行列の解析関数

数学では、あらゆる解析関数は、複素数要素を持つ正方行列を同じサイズの正方行列に マッピングする行列関数を定義するために使用できます。

これは、線形微分方程式系の閉じた形式の解に関係する行列の指数を定義するために使用されます。

興味深い特性を維持しながら 実関数を正方行列関数に変換する手法はいくつかあります。以下の手法はすべて同じ行列関数を生成しますが、関数が定義されるドメインは異なる場合があります。

解析関数 f がテイラー展開 を持つ場合 、行列関数はx を正方行列で置き換えることによって定義できます。つまり、べき乗は行列のべき乗に、加算は行列の合計に、係数による乗算はスカラー乗算になります。 級数が について収束する場合、対応する行列級数はを満たすある行列ノルムについてとなる行列Aについて収束します。 $${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$${\displaystyle A\mapsto f(A)}$${\displaystyle |x|<r}$${\displaystyle \|A\|<r}$${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

正方行列Aが対角化可能であるとは、逆行列 Pが存在し、その逆行列Pが対角行列である、つまりDが次の形状であるときである 。${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

当然のこと ながら${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$$${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

行列f ( A )はPの特定の選択に依存しないことが検証できます。

例えば、 ${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

一つ は $${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

この式を適用すると、単純に $${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

同じく、 $${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

対角化可能かどうかに関わらず、すべての複素行列はジョルダン正規形 を持ちます。ここで、行列Jはジョルダン ブロックで構成されます。これらのブロックを個別に考慮し、ジョルダン ブロックにべき級数を適用します。 ${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$$${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

この定義は、スペクトル半径がべき級数の収束半径よりも小さい行列の集合を超えて、行列関数の定義域を拡張するために使用できます。差商との関連もあることに注意してください。

関連する概念として、行列を対角化可能部分とべき零部分の合計として表現する ジョルダン・シュヴァレー分解があります。

エルミート行列は、すべての実固有値を持ち、スペクトル定理に従って、常にユニタリ行列Pで対角化できます。この場合、ジョルダン定義は自然です。さらに、この定義により、実関数の標準的な不等式を拡張できます。

のすべての固有値 に対して であれば、 です。(慣例により、は半正定値行列です。) 証明は定義から直接得られます。 ${\displaystyle f(a)\leq g(a)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A)\preceq g(A)}$${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$

複素解析におけるコーシーの積分公式は、スカラー関数を行列関数に一般化するためにも使用できます。コーシーの積分公式は、集合D ⊂ C上で定義された任意の解析関数 fに対して、次式が成り立つ ことを述べています。 ここで、 C はx を囲む領域D内の閉じた単純曲線です。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$

ここで、x を行列Aに置き換え、 Aのすべての固有値を囲むD内のパスCを考えます。これを実現する 1 つの方法は、任意の行列ノルム‖ · ‖に対して、 C を原点の周りの半径‖ A ‖より大きい円とすることです。この場合、f  ( A ) は次のように定義できます 。 $${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

この積分は、台形則 を使って数値的に簡単に評価できます。台形則は、この場合は指数的に収束します。つまり、ノード数が 2 倍になると、結果の精度も 2 倍になります。通常のケースでは、シルベスターの公式によってこれが回避されます。

この考え方を、無限行列として見ることができるバナッハ空間上の有界線型作用素に適用すると、正則関数計算が導かれます。

上記のテイラー級数により、スカラーを行列に置き換えることができます。についてを展開する場合、でない限り、これは一般には当てはまりません。反例として があり、これは有限長のテイラー級数を持ちます。これは次の 2 つの方法で計算します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle [A,B]=0}$${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

• 分配法則:$${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• スカラー テイラー展開を使用し、最後にスカラーを行列に置き換えます。${\displaystyle f(a+\eta b)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

スカラー式は可換性を前提としていますが、行列式はそうではありません。したがって、 でない限り、直接的に等しくすることはできません。あるf ( x ) については、スカラー テイラー級数と同じ方法でこれを処理できます。たとえば、です。が存在する場合は です。最初の項の展開は、上記のべき級数に従います。 ${\displaystyle [A,B]=0}$${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

次に、べき級数の収束基準が適用され、適切な行列ノルムの下で十分に小さくなることが要求されます。2 つの行列が交換されるように書き換えることができないより一般的な問題の場合、ライプニッツの規則を繰り返し適用することによって生成される行列積の順序を追跡する必要があります。 ${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$

2×2行列Aの任意の関数f ( A )のシルベスターの公式は次のように簡略化され ます。 ここで、は特性方程式| A − λI |=0の固有値であり、次のように与えられます。 ただし、退化がある場合は、次の式が使用されます。ここで、f'はfの導関数です。 $${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$${\displaystyle \lambda _{\pm }}$$${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$$${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

• 行列多項式
• 行列のルート
• 行列対数
• 行列指数
• 行列符号関数^[1]

半正定値順序（は半正定値、 は正定値）を用いると、スカラー関数のいくつかのクラスをエルミート行列の行列関数に拡張することができる。 [ ^2]${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$${\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow Y-X}$

関数f は、 fの定義域にスペクトルを持つすべての自己随伴行列A、Hに対してであるときのみ、演算子単調と呼ばれます。これは、スカラーの場合の 単調関数に類似しています。${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$

関数f は、スペクトルがfの領域にあり、で あるすべての自己随伴行列A、Hに対してである場合に限り、凹演算子と呼ばれます 。この定義は、凹スカラー関数に類似しています。凸演算子関数は、上記の定義で に切り替えることで定義できます。$${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle \succeq }$

行列対数は演算子単調性と演算子凹性の両方を持ちます。行列正方体は演算子凸性です。行列指数はこれらのいずれでもありません。ロウナーの定理は、開区間上の関数が演算子単調性を持つのは、上半平面と下半平面への解析的拡張を持ち、上半平面がそれ自身にマッピングされる場合のみであるとしています。^[2]

• 代数リカッチ方程式
• シルベスターの公式
• ローウェナー秩序
• 行列計算
• トレース不等式
• 行列の三角関数

• Higham, Nicholas J. (2008).行列の関数理論と計算. フィラデルフィア: 産業応用数学協会. ISBN 9780898717778。