還元可能性の公理

ラッセルの還元可能性の公理によって暗示される完全な禁止は、エルンスト・ツェルメロによって1908年の『集合論の基礎に関する研究I』で厳しく批判された。ツェルメロは、ポアンカレからラッセルと同様の要求を受けたことに憤慨していた。

ポアンカレ（1906年、307頁）によれば、定義は、定義された概念に「依存する」すべての対象、つまり、何らかの形で定義によって決定され得るすべての対象を排除する場合に限り、「述語的」であり論理的に許容される。^{[ 19 ]}

ツェルメロはこう反論した。

定義は、定義される概念と同等の概念に基づいている場合が十分あり得る。実際、あらゆる定義において定義されるものと定義されるものは同等の概念であり、ポアンカレの要求を厳密に遵守すると、あらゆる定義、ひいては科学全体が不可能になるだろう。^{[ 20 ]}

ノーバート・ウィーナーは、1914年の著書『関係の論理の簡略化』の中で、2つの変数xとyの関係、例えばφ( x , y )に適用される還元公理の必要性を排除した。彼は、関係を順序対の集合として表現する方法を導入することでこれを実現した。「我々が行ったことは、実際には、シュレーダーが関係を順序対のクラス[集合]として扱った方法に戻ることであることがわかるだろう」^{[ 21 ]} 。ヴァン・ヘイエノールトは、「クラス演算の観点から2要素の順序対を定義することで、この論文は関係の理論をクラスの理論に還元した」と述べている。^{[ 22 ]}しかしウィーナーは、ラッセルとホワイトヘッドの公理 *12.11 の 2 変数バージョンは却下したものの、(プリンキピア・マテマティカの公理 *12.1) の還元可能性の公理の 1 変数バージョンは依然として必要であると主張した。^{[ 23 ]}

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、収容所に収監されている間に『論理哲学論考』を完成させた。序文では「フレーゲの偉大な著作と友人バートランド・ラッセルの著作」に謝意を表している。謙虚な知識人ではなかった彼は、「ここで伝えられた思​​想の真実は、私には揺るぎなく決定的なものに思える。したがって、私は問題の本質は最終的に解決されたと考えている」と断言した。^{[ 24 ]}このような態度を考えると、ラッセルの類型論が批判されるのも当然である。

3.33

論理構文においては、記号の意味は決して役割を果たすべきではない。記号の意味に言及することなく確立されるべきであり、表現の記述のみを前提とすべきである。

3.331

この観察から、ラッセルの類型論についてさらに深く理解することができる。ラッセルの誤りは、彼が記号規則を作成する際に、記号の意味について言及せざるを得なかったという事実によって明らかになる。

3.332

命題はそれ自体について何も語ることはできない。なぜなら、命題記号はそれ自体の中に包含されることができないからである（つまり、「型の理論全体」はそうではない）。

3.333

関数はそれ自身の引数にはなり得ない。なぜなら、関数記号は既にそれ自身の引数のプロトタイプを含んでおり、それ自身を含むことはできないからである。… これによってラッセルのパラドックスは消滅する。^{[ 25 ]}

これは、ラッセルが自身の「パラドックス」を解消するために用いた議論と同じものを裏付けているように思われる。ラッセルは、原著の英語訳に先立つ序文で、この「記号を用いて記号について語る」という行為を批判している。

ためらいを生むのは、結局のところ、ウィトゲンシュタイン氏が言い表せないことについて多くのことを語っているという事実であり、それによって懐疑的な読者は、言語の階層構造を通して、あるいは他の何らかの出口を通して、抜け道が存在する可能性を示唆してしまうからである。

この問題は、ウィトゲンシュタインが還元可能性の公理を穏やかに否定するに至る後に現れる。以下の記述の一つの解釈は、ウィトゲンシュタインがラッセルが（今日ではカテゴリーエラーとして知られている）誤りを犯したと言っているということである。ラッセルは、すべての法則（例えば、ウィトゲンシュタインが採用した無制限のシェファー・ストローク）が既に主張されているにもかかわらず、「さらなる論理法則」を主張（理論に挿入）したのである。

6.123

論理法則自体がさらに別の論理法則に従うことはできないことは明らかである。（ラッセルが想定したように、あらゆる「類型」に対して特別な矛盾法則が存在するわけではないが、矛盾法則はそれ自体には適用されないため、1つの法則で十分である。）

6.1231

論理命題の本質は、その普遍的な妥当性にあるのではない。普遍的であるということは、あらゆる事柄に対して偶然的に妥当であるということだけを意味する。一般化されていない命題も、一般化された命題と同様に、同義反復になり得る。

