光線伝達行列解析

光線伝達行列解析（ ABCD行列解析とも呼ばれる）は、近軸光線のみを考慮して解ける十分に単純な問題において、光線追跡計算を実行するための数学的手法である。各光学素子（表面、界面、鏡、またはビーム経路）は、入射光線を表すベクトルに作用して出射光線を計算する2×2の光線伝達行列によって記述される。このようにして連続する行列を乗算することで、光学系全体を記述する簡潔な光線伝達行列が得られる。同じ数学は、粒子加速器の磁石装置を通過する粒子の追跡にも加速器物理学で使用されている（電子光学を参照） 。

以下に説明するこの手法は、近軸近似を用いて導出されます。近軸近似では、すべての光線方向（波面に垂直な方向）がシステムの光軸に対して小さな角度θをなしていることが必要であり、これにより近似sinθ≈θが成り立ちます。θが小さいということは、光線束（xとy ）の横方向の広がりが光学系の長さに比べて小さい（つまり「近軸」である）ことを意味します。すべての光線に対してこの条件が満たされない場合でも、適切な結像系では近軸光線を正しく集束させる必要があるため、この行列法は焦点面の位置と倍率を適切に記述しますが、収差は完全な光線追跡法を用いて評価する必要があります。^{[ 1 ]}

光線追跡法は、入力面と出力面と呼ばれる2つの基準面に基づいており、それぞれがシステムの光軸に垂直です。光路に沿った任意の点で、中心光線に対応する光軸が定義されます。この中心光線は、光路に沿ってさらに伝播され、光軸が定義されます。この光軸は、同じ物理的方向である必要はありません（プリズムやミラーによって曲げられた場合など）。次に、横方向のxとy（以下ではx方向のみを考慮します）は、適用される光軸に直交するように定義されます。光線は、光軸から距離x1の位置で入力面を横切るコンポーネントに入射し、_{光軸と角度}θ1_をなす方向に進みます。出力面まで伝播した後、その光線は光軸から距離x2の位置にあり、光軸に対して角度θ2をなしています_。n1とn2_は、それぞれ_入力面と出力面の媒質の屈折率です。

コンポーネントまたはシステムを表すABCD行列は、出力光線を入力光線に関連付けます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ ここで、4つの行列要素の値は次のように与えられる。 $${\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}$$ そして $${\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}$$

これは、入力面と出力面の光線ベクトルを光線伝達行列（RTM）Mによって関連付けます。この行列は、2つの参照面の間に存在する光学部品またはシステムを表します。RTMの行列式は常に屈折率の比に等しくなります^{[ 2 ]}。 $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.}$$

その結果、入力面と出力面が同じ媒質内にある場合、または屈折率が同一の2つの異なる媒質内にある場合、Mの行列式は単純に1になります。

光線ベクトルには別の慣例を用いることができます。θ ≈ sin θの代わりに、光線ベクトルの 2 番目の要素はn sin θであり、^{[ 3 ]}これは光線の角度そのものに比例するのではなく、波数ベクトルの横方向成分に比例します。これにより、界面での屈折が関係する以下の表に示す ABCD 行列が変更されます。

このように伝達行列を使用することは、電子的な2ポートネットワークを記述する2×2行列、特に、カスケード接続されたシステムを解くために同様に乗算できる、いわゆるABCD行列と呼ばれる様々な行列。

光線伝達行列は線形正準変換とみなすことができる。光学系の固有値に基づいて、システムはいくつかのクラスに分類できる。^{[ 4 ]}システムを表すABCD行列は、出力光線を入力光線に関連付けると仮定する。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}$$

行列の固有値を計算します${\displaystyle \mathbf {T} }$固有方程式を満たす $${\displaystyle [{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}$$ 行列式を計算することによって $${\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}$$

させて${\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}$、そして固有値があります${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$。

値によると$\displaystyle \lambda _{1}}$そして$\displaystyle \lambda _{2}}$考えられるケースはいくつかあります。例えば：

1. 一対の実固有値：${\displaystyle r}$そして$\displaystyle r^{-1}}$、 どこ${\displaystyle r\neq 1}$これは拡大鏡を表しています${\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}$
2. ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$または${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-1}$このケースは単位行列（または追加の座標反転行列）を表します。${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$。
3. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\午後 1}$このケースは、システムが単位演算子、自由空間の一部、またはレンズのいずれかである場合に発生するが、それ以外の場合にも発生する。
4. 2つの単モジュラー複素共役固有値のペア${\displaystyle e^{i\theta }}$そして${\displaystyle e^{-i\theta }}$このケースは、分離可能な分数フーリエ変換に似ています。

