドイツの数学者で、楕円関数、微分方程式、数論、群論への貢献で最もよく知られています。彼は、楕円関数を支配するフロベニウス・スティッケルベルガーの公式として知られる有名な行列式恒等式と、双二次形式の理論を発展させたことで知られています。彼はまた、関数の有理近似（現在ではパデ近似として知られる）の概念を最初に導入し、ケイリー・ハミルトンの定理の最初の完全な証明を与えました。彼はまた、フロベニウス多様体として知られる、現代数理物理学における特定の微分幾何学的対象にもその名を冠しています。

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスは、1849年10月26日にベルリン郊外のシャルロッテンブルクで、プロテスタントの牧師クリスティアン・フェルディナント・フロベニウスとクリスティーネ・エリザベス・フリードリヒの両親のもとに生まれた。 ^{[ 1 ]}彼は11歳になる直前の1860年にヨアヒムスタール・ギムナジウムに入学した。 ^{[ 2 ]}

1867年、大学卒業後、ゲッティンゲン大学に進学し、大学での勉強を始めた。しかし、そこで1学期だけ勉強した後、ベルリンに戻り、レオポルド・クローネッカー、エルンスト・クンマー、カール・ヴァイエルシュトラスの講義に出席した。1870年、ヴァイエルシュトラスの指導の下、博士号（優等学位）を取得した。博士論文は微分方程式の解法に関するものだった。1874年、中等学校レベルでの教職（最初はヨアヒムスタール・ギムナジウム、次にゾフィーエン実科学校）を経て、ベルリン大学の数学特別教授に任命された。^{[ 2 ]}

フロベニウスはベルリンにわずか1年間滞在した後、チューリッヒに移り、現在のチューリッヒ工科大学（ETHチューリッヒ）の前身であるチューリッヒ工科大学の正教授に就任した。1875年から1892年までの17年間、フロベニウスはチューリッヒで研究活動を行った。そこで彼は結婚し、家族を育て、数学の多岐にわたる分野で多くの重要な業績を残した。

1891年12月下旬、クロネッカーが死去したため、ベルリンの教授職が空席となった。ヴァイエルシュトラスは、ベルリンを数学の最先端に維持するにはフロベニウスこそが適任だと強く信じ、その絶大な影響力を行使してフロベニウスを教授に任命させた。1893年、フロベニウスはベルリンに戻り、プロイセン科学アカデミーの会員に選出された。

群論は、フロベニウスが晩年に最も関心を寄せた分野の一つであった。彼の初期の業績の一つ​​は、抽象群に関するシローの定理の証明である。それ以前の証明は置換群に関するものであった。彼の第一シローの定理（シロー群の存在に関する定理）の証明は、今日でも頻繁に用いられている定理の一つである。

• フロベニウスはまた、次の基本定理を証明した。正の整数n が有限群Gの位数| G |を割り切るならば、 Gにおける方程式x ⁿ = 1の解の数は、ある正の整数kに対してknに等しい。

• 彼はまた、次の予想を立てた。上記の定理において、k = 1の場合、Gにおける方程式x ⁿ = 1の解は部分群を形成する。

何年も前に、この予想は可解群に対して正しいことが証明されました。^{[ 3 ]}有限単純群の分類の後、1991年になって初めて、この問題は一般的に解決されました。

さらに重要なのは、群の構造を研究するための基本的なツールである群指標と群表現の理論を彼が創り出したことである。この研究はフロベニウスの相互性の概念と、現在フロベニウス群と呼ばれるものの定義につながった。群Gは、 Gより小さい部分群Hが存在し、

${\displaystyle \ H\ \cap \ H^{x}=\{\ 1\ \}\quad }$すべての人々のために${\displaystyle \quad x\in G\ \backslash \ H~.}$

その場合、セット

${\displaystyle \ N=G\ \backslash \!\!\!\bigcup _{x\in \ G\ \backslash \ H}\!\!\!H^{x}\ }$