6.1232

論理的な一般妥当性、つまり偶発的な一般妥当性とは対照的に本質的な一般妥当性、例えば「すべての人間は死ぬ」という命題の妥当性などが挙げられる。ラッセルの「還元可能性の公理」のような命題は論理的な命題ではないため、もしそれが真実だとしても、それは幸運な偶然によってのみ真実であるように感じられるのである。

6.1233

還元公理が有効でない世界を想像することはできる。しかし、論理学は、私たちの世界が本当にそのような世界であるかどうかという問題とは何の関係もないことは明らかである。^{[ 26 ]}

バートランド・ラッセルは、 1919年に出版された『数学哲学入門』 （彼の『数学哲学』初版の非数学的な補足書）の中で、第17章「クラス」（146ページ以降）において、自身の還元可能性の公理について論じている 。彼は、「我々は『クラス』を原始的な概念として受け入れることはできない。クラスの記号は『単なる便宜』であり、クラスは『論理的虚構、あるいは（我々が言うところの）『不完全な記号』である…クラスは世界の究極的な構成要素の一部とはみなせない」と結論づけている（ 146頁）。その理由は、非述語性の問題にある。「クラスは、それ自体の要素ではないクラスに関する矛盾のために、個体の種とはみなせない…また、クラスの数が個体の数よりも多いことを証明できるからである」。そこで彼は、クラスの理論に関して満たされなければならない5つの義務を提案し、その結果として還元可能性の公理を導き出した。彼はこの公理を「ライプニッツの不可弁別性の同一性の一般化された形式」であると述べている（155頁 ）。しかし、ライプニッツの仮定は、あらゆる可能世界におけるあらゆる可能な述語に対して必ずしも真であるとは限らないため、次のように結論づけている。

還元可能性の公理が論理的に必然的である、つまりあらゆる可能世界において真であると言うことが論理的に必然的であると考える理由は何もない。したがって、この公理を論理体系に取り入れることは欠陥であり、疑わしい仮定である。（155ページ）

そこで彼が自らに課した目標は、授業を避けるという「自身の理論の修正」である。

クラスに関する命題を、その定義機能に関する命題へと還元する点で、この方法は妥当であるように思われる。この方法によってクラスを実体として扱うことを避けることは、原理的には正しいように思われるが、細部については調整が必要となるかもしれない。（155ページ）

トーラルフ・スコレムは、 1922年の著書『公理化された集合論に関するいくつかの考察』の中で、「ラッセルとホワイトヘッド」（すなわち、彼らの著作『プリンキピア・マテマティカ』）に対して、あまり肯定的ではない態度を示した。

これまで、私の知る限りでは、そのような公理系の中で比較的広く受け入れられてきたのは、ツェルメロ（1908）によって構築されたものだけです。ラッセルとホワイトヘッドも集合論の基礎となる論理体系を構築しましたが、私の記憶が正しければ、数学者たちはそれにほとんど関心を示していません。^{[ 27 ]}

スコレムは、ツェルメロの集合論における「非述語的定義」と呼ばれるものの問題点を指摘している。^{[ 28 ]}

問題は、その存在が全ての集合に依存する集合を形成しなければならないことである... ポアンカレはこの種の定義を集合論の真の論理的弱点とみなした。^{[ 29 ]}

スコレムは主にツェルメロの集合論の問題点を取り上げているが、還元可能性の公理について次のような指摘をしている。

彼ら[ラッセルとホワイトヘッド]もまた、還元可能性の公理という条件を導入することで困難を回避することに満足している。実際、この公理は非述語的条件が満たされることを規定している。その証明はない。さらに、私の知る限り、そのような証明はラッセルとホワイトヘッドの観点からも、ゼルメロの観点からも不可能であるに違いない。[強調追加] ^{[ 30 ]}

ラッセルは1927年の『プリンキピア・マテマティカ』第2版の「序論」の中で、自身の公理を批判している。

明らかに改善が望ましい点の 1 つは、還元可能性の公理 (*12.1.11) です。この公理は純粋に実用的な正当化を持ちます。それは望ましい結果をもたらし、それ以外の結果をもたらしません。しかし、明らかにこれは私たちが満足できる種類の公理ではありません。しかし、この主題に関して、満足のいく解決策がまだ得られているとは言えません。... ウィトゲンシュタイン† [† 『論理哲学論考』、*5.54ff] は哲学的理由から別の方法を推奨しています。それは、命題の関数は常に真理関数であり、関数は命題のようにその値を通してのみ現れると仮定することです。困難があります... これは、すべての関数の関数が外延的であるという帰結を伴います。... [しかし、彼の論理の帰結は] 無限デデキン理論と整列理論が崩壊し、無理数、そして一般に実数はもはや適切に扱うことができなくなるということです。また、カントールの 2 ⁿ > nの証明は、nが有限でない限り破綻する。おそらく、還元公理よりも問題のない別の公理があれば、これらの結果が得られるかもしれないが、そのような公理を見つけることはできなかった。^{[ 31 ]}

