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代数学において、与えられた代数構造のゼロ オブジェクトは、以下に説明する意味で、そのような構造の最も単純なオブジェクトです。集合としてはシングルトンであり、マグマとしては自明な構造を持ち、これもアーベル群です。前述のアーベル群構造は通常、加算として識別され、唯一の要素はゼロと呼ばれるため、オブジェクト自体は通常{0}と表されます。すべての自明なオブジェクトは他のオブジェクトと同型であるため (一意の同型性の下で)、自明なオブジェクト(指定されたカテゴリ)を指すことがよくあります。
ゼロ オブジェクトのインスタンスには、次のものが含まれますが、これらに限定されません。
- 群としては、零群または自明群。
- 環としては、零環または自明環。
- 体上の代数または環上の代数として、自明な代数。
- 環R上の加群としては、ゼロ加群がある。自明な G 加群は自明な作用を持つG 加群であるため、あいまいではあるが、自明な加群という用語も使用される。
- ベクトル空間（体 R上）としては、ゼロベクトル空間、ゼロ次元ベクトル空間 、または単にゼロ空間と呼ばれます。
これらのオブジェクトは、共通のシングルトンと自明なグループ構造に基づいてだけでなく、共有されたカテゴリ理論的プロパティのために共同で記述されます。
最後の 3 つのケースでは、基本環 (または体) の元による スカラー乗算は次のように定義されます。
- κ 0 = 0 、ただしκ ∈ R。
最も一般的なゼロモジュールは、生成集合が空である有限生成モジュールです。
自明な環のような、ゼロオブジェクト内部に乗法構造を必要とする構造の場合、非ゼロ元が存在しないため、0 × 0 = 0の1つのみが可能です。この構造は結合的かつ可換的です。加法的単位元と乗法的単位元の両方を持つ環Rは、 1 = 0の場合にのみ自明です。この等式は、 R内のすべてのrに対して、
この場合、単一の要素がそれ自身の逆数であるため、ゼロ除算を定義することが可能です。 {0}のいくつかの特性は、乗法単位元の正確な定義に依存します。以下の§ 単位構造を参照してください。
任意の自明な代数は自明な環でもある。体上の自明な代数は、以下で考える零ベクトル空間でもある。可換環上では、自明な代数は零加群でもある。
自明な環は平方ゼロの rngの例です。自明な代数はゼロ代数の例です。
ゼロ次元ベクトル空間は、ゼロオブジェクト、つまり空の基底を持つ体上のベクトル空間の特に普遍的な例です。したがって、次元はゼロです。また、加法上の自明な群であり、上で述べた自明な加群でもあります。
プロパティ
零環、零加群、零ベクトル空間は、それぞれ擬環のカテゴリ、加群のカテゴリ、ベクトル空間のカテゴリの零対象である。しかし、零環は環のカテゴリの零対象ではない。なぜなら、零環は他のどの環にも環 準同型を持たないからである。
定義により、ゼロ オブジェクトは終端オブジェクトでなければなりません。つまり、任意のオブジェクトAに対して、射 A → {0}が存在し、一意でなければなりません 。この射は、 Aの任意の要素を0に マッピングします 。
ゼロ オブジェクトも定義により初期オブジェクトでなければなりません。つまり、 任意のオブジェクトAに対して、射{0} → Aが存在し、一意でなければなりません 。この射は、 {0}の唯一の要素 である0 を、 ベクトル空間のゼロ ベクトルと呼ばれるゼロ要素0 ∈ Aに写します。この写像は単射であるため、その像は {0}と同型です。モジュールとベクトル空間の場合、この部分集合{0} ⊂ Aは、各モジュール (またはベクトル空間) A内の唯一の空生成サブモジュール(または 0 次元線形部分空間) です。
ユニット構造
{0}オブジェクトは、上記の例で説明したように、存在するすべての代数構造の終端オブジェクトです。ただし、その存在、および存在する場合は初期オブジェクト(したがって、カテゴリ理論的な意味でのゼロ オブジェクト) であるという特性は 、指定された構造における 乗法単位元1の正確な定義に依存します。
1の定義が 1 ≠ 0を必要とする場合、{0}オブジェクトは 1 つの要素しか含まない可能性があるため存在できません。特に、ゼロ環は体ではありません。数学者が1 つの要素を持つ体について話すことがありますが、この抽象的でいくぶん神秘的な数学的オブジェクトは体ではありません。
乗法単位元が射によって保存される必要があるが、ゼロに等しくなる可能性があるカテゴリでは、{0}オブジェクトが存在します。ただし、初期オブジェクトとしては使用できません。これは、 {0}から1 ≠ 0である任意のオブジェクトへの単位元保存射が存在しないためです。たとえば、環のカテゴリ Ringでは、整数 の環Zが初期オブジェクトであり、 {0}ではありません。
代数構造が乗法単位元を必要とするが、射によるその保存も1 ≠ 0も必要としない場合は、ゼロ射が存在し、状況は前のセクションで検討した非ユニタル構造と変わりません。
表記
零ベクトル空間と零加群は通常、（ {0}ではなく） 0で表されます。これは、それらが正確なシーケンスで出現する場合に常に当てはまります。
参照
外部リンク
- デイヴィッド・シャープ (1987)。環と因数分解。ケンブリッジ大学出版局。p . 10:自明環。ISBN 0-521-33718-6。
- バリレ、マルゲリータ。 「簡単なモジュール」。マスワールド。
- バリレ、マルゲリータ。 「ゼロモジュール」。マスワールド。