数学的対象

プラトン主義は、数学的対象は人間の思考とは独立して存在する、しばしばプラトン的な領域に存在する、実在する抽象的な実体であると主張する。電子や惑星のような物理的な対象が存在するのと同様に、数や集合も存在する。そして、電子や惑星に関する記述が、これらの対象が完全に客観的な性質を持つため真偽を判断できるのと同様に、数や集合に関する記述も真偽を判断できる。数学者はこれらの対象を発明するのではなく、発見するのである。^{[ 10 ] [ 11 ]}（参照：数学的プラトン主義）

著名なプラトン主義者には以下のような人物がいる。

• プラトン：古代ギリシャの哲学者。数学者ではなかったが、完全な形相やイデアからなる抽象的な領域の存在を提唱することでプラトン主義の基礎を築き、後の数学者にも影響を与えた。
• クルト・ゲーデル：20世紀の論理学者であり数学者であるゲーデルは、数学的プラトン主義の強力な提唱者であり、彼のモデル理論における業績は、現代のプラトン主義に大きな影響を与えた。
• ロジャー・ペンローズ：現代の数学物理学者であるペンローズは、数学のプラトン的見解を主張し、数学的真理は我々が発見する抽象的な現実の領域に存在すると示唆している。 ^{[ 12 ]}

名目論は数学的対象の独立した存在を否定する。その代わりに、数学的対象は、私たちの言語や理論における関係や構造を記述するための便利な虚構や略記にすぎないと示唆する。この見解では、数学的対象は私たちが使用する記号や概念を超えて存在しない。^{[ 13 ] [ 14 ]}

著名な名目論者には以下のような人物がいる。

• ネルソン・グッドマン：科学哲学と唯名論における業績で知られる哲学者。彼は抽象的な対象の存在に反対し、数学的対象は単に私たちの言語的・記号的慣習の産物であると提唱した。
• ハートリー・フィールド：現代の哲学者で、「フィクショナリズム」と呼ばれる名目論の一形態を発展させた。フィクショナリズムは、数学的命題は実際の抽象的な対象に対応しない有用な虚構であると主張する。 ^{[ 15 ]}

論理主義は、すべての数学的真理は論理的真理に還元でき、数学のこれらの分野の主題を構成するすべての対象は論理的対象であると主張する。言い換えれば、数学は根本的に論理学の一分野であり、すべての数学的概念、定理、真理は純粋に論理的な原理と定義から導き出すことができる。論理主義は、特にラシリウスの公理、乗法公理（現在は選択公理と呼ばれる）と無限公理、そして後にゲーデルの不完全性定理の発見によって課題に直面した。ゲーデルの不完全性定理は、算術を表現するために使用されるような十分に強力な形式体系は、完全かつ無矛盾であることはできないことを示した。これは、すべての数学的真理が純粋に論理体系から導き出せるわけではないことを意味し、論理主義のプログラムを弱体化させた。^{[ 16 ]}

著名な論理学者には以下のような人物がいる。

• ゴットロープ・フレーゲ：フレーゲはしばしば論理主義の創始者と見なされている。彼の著作『算術の基本法則』の中で、フレーゲは算術が論理公理から導き出せることを示そうと試みた。彼は算術のすべてを論理で表現することを目的とした形式体系を開発した。フレーゲの著作は現代論理学の基礎を築き、大きな影響力を持ったが、フレーゲの体系の矛盾を明らかにしたラッセルのパラドックスなど、困難に直面した。 ^{[ 17 ]}
• バートランド・ラッセル：ラッセルはアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドと共に、記念碑的な著作『プリンキピア・マテマティカ』において論理主義をさらに発展させた。彼らは、フレーゲの体系が直面したパラドックスを回避するために型理論を用い、一連の論理公理から数学のすべてを導き出そうと試みた。プリンキピア・マテマティカは絶大な影響力を持ったが、数学のすべてを論理に還元しようとする試みは、最終的には不完全とみなされた。しかし、数学論理学と分析哲学の発展を促進したことは確かである。 ^{[ 18 ]}