ウィトゲンシュタインの5.54ffは、機能という概念に重点を置いている。

5.54

一般的な命題形式においては、命題は真理演算の基底としてのみ命題の中に現れる。

5.541

一見すると、ある命題が別の命題の中に現れる別の方法もあるように思える。¶ 特に、「Aはpが事実であると考える」や「Aはpと考える」といった心理学の特定の命題形式において。¶ ここでは、命題pが対象Aに対してある種の関係にあるかのように表面上は見える。¶ （そして、現代認識論［ラッセル、ムーアなど］では、これらの命題はこのように捉えられてきた。）

5.542

しかし、「Aはpだと信じている」 、「Aはpだと思う」、「Aはpと言う」は「' p 'はpだと思う」という形式であることは明らかであり、ここでは事実と対象の対応関係はなく、対象の対応関係によって事実が対応関係にある。

5.5421 [など：「複合的な魂はもはや魂ではないだろう。」] 5.5422

「Aはpを判断する」という命題の形式を正しく説明するには、ナンセンスを判断することは不可能であることを示さなければならない。（ラッセルの理論はこの条件を満たしていない）。^{[ 32 ]}

ウィトゲンシュタインの立場に対する考えられる解釈の一つは、思考者A、すなわち「 p 」 は思考pと同一であるというものであり、このようにして「魂」は複合体ではなく単一の単位として残る。したがって、「思考が思考を考える」という発言はナンセンスである。なぜなら、5.542によれば、その発言は何の特定もしていないからである。

ジョン・フォン・ノイマンは、1925年の著書『集合論の公理化』の中で、ラッセル、ツェルメロ、スコレム、フランケルらと同じ問題に取り組んだ。彼はラッセルの試みをあっさりと否定した。

ここで、ラッセル、J.ケーニッヒ、ワイル、ブロウワーについて言及する必要がある。彼らは（集合論者と）全く異なる結果に至ったが、彼らの活動の全体的な影響は、私には実に壊滅的であるように思える。ラッセルでは、数学と集合論のすべてが、非常に問題のある「還元公理」に基づいているように見える一方、ワイルとブロウワーは、数学と集合論の大部分を全く無意味なものとして体系的に否定している。^{[ 33 ]}

彼は次に、集合論者のツェルメロ、フランケル、シェーンフリースらの研究に言及し、「『集合』とは、公理から導かれること以外何も知らず、また知りたくもない対象以外の何物でもないと理解される。集合論の公理は、カントールの集合論の望ましい定理がすべてそこから導かれるように定式化されるべきであるが、反律はそこから導かれないようにすべきである。」^{[ 34 ]}

フォン・ノイマンは、ダヴィッド・ヒルベルトが数学の公理化の一貫性を証明しようとした努力に言及しているが^{[ 35 ]}、ヒルベルトをラッセルと同じグループに位置づけた。むしろ、フォン・ノイマンはヒルベルトの提案を「第二のグループの精神に沿ったもの」と考えた。「しかし、要素を集めたり分離したりすることによって集合を形成することは避けなければならないし、ツェルメロに見られるような『明確性』の不明確な原理も避けなければならない。[…] しかし、我々は『集合』ではなく『関数』を公理化することを好む。」^{[ 36 ]}

ヴァン・ヘイエノールトは、最終的にフォン・ノイマンのこの公理系は「簡略化、改訂、拡張され、フォン・ノイマン＝ベルナイズ＝ゲーデル集合論として知られるようになった」と述べている。^{[ 37 ]}

デイヴィッド・ヒルベルトが1925年の著書『数学の基礎』で提示した公理系は、彼が1900年代初頭に着手したものの、しばらく中断していた課題の成熟した表現である（1904年の著書『論理学と算術の基礎について』を参照）。彼の体系は集合論に基づくものではなく、ラッセルやホワイトヘッドの体系から直接派生したものでもない。むしろ、それは 13 の論理公理（含意の公理 4 つ、論理 AND と論理 OR の公理 6 つ、論理否定の公理 2 つ、ε 公理（「存在」公理）1 つ）に加えて、数学的帰納法、公理の性質を持ついくつかの定義、一般的な再帰スキーマから生じる特定の再帰公理を含む 4 つの公理からなるPeano 公理のバージョン^{[ 38 ]}、さらに「公理の使用を規定する」いくつかの形成規則^{[ 39 ]を呼び出します。}