線形正準変換の理論は、光線伝達行列（幾何光学）と波動光学の関係を示唆している。^{[ 8 ]}

光線伝達行列を分解する方法は無限に存在する。${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$複数の伝達行列の連結に。たとえば、次のような特殊なケースでは${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$:

1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]}$。
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]}$
3. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]}$
4. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]}$

RTM解析は、レーザーなどで使用される光共振器内の光の挙動をモデル化する際に特に有用です。最も単純な光共振器は、反射率100%、曲率 半径Rの同一の対向する2枚のミラーで構成され、距離dだけ離れています。光線追跡の目的においては、これは焦点距離f = R /2の同一の薄いレンズの列に相当し、各レンズは長さdだけ離れています。この構造は、レンズ等価ダクトまたはレンズ等価導波路として知られています。導波路の各セクションの RTMは、上記のとおりです。$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}$$

RTM解析を用いることで、導波路（および共振器）の安定性を判定できるようになりました。つまり、導波路内を伝搬する光が周期的に再集束され、導波路内に留まる条件を判定できるのです。そのためには、システムのすべての「固有光線」を求めます。すなわち、導波路の各セクションにおける入力光線ベクトルに実数または複素数の係数λを乗じたものが、出力光線ベクトルと等しくなるようにすればよいのです。その結果は以下のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$ これは固有値方程式です。 $${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}$$ どこ${\textstyle \mathbf {I} =\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$ は2 × 2単位行列。

次に、伝達行列の固有値を計算します。 $${\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,}$$特性方程式 につながる$${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}$$ どこ $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}$$RTMのトレース であり、 $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}$$はRTMの行列式 です。 1 つの共通置換を行うと、次のようになります。 $${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}$$ どこ $${\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}$$は安定性パラメータ です。固有値は特性方程式の解です。二次方程式の解の公式から、次の式が得られます。 $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}$$

さて、 Nがシステムを通過した 後の光線について考えてみましょう。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$

導波路が安定している場合、光線は主軸から任意に遠く離れることはなく、つまりλN^は無限に増加してはならない。${\displaystyle g^{2}>1}$すると、両方の固有値は実数になります。${\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}$、そのうちの 1 つは (絶対値で) 1 より大きい必要があり、これはこの固有ベクトルに対応する光線が収束しないことを意味します。したがって、安定した導波路では、${\displaystyle g^{2}\leq 1}$固有値は複素数で表すことができる 。$${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}$$g = cos( ϕ ) という置換を用いる。

のために${\displaystyle g^{2}<1}$させて${\displaystyle r_{+}}$そして${\displaystyle r_{-}}$は固有値に関する固有ベクトルとする。${\displaystyle \lambda _{+}}$そして${\displaystyle \lambda _{-}}$それぞれ、直交しているためベクトル空間全体を張るが、後者は${\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}$したがって、入力ベクトルは次のように記述できます 。$${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}$$ いくつかの定数に対して${\displaystyle c_{+}}$そして${\displaystyle c_{-}}$。

N個の導波管セクターを通過後、出力は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}$$ これは周期関数を表します。

同じ行列は、同じ透過行列で記述される光学部品を伝搬するガウスビーム^{[ 9 ]}の進化を計算するためにも使用できます。波長のガウスビームがある場合${\displaystyle \lambda _{0}}$曲率半径R (発散の場合は正、収束の場合は負)、ビームスポットサイズw 、屈折率nから、複素ビームパラメータqを次のように定義できます。^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}$$

( R、w、qは位置の関数です。) ビーム軸がz方向で、ウエストがz ₀、レイリー範囲がz _Rである場合、これは等価的に次のように記述できます^{[ 10 ]}$${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}$$

このビームは、以下の式を用いて、与えられた光線伝達行列を持つ光学系を通して伝搬させることができる。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}$$ ここで、kは光線ベクトルの第 2 成分を1に保つように選択された正規化定数です。行列乗算を使用すると、この式は次のように展開されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}$$

最初の式を2番目の式で割ると、正規化定数が消去されます。 $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}$$

この最後の式は、逆数形式で表すと便利な場合が多い。 $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}$$

より高次元の伝達行列を使用する方法、つまり3 × 3、4×4、そして6 × 6は光学分析にも使用されます。^{[ 11 ]}特に、4 × 4伝搬行列は、フェムト秒レーザーにおけるパルス圧縮のためのプリズムシーケンスの設計と解析に使用されます。^{[ 6 ]}

• 伝達行列法（光学）
• 線形正準変換

• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). "1.4: 行列演算".フォトニクスの基礎. ニューヨーク: John Wiley & Sons.

• 厚レンズ（マトリックス法）
• ABCD行列チュートリアルでは、 システム全体のシステム行列の例を示します。
• ABCD計算機 ABCD行列を解くのに役立つ対話型計算機。