行列の等価性

線型代数学では、2つのm行n列の長方形 行列 AとBは、次の式が成り立つとき同値であると言われる。

${\displaystyle B=Q^{-1}AP}$

ある可逆な n行n列の行列Pとある可逆なm行m列の行列Qに対して、同値な行列は、 VとWの基底のペアの異なる 2 つの選択の下で同じ線形変換 V  →  W を表します。ここで、PとQ はそれぞれVとWの基底行列の変更です。

同値の概念を相似の概念と混同しないでください。相似の概念は正方行列に対してのみ定義され、はるかに制限的です（相似行列は確かに同値ですが、同値の正方行列は相似である必要はありません）。その概念は、初期ベクトルとその像の両方に使用される、 Vの単一の基底の2つの異なる選択の下での同じ自己準同型 V  →  Vを表す行列に対応します。

行列同値性は、長方形行列の空間上の 同値関係です。

同じ大きさの2つの長方形行列の場合、それらの同値性は次の条件によって特徴付けられる。

• 基本的な行と列の演算を組み合わせることで、行列を相互に変換できます。
• 2 つの行列は、同じ階数を持つ場合にのみ同等です。

行列が行と等価であれば、それらは行列と等価でもある。しかし、逆は成り立たず、行列と等価な行列は必ずしも行と等価であるわけではない。このため、行列と等価性は行と等価性の一般化となる。^[1]

ランク特性は、ランクの同値類の行列の直感的な標準形を次のように 与えます。${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix}}}$、

ここで、対角線上の の数はに等しい。これは、スミス正規形の特殊なケースであり、ベクトル空間上のこの概念を主イデアル領域上の自由加群に一般化したものである。したがって、${\displaystyle 1}$${\displaystyle k}$

定理:階数kの任意のm x n行列は、最初のk個の対角要素が 1 である点を除いてすべて 0 であるm x n行列と同等の行列です。 ^[1]系: 行列同等クラスは階数によって特徴付けられます。つまり、2 つの同じ側にある行列は、同じ階数を持つ場合にのみ行列同等です。^[1]

2x2行列には0、1、2の3つのランクしかありません。つまり、すべての2x2行列は3つの行列同等クラスのいずれかに当てはまります。^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}}$ 、、 ​ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

これは、すべての 2x2 行列がこれらの行列のいずれかに等しいことを意味します。ゼロランク行列は 1 つだけですが、他の 2 つのクラスには無限の数のメンバーがあります。上記の代表的な行列は、各クラスの最も単純な行列です。

行列の類似性は行列の同値性の特殊なケースです。2つの行列が類似している場合、それらは同値でもあります。しかし、その逆は真ではありません。^[2]たとえば、次の2つの行列は同値ですが、類似していません。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ 、 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\\end{pmatrix}}}$

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• 行列の合同