ヒルベルトは、この体系、すなわち「ラッセルとホワイトヘッドの基礎理論[,]、...それが数学に提供する基礎は、まず無限公理、次に還元公理と呼ばれるものに基づいているが、これらの公理はどちらも、無矛盾性の証明によって裏付けられていない真正の内容的仮定である。それらは、実際にはその妥当性が疑わしい仮定であり、いずれにせよ、私の理論では必要とされない...還元性は私の理論では前提とされていない...還元の実行は、矛盾の証明が与えられた場合にのみ必要であり、その場合、私の証明理論によれば、この還元は常に成功するはずである。」^{[ 40 ]}

現代の再帰理論は、この基礎の上に成り立っている。

1925年、フランク・プランプトン・ラムジーは、それは必要ないと主張した。^{[ 41 ]}しかし、プリンキピア・マテマティカの第2版（1927年、xivページ）とラムジーの1926年の論文^{[ 42 ]}では、実数に関するいくつかの定理はラムジーのアプローチでは証明できないと述べられている。後のほとんどの数学形式主義（例えば、ヒルベルトの形式主義やブラウワーの直観主義）では、それは使用されていない。

ラムジーは、ウィトゲンシュタインの『論理哲学論考』における定義を用いることで、述語の定義を再定式化できることを示した。その結果、与えられた階数の関数はすべて、表現方法に関わらず述語的である。彼はさらに、自身の定式化によってパラドックスが回避されることを示した。しかしながら、『論理哲学論考』の理論は、いくつかの数学的結果を証明するには十分な強さを持っていなかったようである。

クルト・ゲーデルは、 1944年の著書『ラッセルの数学的論理』の中で、解説者のチャールズ・パーソンズの言葉を借りれば、「ラッセルの哲学に顕著で、実際の論理学研究の多くに暗黙のうちに含まれている還元主義に対する、ラッセルのこうした（実在論的な）態度の擁護と見なされるもの」を提示している。それは、1900年以降に数学界の意識に上ったパラドックス以来、数学とその対象に関する実在論の最も力強い擁護であったと言えるだろう。^{[ 43 ]}

一般的に、ゲーデルは命題関数がそれを満たす実対象に還元（同一視）できるという考え方に賛同しているが、これは実数論、さらには整数論に関して問題を引き起こす（134ページ）。彼は、 PM の初版が還元可能性の公理を提案したことで実在論的（構成主義的）「態度」を「放棄」したと指摘している（133ページ）。しかし、 PMの第2版（1927年）の序文の中で、ゲーデルはラッセルが還元可能性の公理を「放棄」して行列（真理関数）理論を採用したとき、「構成主義的態度が再び復活した」と主張している（133ページ）。ラッセルは「すべての原始述語は最低位の型に属し、変数（そして明らかに定数も）の唯一の目的は、原子命題のより複雑な真理関数を主張できるようにすることであると明言した…[つまり]高位の型と順序は、単なる表現方法にすぎない」（134ページ）と述べている。しかし、これは個体と原始述語の数が有限である場合にのみ有効であり、次のような有限の記号列を構築することができる。   

${\displaystyle x=a_{1}\vee x=a_{2}\vee \dots \vee x=a_{k}}$[134ページに例があります]

そして、そのような文字列から文字列の文字列を形成することで、クラスのクラスに相当するものを得ることができ、その場合、型の混合も可能となる。しかし、そのような有限文字列からは数学全体を構築することはできない。なぜなら、それらは「分析」することができない、つまり、同一性の法則に還元することも、その法則の否定によって反証することもできないからである。

^{整数の理論でさえ、}消去規則が各場合において実際に有限ステップで消去を実行できることを要求する限り、非解析的である。44 ( ⁴⁴これは、すべての算術命題に対する決定手続きの存在を意味するからである。チューリング 1937を参照。) ... [したがって] 整数の理論の解析性を証明するには、無限長の文に適用される数学全体を前提としなければならない。例えば、選択公理は、それが真であると仮定した場合にのみ解析的であることが証明できる。(p. 139)