Gの単位元とともに、冪零群となる部分群を形成することが、1959 年にジョン G. トンプソンによって示された。 ^{[ 4 ]}この定理の既知の証明はすべて指標を用いている。フロベニウスは、指標に関する最初の論文 (1896 年) で、群の指標表を作成した。${\displaystyle \ \mathrm {PSL} (2,p)\ }$順序${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(\ p^{3}-p\ \right)\ }$すべての奇素数pに対して( p > 3の場合、これは単純群です)。彼はまた、対称群と交代群の表現論に根本的な貢献をしました。

フロベニウスは、 Q上のガロア群において素数を共役類に変換する標準的な方法を導入しました。具体的には、K / Qが有限ガロア拡大である場合、 Kで分岐しない各 (正の) 素数pと、 K内のp上の各素イデアルPに対して、 Kのすべての整数xに対してg ( x ) = x ^p (mod P ) という条件を満たすGal( K / Q ) の一意の元gが存在します。p上でPを変化させると、 gは共役になります ( gのすべての共役はこのようにして現れます)。したがって、ガロア群におけるgの共役類は、 pに標準的に関連付けられます。これはpのフロベニウス共役類と呼ばれ、共役類の任意の元はpのフロベニウス元と呼ばれます。Kをm番目の円分体とし、そのQ上のガロア群がmを法とする単元群（したがってアーベル群であり、共役類が元となる）である場合、 m を割り切らないpに対して、ガロア群のフロベニウス類はp mod mとなる。この観点から、Q上のガロア群（あるいはより一般的には、任意の数体上のガロア群）におけるフロベニウス共役類の分布は、算術級数における素数に関するディリクレの古典的な結果を一般化したものである。Q の無限次拡大体のガロア群の研究は、このフロベニウス元の構成に決定的に依存しており、これはある意味で、詳細な研究が可能な稠密な元集合を提供する。      

フロベニウスは、標準的なテイラー級数法が適用できない特異点において、べき級数法の解法を詳細に検討することで、線形可変係数常微分方程式の解法に重要な貢献をした。彼のアルゴリズムは現在、フロベニウス法と呼ばれている。

• フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられたもののリスト

• フロベニウス、フェルディナンド ゲオルク(1968)、セール、J.-P. (編)、ゲザメルテ・アブハンドルンゲン。 Bände I、II、III、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-04120-7MR 0235974​ 
• シリーズ無限表現ごとの機能分析(ラテン語)、学位論文、1870 年
• Über die Entwicklung Analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (ドイツ語)、 Journal für die reine und angewandte Mathematik 73、1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen、関数係数係数(ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 74、254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der lineen Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 76、236–270 (1873)
• Über die Integration der lineen Differentialgleichungen durch Reihen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 76、214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 77、245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der lineen Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 78、93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 79、185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare Lineare Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 80、183–193 (1875)
• Über das Pfaffsche 問題(ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 82、230–315 (1875)
• Über die regulären Integrale der lineen Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 80、317–333 (1875)
• Note sur la théorie des formesquadratiques à un nombre quelconque de variables (フランス語)、 Comptes rendus de l'Académie des Sciences Paris 85、131–133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 83、175–179 (1877)
• Über adjungirte lineale Differentialausdrücke (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 85、185–213 (1878)
• Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 84、1–63 (1878)
• Über homogene totale Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 86、1–19 (1879)
• フロベニウス、G. (1881)。「Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen」。数学に関するジャーナル。90：1～ 17。
• Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (ドイツ語)、Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26、456—477 (1912)
• フロベニウス、G. (1913)。「ウーバー・ダイ・マルコフシェン・ザーレン」。Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 458–487。

• カーティス、チャールズ・W. (2003)、「表現理論の先駆者たち：フロベニウス、バーンサイド、シュール、ブラウアー」、数学史、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2677-5MR 1715145​ レビュー

• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• G. フロベニウス著『超複素量の理論』（英訳）