数学的形式主義は、対象を形式体系内の記号として扱います。焦点は、対象そのものではなく、指定された規則に従ってこれらの記号を操作することに置かれています。形式主義の一般的な理解の一つは、数学を抽象的な現実の一部を表す命題の集合ではなく、ルドやチェスをプレイするのと同様に、対象や性質の存在論的なコミットメントを伴わないゲームに非常に近いものと捉えています。この見方では、数学は既存の対象の発見ではなく、形式体系の一貫性に関するものです。一部の哲学者は、論理主義を形式主義の一種とみなしています。^{[ 19 ]}

著名な形式主義者には以下のような人物がいる。

• デイヴィッド・ヒルベルト：20世紀初頭を代表する数学者であるヒルベルトは、数学の基礎としての形式主義の最も著名な提唱者の一人である（ヒルベルトのプログラムを参照）。彼は、数学は形式的な規則の体系であり、その真理は抽象的な現実とのいかなるつながりよりも、これらの規則の一貫性にあると信じていた。 ^{[ 20 ]}
• ヘルマン・ワイル：ドイツの数学者であり哲学者。厳密には形式主義者ではないが、特に数学の基礎に関する研究において形式主義の思想に貢献した。 ^{[ 21 ]}フリーマン・ダイソンは、ワイルだけが「19世紀最後の偉大な普遍的数学者」であるアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトに匹敵すると述べている。 ^{[ 22 ]}

数学的構成主義は、数学的対象が存在することを証明するためには、その数学的対象の具体的な例を見つける（または「構成する」）必要があると主張する。対照的に、古典数学では、数学的対象が存在しないと仮定し、その仮定から矛盾を導き出すことによって、その対象を明示的に「見つける」ことなく、その対象の存在を証明できる。このような背理法による証明は非構成的と呼ばれることがあり、構成主義者はそれを拒否するかもしれない。構成的観点には、存在量化子の検証的解釈が含まれており、これは古典的な解釈とは矛盾する。^{[ 23 ]}構成主義には多くの形態がある。^{[ 24 ]}これらには、ブラウワーの直観主義プログラム、ヒルベルトとベルネイスの有限主義、数学者シャニンとマルコフの構成的再帰数学、ビショップの構成的解析プログラムなどがある。^{[ 25 ]}構成主義には、構成的ツェルメロ＝フレンケルなどの構成的集合論の研究や哲学の研究も含まれます。

著名な構成主義者には以下のような人物がいる。

• LEJ Brouwer：オランダの数学者、哲学者。20世紀で最も偉大な数学者の一人とみなされており、（とりわけ）数学論理学における直観主義運動の先駆者であり、David Hilbertの形式主義運動に反対したことで知られている（ Brouwer-Hilbert論争を参照）。
• エレット・ビショップ：解析学の研究で知られるアメリカの数学者。1967年の著書『構成的解析の基礎』において構成的解析を発展させたことで最もよく知られており、同書の中で構成主義的手法を用いて実解析における重要な定理のほとんどを証明した。

構造主義は、数学的対象は構造やシステム内での位置によって定義されると示唆している。例えば、数の性質は特定の事物に結びついているのではなく、算術体系内での役割に結びついている。ある意味で、このテーゼは、数学的対象（もしそのような対象が存在するならば）には、本質的な性質がないということである。^{[ 26 ] [ 27 ]}

著名な構造主義者には以下のような人物がいる。

• ポール・ベナセラフ：数学哲学における業績で知られる哲学者。特に、数学的対象を構造主義的に捉える見解を主張した論文「数には存在し得ないものとは何か」で有名。
• スチュワート・シャピロ：構造主義を発展させ擁護したもう一人の著名な哲学者であり、特に著書『数学の哲学：構造と存在論』でその主張を展開している。 ^{[ 28 ]}