しかし彼は、「この手順は何らかの形で算術を前提としているように思われる」（ 134ページ）と指摘し、次の段落で「整数の理論が分岐階層に基づいて得られるかどうか（あるいはどの程度得られるか）という問題は未解決であると考えなければならない」（ 135ページ）と述べている。

ゲーデルは「より保守的なアプローチ」を取るべきだと提唱した。

「クラス」と「概念」という用語の意味をより明確にし、客観的に存在する実体としてのクラスと概念に関する一貫した理論を構築すること。これが、数学論理学の実際の発展が辿ってきた道筋である。この方向への試みの中で主要なものとしては、単純な型理論と公理的集合論があり、どちらも少なくとも現代数学の導出を可能にし、同時に既知のパラドックスをすべて回避するという点では成功を収めている。しかしながら、多くの兆候が、原始概念にはさらなる解明が必要であることをあまりにも明確に示している。（140ページ）

^{ラムゼイ（1931） [ 44 ]} の長所と短所についても論じた批判の中で、WVOクワインはラッセルの「型」の定式化を「厄介だ…彼が『 n階命題』を定義しようとすると混乱が続く…その方法は実に奇妙に回りくどい…還元可能性の公理は自己消滅的だ」などと評している^{[ 45 ]。}

スティーブン・クリーネと同様に、クワインはラムゼイ（1926）^{[ 46 ]}が様々なパラドックスを（i）「純粋な集合論のパラドックス」と（ii）「偽や特定可能性などの意味論的概念」から派生したパラドックスの2種類に分類し、ラムゼイは後者はラッセルの解決策から除外すべきだったと考えていたことを指摘している。クワインは最後に、「命題と文、属性とその表現の混同のために、ラッセルの意味論的パラドックスの解決策はそもそも不可解だった」という意見で締めくくっている。^{[ 47 ]}

スティーブン・クリーネ（1952）は、著書「§12. パラドックスからの最初の推論」（「論理学」の小章）の中で、ラッセルの類型論の発展をたどっている。

パラドックスの発見から生じる状況に数学の論理主義的構築を適応させるために、ラッセルは型に関する分岐理論（1908年、1910年）によって非述語的定義を排除した。^{[ 48 ]}

クリーネは、「型内の非述語的定義を除外するために、型 0 [論理分析の対象とならない主要な対象または個体] より上の型は、さらに順序に分けられる。したがって、型 1 [個体のプロパティ、すなわち命題論理の論理結果] の場合、全体性に言及せずに定義されたプロパティは順序0に属し、与えられた順序のプロパティの全体性を使用して定義されたプロパティは、次のより高い順序に属する」と述べている。^{[ 49 ]}

しかし、クリーネは括弧書きで、「論理主義的な自然数の定義は、その中の[性質] Pが特定の順序の性質のみを対象とするように指定されると、述語的になる。この場合、自然数であるという性質は、次のより高い順序に属する」と述べている。^{[ 50 ]}しかし、この順序への分離は、おなじみの分析を構築することを不可能にする。この分析には[クリーネの「非述語性」の例を参照]、非述語的な定義が含まれている。この結果を回避するために、ラッセルは還元可能性の公理を仮定した。^{[ 51 ]}しかし、クリーネは、「どのような根拠で還元可能性の公理を信じるべきなのか」と疑問を呈している。^{[ 52 ]}彼は、プリンキピア・マテマティカは「世界について信じられるべき、あるいは少なくとも世界に関するもっともらしい仮説として受け入れられるべき」と意図された直観的に導出された公理から導き出されたものとして提示されているのに対し、...もし性質が構築されるのであれば、その問題は公理ではなく構築に基づいて解決されるべきであると指摘している。実際、彼はホワイトヘッドとラッセル（1927）が自分たちの公理に疑問を呈したことを引用している。「明らかにそれは、我々が満足できるような種類の公理ではない」。^{[ 53 ]}

クリーネはラムゼー 1926 の研究に言及しているが、「ホワイトヘッドとラッセルもラムゼーも論理主義の目標を建設的に達成することに成功しなかった」とし、「ラングフォード 1927 とカルナップ 1931-2 による興味深い提案も困難がないわけではない」と述べている。^{[ 54 ]}クリーネはこの議論を、ワイル (1946) の「プリンキピア・マテマティカの体系は、ある種の論理学者の楽園の上に成り立っている」とし、「この「超越論的世界」を信じる用意のある者は誰でも、数学の演繹において構造がより単純であるという利点を持つ公理的集合論の体系 (ツェルメロ、フレンケルなど) も受け入れることができる」という引用で締めくくっている。^{[ 55 ]}